Giá trị kỳ vọng là một khái niệm quan trọng trong xác suất và thống kê, đại diện cho trung bình trọng số của tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên. Nó phản ánh giá trị trung bình mà ta có thể mong đợi từ một thí nghiệm ngẫu nhiên sau một số lượng lớn lần lặp lại. Khái niệm này không chỉ phổ biến trong lý thuyết xác suất mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong tài chính, kinh tế, bảo hiểm, và các lĩnh vực khoa học khác.
Khái niệm cơ bản về giá trị kỳ vọng
Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc \( X \) được định nghĩa là:
\[ E(X) = \sum_{i} x_i P(X = x_i) \]
trong đó \( x_i \) là các giá trị có thể của \( X \) và \( P(X = x_i) \) là xác suất tương ứng.
Đối với biến ngẫu nhiên liên tục \( Y \), giá trị kỳ vọng được xác định bằng tích phân:
\[ E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} y f(y) dy \]
trong đó \( f(y) \) là hàm mật độ xác suất của \( Y \).
Ví dụ minh họa
Xét một biến ngẫu nhiên rời rạc \( X \) có các giá trị 1, 2, và 3 với xác suất tương ứng là 0.2, 0.5, và 0.3. Giá trị kỳ vọng của \( X \) là:
\[ E(X) = 1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.3 = 2.1 \]
Tính chất của giá trị kỳ vọng
Tuyến tính
Giá trị kỳ vọng có tính chất tuyến tính, nghĩa là đối với các biến ngẫu nhiên \( X \) và \( Y \) và các hằng số \( a \), \( b \):
\[ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) \]
Không đổi theo hằng số
Nếu \( c \) là một hằng số, thì:
\[ E(c) = c \]
Giá trị kỳ vọng của tổng biến ngẫu nhiên
Giá trị kỳ vọng của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng các giá trị kỳ vọng của chúng:
\[ E(X + Y) = E(X) + E(Y) \]
Giá trị kỳ vọng trong các phân phối xác suất
Phân phối nhị thức
Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên theo phân phối nhị thức với các tham số \( n \) và \( p \) là:
\[ E(X) = np \]
Phân phối Poisson
Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên theo phân phối Poisson với tham số \( \lambda \) là:
\[ E(X) = \lambda \]
Phân phối chuẩn
Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên theo phân phối chuẩn với trung bình \( \mu \) và độ lệch chuẩn \( \sigma \) là:
\[ E(X) = \mu \]
Giá trị kỳ vọng có điều kiện
Định nghĩa
Giá trị kỳ vọng có điều kiện của một biến ngẫu nhiên \( X \) với điều kiện là một biến ngẫu nhiên khác \( Y \) được ký hiệu là \( E(X | Y) \). Nó đại diện cho giá trị kỳ vọng của \( X \) khi biết giá trị của \( Y \).
Tính chất
Giá trị kỳ vọng có điều kiện có các tính chất tương tự như giá trị kỳ vọng thông thường, bao gồm tính chất tuyến tính:
\[ E(aX + bY | Z) = aE(X | Z) + bE(Y | Z) \]
Bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ vọng
Bất đẳng thức Markov
Bất đẳng thức Markov phát biểu rằng đối với bất kỳ biến ngẫu nhiên không âm \( X \) và bất kỳ số dương \( a \):
\[ P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a} \]
Bất đẳng thức Chebyshev
Bất đẳng thức Chebyshev phát biểu rằng đối với bất kỳ biến ngẫu nhiên \( X \) có giá trị kỳ vọng \( \mu \) và phương sai \( \sigma^2 \), và bất kỳ số \( k \) dương:
\[ P(|X – \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \]
Giá trị kỳ vọng là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong xác suất và thống kê. Nó cung cấp một công cụ mạnh mẽ để mô tả và dự đoán hành vi của các biến ngẫu nhiên. Từ lý thuyết đến ứng dụng thực tế, giá trị kỳ vọng đóng vai trò then chốt trong việc phân tích và ra quyết định trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Hiểu rõ và áp dụng đúng đắn giá trị kỳ vọng sẽ giúp chúng ta khai thác tối đa thông tin từ dữ liệu và đưa ra những quyết định thông minh và chính xác.
