Cách sử dụng hệ trục tọa độ để giải bài toán hình học

Hệ trục tọa độ là một công cụ toán học quan trọng được sử dụng để xác định vị trí của các điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian. Hệ trục tọa độ giúp đơn giản hóa việc giải các bài toán hình học, đồng thời giúp cho việc mô tả và phân tích các hiện tượng trong tự nhiên trở nên dễ dàng hơn.

Hệ trục tọa độ Oxy

• Gồm hai trục vuông góc nhau: trục hoành Ox và trục tung Oy.
• Giao điểm của hai trục được gọi là gốc tọa độ O.
• Hệ trục tọa độ Oxy chia mặt phẳng thành bốn phần tư, được đánh số từ I đến IV.

Tọa độ của một điểm

• Mỗi điểm M trên mặt phẳng được xác định bởi cặp số (x, y) gọi là tọa độ của điểm M.
• x là hoành độ của điểm M, là khoảng cách từ M đến trục tung Oy.
• y là tung độ của điểm M, là khoảng cách từ M đến trục hoành Ox.

Biểu diễn vectơ bằng hệ trục tọa độ

• Mỗi vectơ được biểu diễn bởi một mũi tên có điểm đầu là gốc tọa độ O và điểm cuối là điểm M.
• Tọa độ của vectơ\(\vec{a}\) là tọa độ của điểm M.

Các thành phần của hệ trục tọa độ

• Gốc tọa độ: Là điểm O, nơi hai trục vuông góc nhau.
• Trục hoành: Là trục Ox, được ký hiệu bởi mũi tên hướng sang bên phải.
• Trục tung: Là trục Oy, được ký hiệu bởi mũi tên hướng lên trên.
• Tọa độ của một điểm: Là cặp số (x, y) được xác định bởi:
  • Hoành độ x: Là khoảng cách từ điểm M đến trục tung, được đo trên trục hoành.
  • Tung độ y: Là khoảng cách từ điểm M đến trục hoành, được đo trên trục tung.

Phân loại các góc

• Góc nhọn: Góc có số đo từ 0° đến 90°.
• Góc vuông: Góc có số đo 90°.
• Góc tù: Góc có số đo từ 90° đến 180°.
• Góc bẹt: Góc có số đo 180°.

Vectơ cùng phương, ngược hướng, bằng nhau

• Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
• Hai vectơ được gọi là ngược hướng nếu chúng cùng phương nhưng có hướng ngược nhau.
• Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Tọa độ của tổng, hiệu ,tích của một số với một vectơ

Cho \(\vec{u}=(u_1,u_2), \vec{v}=(v1,v2)\)

Khi đó

\(\vec{u}+\vec{v}= (u_1+u_2; v_1+v_2)\)

\(\vec{u}-\vec{v}= (u_1-u_2; v_1-v_2)\)

\(\vec{u}+\vec{v}= (u_1+u_2; v_1+v_2)\)

\(k\vec{u} = (ku_1, ku_2), k \in \mathbb{R}\)

Các dạng toán hệ trục tọa độ lớp 10

Tìm tọa độ của một điểm:Cho điểm M trên mặt phẳng, xác định tọa độ của điểm M bằng cách sử dụng hệ trục tọa độ Oxy.

Ví dụ: Cho điểm M(x, y). Tìm:

• Hoành độ của điểm M.
• Tung độ của điểm M.
• Tọa độ của điểm đối xứng với M qua trục Ox.
• Tọa độ của điểm đối xứng với M qua trục Oy.
• Tọa độ của điểm đối xứng với M qua gốc tọa độ O.

Vẽ đồ thị của hàm số: Cho hàm số y=f(x), xác định tọa độ của một số điểm thuộc đồ thị hàm số và vẽ đồ thị dựa vào các điểm đó.

