Tổng hợp công thức Vi phân có bài tập vận dụng

Công thức Vi phân là một phần trong môn toán học, cụ thể là một nhánh của giải tích. Trong lớp 11, vi phân thường được giới thiệu qua các khái niệm cơ bản như đạo hàm và ứng dụng của nó. Dưới đây là một tóm tắt về lý thuyết và công thức cơ bản trong vi phân mà bạn có thể gặp trong lớp 11

Định nghĩa vi phân

Cho hàm số y = \( f(x) \) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x_0 ∈ (a; b). Khi x thay đổi bởi một lượng nhỏ \(\Delta x\), giá trị của hàm số cũng thay đổi bởi một lượng nhỏ \(\Delta y\). Vi phân của hàm số \( f(x) \) tại x_0 là một số dy sao cho:

 \(dy = f'(x_0) \cdot dx\)

Công thức vi phân

 * Vi phân của hàm số \(y = u(x) \cdot v(x)\):

 \(dy = u'(x) \cdot v(x) dx + u(x) \cdot v'(x) dx\)

 * Vi phân của hàm số \(y = \dfrac{u(x)}{v(x)}\)

 \(dy = \dfrac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} dx\)

 * Vi phân của hàm số \(y = [u(x)]^n\):

 \(dy = n \cdot [u(x)]^{n-1} \cdot u'(x) dx\)

 * Vi phân của hàm số \(y = e^{u(x)}\):

 \(dy = e^{u(x)} \cdot u'(x) dx\)

 * Vi phân của hàm số \(y = \log_a x\):

 \(dy = \dfrac{1}{\ln(a) \cdot x} dx\)

 * Vi phân của hàm số \(y = \sin x\):

 \(dy = \cos x dx\)

 * Vi phân của hàm số \(y = \cos x\):

 \(dy = -\sin x dx\)

 * Vi phân của hàm số \(y = \tan x\):

 \(dy = \dfrac{1}{\cos^2 x} dx\)

 * Vi phân của hàm số \(y = \cot x\):

 \(dy = -\dfrac{1}{\sin^2 x} dx\)

Các dạng bài tập và phương pháp giải vi phân

Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa vi phân: \(dy=f′(x)dx\).

Sử dụng các công thức đạo hàm cơ bản và quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số lũy thừa, hàm số logarit, hàm số lượng giác.

Ví dụ:

Tìm vi phân của hàm số \(y=x^2+3x−1\).

Giải:

\(dy = \dfrac{d}{dx}(x^2 + 3x – 1) \)

= 2x + 3

 Tìm vi phân của hàm số\( y=sinx+cosx.\)

Giải:

\(dy = \dfrac{d}{dx}(\sin x + \cos x) \)

= \(\cos x – \sin x\)

 Dạng 2: Phép tính gần đúng

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(f(x_0​+dx)≈f(x_0​)+dy\)

Thay giá trị x0​ và dx vào để tính giá trị gần đúng của \(f(x_0​+dx)\).

Ví dụ:

Dùng vi phân để tính giá trị gần đúng của \(\sqrt{16,01}\)

Giải:

Ta có:

\(f(x) = \sqrt{x}, \)

\(x_0 = 16, \)

\(dx = 0,01\).

\(dy = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} dx \)

\(= \dfrac{1}{2\sqrt{16}} \cdot 0,01 \)

\(= 0,0025\)

Vậy \(f(16,01) \approx f(16) + dy = 4 + 0,0025 = 4,0025\).

Dùng vi phân để tính giá trị gần đúng của sin31∘.

Giải:

Ta có:

\(f(x) = \sin x, \)

\(x_0 = 30^\circ, \)

\(dx = 1^\circ\).

\(dy = \cos x dx \)

\(= \cos 30^\circ \cdot 1^\circ \)

\(= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1^\circ \)

\(= \dfrac{\sqrt{3}}{20}\)

Vậy \(f(31^\circ) \approx f(30^\circ) + dy = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{20} \approx 0,5000\).

Dạng 3: Ứng dụng của vi phân

Phương pháp giải:

Vi phân được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến tốc độ, gia tốc, …

Ví dụ:

Một vật chuyển động theo quỹ đạo \(s=t^3+2t^2+1\). Tính vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm t=2.

Giải:

Vận tốc của vật tại thời điểm t là:

\(v(t) = s'(t) = 3t^2 + 4t\)

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t=2 là:

\(v(2) = 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 = 16\)

Gia tốc của vật tại thời điểm t là:

\(a(t) = v'(t) = 6t + 4\)

Vậy gia tốc của vật tại thời điểm t=2 là:

\(a(2) = 6 \cdot 2 + 4 = 16\)

Bài tập có lời giải

Bài 1:
a) \(y = x^3 + 2x^2 – 1\)

\(dy= \dfrac{d}{dx}(x^3 + 2x^2 – 1) \)

\(= 3x^2 + 4x \)

\(= (3x^2 + 4x)dx\)

b) \(y = \sin x + \cos x\)

\(dy = \dfrac{d}{dx}(\sin x + \cos x) \)

\(= \cos x – \sin x \)

\(= (\cos x – \sin x)dx\)

c) \(y = \tan x\)

\(dy = \dfrac{d}{dx}(\tan x) \)

\(= \dfrac{1}{\cos^2 x} \)

\(= \sec^2 x dx\)

d) \(y = \ln(x^2 + 1)\)

\(dy = \dfrac{d}{dx}(\ln(x^2 + 1)) \)

\(= \dfrac{2x}{x^2 + 1} \)

\(= \dfrac{2x}{x^2 + 1}dx\)

Bài 2: Dùng vi phân để tính giá trị gần đúng của \(\sqrt{16,04}\)

Lời giải:

Ta có:

\(f(x) = \sqrt{x} \)

\(x_0 = 16, \)

\(dx = 0,04.\)

\(dy = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} dx \)

\(= \dfrac{1}{2\sqrt{16}} \cdot 0,04 \)

\(= 0,005\)

Vậy \((16.04 \approx f(16) + dy = 4 + 0.005 = 4.005)\)

Bài 3:Một vật chuyển động theo quỹ đạo \(s=t^3+2t^2+1\). Tính vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm t=2.

Giải:

Vận tốc của vật tại thời điểm t là:

\(v(t) = s'(t) = 3t^2 + 4t\)

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t=2 là:

\(v(2) = 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 = 16\)

Gia tốc của vật tại thời điểm t là:

\(a(t) = v'(t) = 6t + \)

Vậy gia tốc của vật tại thời điểm t=2 là:

\(a(2) = 6 \cdot 2 + 4 = 16\)

Việc giải các bài tập này sẽ giúp bạn nắm vững các khái niệm cơ bản của vi phân và ứng dụng của chúng trong thực tế.

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn