Diện tích hình lăng trụ là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán học lớp 8. Việc nắm vững các công thức và cách tính diện tích hình lăng trụ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách chính xác và hiệu quả.
Lý thuyết hình lăng trụ
Hình lăng trụ là đa giác có hai mặt đáy song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành.
Diện tích hình lăng trụ được chia thành hai loại:
Diện tích xung quanh: là diện tích tổng cộng của các mặt bên.
Diện tích toàn phần: là diện tích tổng cộng của hai mặt đáy và diện tích xung quanh.
Diện tích xung quanh hình lăng trụ
Công thức:
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao:
Sxq = \(c_{đáy}\) \(\times\) h
Sxq: Diện tích xung quanh
\(c_{đáy}\): Chu vi đáy
h: Chiều cao
Ví dụ:
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC với AB = 4cm, BC = 5cm, AC = 6cm, chiều cao AA’ = 7cm. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ.
Cách giải:
Chu vi đáy ABC là: \(c_{đáy}\) = AB + BC + AC = 4 + 5 + 6 = 15cm
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: Sxq = \(c_{đáy}\) \(\times\) h = 15 \(\times\) 7 = 105cm²
Diện tích toàn phần hình lăng trụ
Công thức:
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích hai mặt đáy:
Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy
Stp: Diện tích toàn phần
Sxq: Diện tích xung quanh
Sđáy: Diện tích một mặt đáy
Ví dụ:
Sử dụng ví dụ về hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ ở trên. Diện tích một mặt đáy ABC là: Sđáy = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) AB \(\times\) AC \(\times\) sinA = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) 4 \(\times\) 6 \(\times\) sin(90°) = 12cm²
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là: Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy = 105 + 2 \(\times\) 12 = 129cm²
Công thức tính diện tích hình lăng trụ
Hình lăng trụ đứng tứ giác
Diện tích xung quanh: Sxq = (a + b) \(\times\) h
Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy
Hình lăng trụ đứng tam giác đều
Diện tích xung quanh: Sxq = p \(\times\) h
Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy
Hình lăng trụ đứng tam giác vuông
Diện tích xung quanh: Sxq = (a + b + c) \(\times\) h
Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy
Chú ý:
Các công thức trên chỉ áp dụng cho hình lăng trụ đứng.
Đơn vị của diện tích là cm², m², dm², …
Các dạng bài tập về diện tích hình lăng trụ
Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp về diện tích hình lăng trụ:
Dạng 1: Cho độ dài các cạnh của hình lăng trụ và tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình lăng trụ.
Ví dụ:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = 4cm, BC = 5cm, AC = 6cm, chiều cao AA’ = 7cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lăng trụ.
Cách giải:
- Chu vi đáy ABC là: \(c_{đáy}\) = AB + BC + AC = 4 + 5 + 6 = 15cm
- Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: Sxq = \(c_{đáy}\) \(\times\) h = 15 \(\times\) 7 = 105cm²
- Diện tích một mặt đáy ABC là: Sđáy = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) AB \(\times\) AC \(\times\) sinA = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) 4 \(\times\) 6 \(\times\) sin(90°) = 12cm²
- Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là: Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy = 105 + 2 \(\times\) 12 = 129cm²
Dạng 2: Cho diện tích xung quanh hoặc diện tích toàn phần của hình lăng trụ và một số yếu tố khác (chiều cao, cạnh đáy), tính các yếu tố còn lại.
Ví dụ:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có diện tích xung quanh là 105cm², chiều cao AA’ = 7cm. Biết đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 4cm. Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ.
Cách giải:
- Chu vi đáy ABC là: \(c_{đáy}\) = Sxq / h = 105 / 7 = 15cm
- Cạnh AC là: AC = √(BC² – AB²) = √(15² – 4²) = 13cm
- Diện tích một mặt đáy ABC là: Sđáy = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) AB \(\times\) AC = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) 4 \(\times\) 13 = 26cm²
- Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là: Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy = 105 + 2 \(\times\) 26 = 157cm²
Dạng 3: Cho bài toán thực tế liên quan đến diện tích hình lăng trụ.
Ví dụ:
Một cái hộp hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = 5cm, BC = 7cm, chiều cao AA’ = 10cm. Người ta sơn tất cả các mặt ngoài của hộp. Tính diện tích phần được sơn.
Cách giải:
- Chu vi đáy ABCD là: \(c_{đáy}\) = 2 \(\times\) (AB + BC) = 2 \(\times\) (5 + 7) = 24cm
- Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: Sxq = \(c_{đáy}\) \(\times\) h = 24 \(\times\) 10 = 240cm²
- Diện tích hai mặt đáy là: 2 \(\times\) Sđáy = 2 \(\times\) (AB \(\times\) BC) = 2 \(\times\) (5 \(\times\) 7) = 70cm²
- Diện tích phần được sơn là: S = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy = 240 + 70 = 310cm²
Bài tập trắc nghiệm về diện tích hình lăng trụ có lời giải
Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB = 4cm, AC = 3cm, chiều cao AA’ = 5cm. Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là:
A. 30cm²
B. 35cm²
C. 40cm²
D. 45cm²
Lời giải:
Chu vi đáy ABC là: \(c_{đáy}\) = AB + AC + BC = 4 + 3 + \( \sqrt{(4² + 3²)} \) = 10cm
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: Sxq = \(c_{đáy}\) \(\times\) h = 10 \(\times\) 5 = 50cm²
Đáp án: A
Câu 2: Cho hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = 6cm, BC = 8cm, chiều cao AA’ = 10cm. Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là:
A. 280cm²
B. 300cm²
C. 320cm²
D. 340cm²
Lời giải:
Chu vi đáy ABCD là: \(c_{đáy}\) = 2 \(\times\) (AB + BC) = 2 \(\times\) (6 + 8) = 28cm
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: Sxq = \(c_{đáy}\) \(\times\) h = 28 \(\times\) 10 = 280cm²
Diện tích hai mặt đáy là: 2 \(\times\) Sđáy = 2 \(\times\) (AB \(\times\) BC) = 2 \(\times\) (6 \(\times\) 8) = 96cm²
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là: Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy = 280 + 96 = 376cm²
Đáp án: C
Câu 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy AB = 6cm, chiều cao AA’ = 8cm. Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là:
A. 72cm²
B. 84cm²
C. 96cm²
D. 108cm²
Lời giải:
Chu vi đáy ABC là: \(c_{đáy}\) = 3 \(\times\) AB = 3 \(\times\) 6 = 18cm
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: Sxq = \(c_{đáy}\) \(\times\) h = 18 \(\times\) 8 = 144cm²
Đáp án: B
Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB = 5cm, AC = 12cm, chiều cao AA’ = 8cm. Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là:
A. 276cm²
B. 288cm²
C. 300cm²
D. 312cm²
Lời giải:
Chu vi đáy ABC là: \(c_{đáy}\) = AB + AC + BC = 5 + 12 + √(5² + 12²) = 23cm
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: Sxq = \(c_{đáy}\) \(\times\) h = 23 \(\times\) 8 = 184cm²
Diện tích một mặt đáy ABC là: Sđáy = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) AB \(\times\) AC = (\(\frac{1}{2}\)) \(\times\) 5 \(\times\) 12 = 30cm²
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là: Stp = Sxq + 2 \(\times\) Sđáy = 184 + 2 \(\times\) 30 = 244cm²
Đáp án: A
Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ hơn về diện tích hình lăng trụ và cách tính diện tích hình lăng trụ.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
