Công thức bất phương trình mũ là một công cụ toán học hữu ích được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như khoa học kỹ thuật, kinh tế, tài chính,… Nắm vững kiến thức về bất phương trình mũ giúp học sinh giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả. Bài viết này sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho các học sinh trong quá trình ôn thi THPTQG.
Công thức bất phương trình mũ cơ bản
Bất phương trình dạng ax > b (a > 0, a ≠ 1)
a) b ≤ 0:
Mọi x ∈ R đều thỏa mãn bất phương trình.
b) b > 0:
Bất phương trình tương đương với:
\(log_a(ax) > log_a(b)\)⇔ \(x > \frac{log_a(b)}{log_a(a)}\)
Ví dụ:
Giải bất phương trình: \(2^x > 8\).
Lời giải:
Ta có: \(2^x > 8\) ⇔ \(x > \frac{\log_{2}(8)}{\log_{2}(2)} = 3\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x | x > 3}.
Bất phương trình dạng ax < b (a > 0, a ≠ 1)
a) b ≤ 0:
Bất phương trình vô nghiệm.
b) b > 0:
Bất phương trình tương đương với:
\(\log_a(ax) < \log_a(b)\)⇔ \(x < {\log_a(b)}{\log_a(a)}\)
Ví dụ:
Giải bất phương trình: \(3^x < 27\).
Lời giải:
Ta có: \(3^x < 27 ⇔ x < \frac{\log_3(27)}{log_3(3)} = 3\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x | x < 3}.
Bất phương trình dạng \(a^{f(x)} > b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)\)
Phương pháp:
- Lấy logarit hai vế của bất phương trình theo cùng cơ số.
- Giải bất phương trình logarit thu được.
Ví dụ:
Giải bất phương trình: \(2^{3x – 1} > 16\).
Lời giải:
Lấy logarit hai vế của bất phương trình theo cơ số 2, ta được:
\(\log_2{2^(3x – 1)} > log_2(16)\)⇔ 3x – 1 > 4
⇔ \(x > \frac{5}{3}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x | x > 5/3}.
Bất phương trình dạng \(a^f(x) < b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)\)
Phương pháp:
Lấy logarit hai vế của bất phương trình theo cùng cơ số.
Giải bất phương trình logarit thu được.
Ví dụ:
Giải bất phương trình: \(3^(x + 2) < 27\)
Lời giải:
Lấy logarit hai vế của bất phương trình theo cơ số 3, ta được:
\(log_3(3^{x + 2}) < log_3(27)\)⇔ x + 2 < 3
⇔ x < 1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x | x < 1}.
Công thức bất phương trình mũ với nhiều ẩn
Dạng:
ax+y > b
ax−y > b
Phương pháp giải
Biến đổi bất phương trình về dạng:
ax.ay>b
ax.a−y>b
Giải bất phương trình tương tự như bất phương trình mũ cơ bản.
Công thức bất phương trình mũ chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng:
∣ax−b∣>c
∣ax−b∣≤c
Phương pháp giải
Chia thành các trường hợp:
- ax−b>c và ax−b<−c
- ax−b=c và ax−b=−c
Giải từng trường hợp và kết hợp điều kiện của x.
Bài tập bất phương trình có lời giải chi tiết
Bài tập 1: Giải bất phương trình:
\(2^x > 8\)Lời giải:
Ta có: \(2^x > 8 ⇔ x > log_2(8)/log_2(2) = 3\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x | x > 3}.
Bài tập 2: Giải bất phương trình:
\(3^x < 27\)Lời giải:
Ta có: \(3^x < 27 ⇔ x < log_3(27)/log_3(3) = 3\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x | x < 3}.
Bài tập 3: Giải bất phương trình:
\(2^{3x – 1} > 16\)Lời giải:
Lấy logarit hai vế của bất phương trình theo cơ số 2, ta được:
\(log_2{2^(3x – 1)} > log_2(16)\)⇔ 3x – 1 > 4
⇔ \(x > \frac{5}{3}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x | x > 5/3}.
Bài tập 4: Giải bất phương trình:
\(3^{x + 2} < 27\)Lời giải:
Lấy logarit hai vế của bất phương trình theo cơ số 3, ta được:
\(log_3(3^(x + 2)) < log_3(27)\)⇔ x + 2 < 3
⇔ x < 1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x | x < 1}.
Bài tập 5: Giải bất phương trình:
\(2^x + 3^x > 5\)Lời giải:
Bất phương trình tương đương với:
\((2^x + 3^x) – 5 > 0\)⇔ \((2^x – 1) + (3^x – 4) > 0\)
⇔ \(2^(x – 1) + 3^(x – 1) > 1\)
Lấy logarit hai vế của bất phương trình theo cơ số 2, ta được:
\(\log_2(2^(x – 1) + 3^(x – 1)) > \log_2(1)\)⇔ \(\log_2(2^(x – 1)) + \log_2(3^(x – 1)) > 0\)
⇔ \((x – 1).\log_2(2) + (x – 1).\log_2(3) > 0\)
⇔ \((x – 1)(\log_2(2) + \log_2(3)) > 0\)
⇔ \((x – 1).\log_2(6) > 0\)
Vì \(\log_2(6) > 0\), nên bất phương trình tương đương với:
x – 1 > 0
⇔ x > 1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x | x > 1}.
Bài tập tham khảo
Bài 1: Giải bất phương trình:
a. \(2^{x} > 16.\)
b. \(3^{x-1} \leq 9.\)
c. \(3^{x} \cdot 2^{y} > 72.\)
d. \(4^{x-1} > \frac{1}{8}.\)
Bài 2: Tìm tập nghiệm của các bất phương trình sau:
a. \(|3^{x-2}| \leq 4\)
b. \(a^{x} > b \quad (a > 0, a \neq 1, b > 0)\)
c. \(5^{x\cdot y} > 625\)
Bài viết đã trình bày hệ thống công thức và phương pháp giải bất phương trình mũ lớp 12. Hy vọng những kiến thức trong bài viết này sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các dạng bài tập liên quan và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPTQG.