Ví dụ: Cho hai điểm A(x₁, y₁) và B(x₂, y₂). Tìm:

• Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB.
• Độ dài đoạn thẳng AB.
• Phương trình đường thẳng AB.
• Vectơ AB.

Giải bài toán hình học bằng hệ trục tọa độ: Sử dụng tọa độ của các điểm, vectơ để giải các bài toán hình học như:

• Tìm trung điểm của đoạn thẳng
• Tính độ dài của đoạn thẳng
• Tìm diện tích tam giác
• Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

Ví dụ: Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0. Tìm:

• Tọa độ giao điểm của d và trục Ox.
• Tọa độ giao điểm của d và trục Oy.
• Vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Chứng minh các đẳng thức vectơ: Sử dụng tọa độ của vectơ để chứng minh các đẳng thức vectơ.

Ví dụ: Cho hai đường thẳng d₁: ax₁ + by₁ + c₁ = 0 và d₂: ax₂ + by₂ + c₂ = 0. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁ và d₂.

Ứng dụng trong giải tích vectơ và cơ học

• Hệ trục tọa độ được ứng dụng trong giải tích vectơ để tính toán tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ.
• Hệ trục tọa độ được ứng dụng trong cơ học để mô tả chuyển động của vật thể, tính toán lực, gia tốc, …

Chứng minh các đẳng thức vectơ bằng cách sử dụng tọa độ của vectơ.

Ví dụ: Cho điểm M(2, 3). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với M qua trục Ox.

Giải:

Điểm đối xứng với M qua trục Ox có hoành độ bằng 2 và tung độ bằng -3.

Vậy tọa độ của điểm đối xứng với M qua trục Ox là (2, -3).

Luyện tập

Câu 1: Cho hai điểm A(2; 3) và B(-1; 4). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

A. (6; 4)

B. (1; 7)

C. (0; 3.5)

D. (3; 1)

Câu 2: Cho đường thẳng d: 2x + 3y – 5 = 0. Tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d là:

A. (2; 1)

B. (3; 2)

C. (1; 2)

D. (2; 3)

Câu 3: Cho hai vectơ a = (2; 3) và b = (4; 5). Tọa độ vectơ a + b là:

A. (6; 8)

B. (2; 2)

C. (1; 1)

D. (4; 3)

Câu 4: Cho vectơ a = (3; 4). Tọa độ vectơ a là:

A. (6; 8)

B. (1.5; 2)

C. (2; 2)

D. (4; 3)

Câu 5: Cho hai điểm A(1; 2) và B(4; 6). Vectơ AB có tọa độ là:

A. (3; 4)

B. (1; 2)

C. (2; 2)

D. (4; 3)

Câu 6: Cho tam giác ABC với A(2; 4), B(1; 1) và C(5; 7). Diện tích tam giác ABC là:

A. 6

B. 12

C. 18

D. 24

Câu 7: Cho góc α giữa hai vectơ a = (1; 3) và b = (4; 5). Cosα bằng:

A. 10​1​

B. 10​2​ 

C. 10​3​ 

D. 10​4​

Câu 8: Cho hai đường thẳng d₁: x + 2y – 3 = 0 và d₂: 2x – y + 1 = 0. Vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁ và d₂ là:

A. Trùng nhau B. Song song C. Cắt nhau D. Lệch nhau

Câu 9: Cho điểm M(x, y) nằm trên đường tròn (x – 1)² + (y – 2)² = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y.

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Câu 10: Cho vectơ a = (2; 3) và số k = 4. Tọa độ vectơ ka là:

A. (8; 12)

B. (4; 6)

C. (2; 3)

D. (1; 1.5)

Đáp án:

1. C
2. A
3. A
4. A
5. A
6. B
7. A
8. C
9. B
10. A

Hệ trục tọa độ là một công cụ hữu ích giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán trong môn toán và các môn học khác. Việc sử dụng hệ trục tọa độ giúp cho việc giải toán trở nên trực quan và dễ dàng hơn.