Trong chương trình toán học THPT, diện tích hình chóp cụt là một chủ đề quan trọng trong phần kiến thức về hình học không gian. Bài viết này sẽ trình bày lý thuyết và công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình chóp cụt cùng với các ví dụ minh họa cụ thể.
Khái niệm hình chóp cụt
Hình chóp cụt là phần còn lại của hình chóp sau khi cắt đi phần đỉnh bởi một mặt phẳng song song với mặt đáy.
Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác (hình tam giác, tứ giác, ngũ giác,…) có các cạnh tương ứng song song và tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau.
Các mặt bên đều là những hình thang.
Các đường thẳng chứa các cạnh bên sẽ đồng quy tại một điểm (đỉnh của hình chóp)
Diện tích xung quanh hình chóp cụt
Diện tích xung quanh hình chóp cụt được tính bằng công thức:
\(S_{\text{xq}} = \frac{n}{2} \times (a + b) \times h\)
Trong đó:
Sxq là diện tích xung quanh hình chóp cụt.
n là số lượng mặt bên của hình chóp cụt (bằng số cạnh của đa giác đáy).
a, b là chiều dài cạnh của lần lượt 2 đáy trên và dưới.
h là chiều cao của các tứ giác mặt bên.
Diện tích toàn phần hình chóp cụt
Diện tích toàn phần hình chóp cụt được tính bằng công thức:
\(S_{\text{tp}} = S_{\text{xq}} + S_{\text{đáy lớn}} + S_{\text{đáy nhỏ}}\)
Trong đó:
Stp là diện tích toàn phần hình chóp cụt.
Sxq là diện tích xung quanh hình chóp cụt.
\(S_{đáy lớn}\) là diện tích đáy lớn.
\(S_{đáy nhỏ}\) là diện tích đáy nhỏ.
Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp cụt có đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là hai hình vuông với cạnh 7 cm và 5 cm. Chiều cao của hình chóp cụt là 6 cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình chóp cụt.
Giải:
Diện tích xung quanh hình chóp cụt:
\(S_{\text{xq}} = \frac{4}{2} \times (7 + 5) \times 6 = 72 \, \text{cm}^2\)
Diện tích đáy lớn hình chóp cụt:
\(S_{đáy lớn} = 7² = 49cm²\)
Diện tích đáy nhỏ hình chóp cụt:
\(S_{đáy nhỏ} = 5² = 25cm²\)
Diện tích toàn phần hình chóp cụt:
\(Stp = Sxq + S_{đáy lớn} + S_{đáy nhỏ} = 72 + 49 + 25 = 146cm²\)
Ví dụ 2: Cho hình chóp cụt có đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là hai hình lục giác đều với cạnh 6 cm và 4 cm. Chiều cao của hình chóp cụt là 8 cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình chóp cụt.
Giải:
Diện tích xung quanh hình chóp cụt:
\(Sxq = \frac{6}{2} \times (6 + 4) \times 8 = 144cm²\)
Diện tích đáy lớn hình chóp cụt:
\(S_{\text{đáy lớn}} = 6^2 \times \frac{3 \times \sqrt{3}}{4} = 54\sqrt{3} \, \text{cm}^2\)
Diện tích đáy nhỏ hình chóp cụt:
\(S_{\text{đáy nhỏ}} = 4^2 \times \frac{3 \times \sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \, \text{cm}^2\)
Diện tích toàn phần hình chóp cụt:
\(S_{\text{tp}} = S_{\text{xq}} + S_{\text{đáy lớn}} + S_{\text{đáy nhỏ}} = 144 + 54\sqrt{3} + 16\sqrt{3} = 216 \, \text{cm}^2\)
Các dạng bài tập diện tích hình chóp cụt
Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình chóp cụt
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định số lượng cạnh của đa giác đáy (n), chiều dài cạnh của đáy lớn (a), chiều dài cạnh của đáy nhỏ (b) và chiều cao của các tứ giác mặt bên (h).
Bước 2: Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh:
\(S_{\text{xq}} = \frac{n}{2} \times (a + b) \times h\)
Bước 3: Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần:
\(Stp = Sxq + S_{đáy lớn} + S_{đáy nhỏ}\)
Bước 4: Thay giá trị n, a, b và h vào các công thức để tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.
Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hình chóp cụt có đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là hai hình vuông với cạnh 7 cm và 5 cm. Chiều cao của hình chóp cụt là 6 cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp cụt.
