Khi khám phá hệ thức Vi-ét lớp 9, học sinh tiếp cận một công cụ toán học mạnh mẽ, giúp giải phương trình bậc hai dễ dàng và hiệu quả. Hệ thức này không chỉ tăng cường kỹ năng giải toán mà còn mở ra cánh cửa hiểu biết về mối quan hệ giữa các hệ số và nghiệm của phương trình, giúp học sinh nhìn thấy bức tranh toán học rộng lớn hơn qua một công thức đơn giản
Hệ thức Vi-ét là gì ?
Hệ thức Vi-ét là một công cụ toán học hữu ích cho phép tìm mối liên hệ giữa các hệ số của một phương trình bậc hai và nghiệm của nó. Dưới đây là tổng hợp đầy đủ các công thức hệ thức Vi-ét cho phương trình bậc hai dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với \(a \neq 0\), và phương trình này có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\):
Hệ thức Vi-ét cơ bản
Tổng của hai nghiệm: Tổng của hai nghiệm của phương trình bằng số đối của hệ số b chia cho hệ số a:
\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]
- Tích của hai nghiệm: Tích của hai nghiệm của phương trình bằng hệ số tự do c chia cho hệ số a:
\[ x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \]
Ứng dụng hệ thức Vi-ét
– Tìm nghiệm khi biết tổng và tích: Nếu bạn biết tổng (\(S\)) và tích (\(P\)) của hai nghiệm, bạn có thể sử dụng hệ thức Vi-ét ngược để tìm nghiệm của phương trình qua việc giải hệ phương trình:
\[ x_1 + x_2 = S \]
\[ x_1 \times x_2 = P \]
– Giải phương trình bậc hai mới: Từ một phương trình bậc hai cho trước, bạn có thể tạo ra một phương trình bậc hai mới mà nghiệm của nó liên quan mật thiết đến nghiệm của phương trình gốc thông qua các phép biến đổi sử dụng hệ thức Vi-ét.
Lưu ý
– Hệ thức Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình bậc hai có nghiệm thực.
– Khi áp dụng hệ thức Vi-ét, cần đảm bảo rằng phương trình đã được đưa về dạng chuẩn \(ax^2 + bx + c = 0\).
– Hệ thức Vi-ét cũng giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa dấu của Δ (Delta) trong công thức nghiệm phương trình bậc hai và bản chất của nghiệm (thực hay phức, kép hay phân biệt).
Phương pháp giải bài tập hệ thức Vi-ét
Bước 1: Đưa phương trình về dạng chuẩn
Đảm bảo rằng phương trình bậc hai của bạn có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \), với \( a \neq 0 \). Nếu cần, hãy sắp xếp lại hoặc đơn giản hóa phương trình để đưa nó về dạng chuẩn.
Bước 2: Xác định hệ thức Vi-ét
Nhớ lại rằng nếu \(x_1\) và \(x_2\) là nghiệm của phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét cho chúng ta biết:
– \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
– \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)
Bước 3: Áp dụng hệ thức vào bài toán
Sử dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập mối quan hệ giữa các hệ số và nghiệm mà không cần tìm nghiệm cụ thể. Có thể là việc áp dụng trực tiếp hệ thức vào điều kiện của bài toán, hoặc sử dụng chúng để biểu diễn các biểu thức, tìm giá trị cụ thể, hoặc giải các phương trình/ bất phương trình liên quan.
Bước 4: Giải quyết các yêu cầu của bài toán
Tùy thuộc vào yêu cầu của bài toán, hãy giải quyết nó bằng cách:
– Tìm giá trị của hệ số \(a\), \(b\), \(c\) dựa vào thông tin về nghiệm.
– Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm.
– Chứng minh một đẳng thức hoặc bất đẳng thức.
– Tìm mối liên hệ giữa các nghiệm dựa vào điều kiện đặc biệt.
Bước 5: Kiểm tra và xác minh
Kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải và kết quả của bạn để đảm bảo tính chính xác. Đối với một số bài toán, việc thử lại nghiệm vào phương trình ban đầu có thể giúp xác minh kết quả.
Ví dụ minh họa:
Đề bài: Cho phương trình \( x^2 – (m+3)x + m = 0 \) có hai nghiệm \( x_1, x_2 \). Tìm \( m \) để \( x_1^2 + x_2^2 = 10 \).
Giải:
Áp dụng hệ thức Vi-ét:
– \( x_1 + x_2 = m + 3 \)
– \( x_1 \cdot x_2 = m \)
Ta có \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2 \). Thay hệ thức Vi-ét vào, ta được:
\( (m + 3)^2 – 2m = 10 \)
Giải phương trình trên để tìm \( m \).
Bài tập hệ thức Vi-et có lời giải
Bài 1: Tìm hệ số phương trình
Đề bài: Cho phương trình \(x^2 – (k+3)x + k = 0\) có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\). Tìm \(k\) sao cho \(x_1 + x_2 = 6\).
Lời giải:
Áp dụng hệ thức Vi-ét:
– \(x_1 + x_2 = -\frac{-k-3}{1} = k + 3\)
Theo đề bài, \(x_1 + x_2 = 6\), do đó:
– \(k + 3 = 6 \Rightarrow k = 3\)
Kết quả: Giá trị của \(k\) cần tìm là 3.
Bài 2: Tính giá trị biểu thức
Đề bài: Nếu \(x_1\) và \(x_2\) là nghiệm của phương trình \(x^2 – 5x + 6 = 0\), hãy tính giá trị của \(x_1^2 + x_2^2\).
Lời giải:
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình, ta có:
– \(x_1 + x_2 = 5\)
– \(x_1 \cdot x_2 = 6\)
Ta cần tính \(x_1^2 + x_2^2\), sử dụng công thức \((x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2\):
– \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2 = 5^2 – 2 \cdot 6 = 25 – 12 = 13\)
Kết quả: Giá trị của \(x_1^2 + x_2^2\) là 13.
Bài 3: Tìm điều kiện của hệ số
Đề bài: Cho phương trình \(x^2 – (m+1)x + m – 1 = 0\), với \(m\) là tham số. Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 < 10\).
Lời giải:
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình, ta có:
– \(x_1 + x_2 = m + 1\)
– \(x_1 \cdot x_2 = m – 1\)
Ta biết \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2\), do đó:
– \(x_1^2 + x_2^2 = (m + 1)^2 – 2(m – 1)\)
Để \(x_1^2 + x_2^2 < 10\), ta có:
– \((m + 1)^2 – 2(m – 1) < 10\)
– \(m^2 + 2m + 1 – 2m + 2 < 10\)
– \(m^2 + 3 < 10 \Rightarrow m^2 < 7\)
Do đó, \(m\) phải thỏa mãn điều kiện: \(-\sqrt{7} < m < \sqrt{7}\).
Kết quả: Điều kiện của \(m\) để phương trình thỏa mãn yêu cầu là \(-\sqrt{7} < m < \sqrt{7}\).
Hệ thức Vi-ét không chỉ là công cụ giúp giải phương trình bậc hai một cách nhanh chóng mà còn giúp hình thành tư duy toán học linh hoạt, giúp học sinh lớp 9 áp dụng vào việc giải các bài toán phức tạp hơn.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