Giải:
Diện tích xung quanh hình chóp cụt:
\[ S_{\text{xq}} = \frac{4}{2} \times (7 + 5) \times 6 = 72 \, \text{cm}^2 \]
Diện tích đáy lớn:
\(S_{đáy lớn}\) = 7² = 49cm²
Diện tích đáy nhỏ:
\(S_{đáy nhỏ} \)= 5² = 25cm²
Diện tích toàn phần hình chóp cụt:
\[ Stp = Sxq + S_{đáy lớn} + S_{đáy nhỏ} = 72 + 49 + 25 = 146cm²\]
Ví dụ 2: Cho hình chóp cụt có đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là hai hình lục giác đều với cạnh 6 cm và 4 cm. Chiều cao của hình chóp cụt là 8 cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp cụt.
Giải:
Diện tích xung quanh hình chóp cụt:
\[ S_{\text{xq}} = \frac{6}{2} \times (6 + 4) \times 8 = 144 \, \text{cm}^2 \]
Diện tích đáy lớn:
\[ S_{\text{đáy lớn}} = 6^2 \times \frac{3\sqrt{3}}{4} = 54\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \]
Diện tích đáy nhỏ:
\[ S_{\text{đáy nhỏ}} = 4^2 \times \frac{3\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \]
Diện tích toàn phần hình chóp cụt:
\[ S_{\text{tp}} = S_{\text{xq}} + S_{\text{đáy lớn}} + S_{\text{đáy nhỏ}} = 144 + 54\sqrt{3} + 16\sqrt{3} = 160 + 70\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \]
Dạng 2: Tính chiều cao, cạnh đáy
Phương pháp giải:
Bước 1: Lựa chọn công thức phù hợp dựa vào thông tin đề bài cho và yêu cầu tính toán.
Bước 2: Thay các giá trị đã biết vào công thức để tính toán.
Ví dụ:
Ví dụ 3: Cho hình chóp cụt có diện tích xung quanh Sxq = 72cm² và đường sinh l = 6cm. Tính cạnh a của đáy lớn và cạnh b của đáy nhỏ, biết rằng n = 4.
Giải:
Diện tích xung quanh hình chóp cụt:
\[ S_{\text{xq}} = \frac{n}{2} \times (a + b) \times h \]
\[ 72 = \frac{4}{2} \times (a + b) \times 6 \]
a + b = 6
Gọi x là cạnh a của đáy lớn, y là cạnh b của đáy nhỏ. Ta có hệ phương trình:
{x + y = 6, x – y = 2}
Giải hệ phương trình, ta được:
x = 4, y = 2
Bài tập trắc nghiệm vận dụng
Câu 1: Cho hình chóp cụt có đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là hai hình vuông với cạnh 5 cm và 3 cm. Chiều cao của hình chóp cụt là 4 cm. Diện tích xung quanh của hình chóp cụt bằng:
A. 32cm²
B. 48cm²
C. 64cm²
D. 80cm²
Câu 2: Cho hình chóp cụt có đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là hai hình lục giác đều với cạnh 6 cm và 4 cm. Chiều cao của hình chóp cụt là 5 cm. Diện tích toàn phần của hình chóp cụt bằng:
A. 150cm²
B. 180cm²
C. 210cm²
D. 240cm²
Câu 3: Một hình chóp cụt có đáy lớn là hình vuông cạnh 8 cm, đáy nhỏ là hình vuông cạnh 4 cm, chiều cao 6 cm. Diện tích xung quanh của hình chóp cụt là:
A. 80cm²
B. 112cm²
C. 144cm²
D. 176cm²
Câu 4: Một hình chóp cụt có đáy lớn là hình lục giác đều cạnh 5 cm, đáy nhỏ là hình lục giác đều cạnh 3 cm, chiều cao 4 cm. Diện tích xung quanh của hình chóp cụt là:
A. 120cm²
B. 144cm²
C. 168cm²
D. 192cm²
Câu 5: Một hình chóp cụt có đáy lớn là hình ngũ giác đều cạnh 6 cm, đáy nhỏ là hình ngũ giác đều cạnh 4 cm, chiều cao 5 cm. Diện tích toàn phần của hình chóp cụt là:
A. 185cm²
B. 210cm²
C. 235cm²
D. 260cm²
Câu 6: Một hình chóp cụt có đáy lớn là hình bát giác đều cạnh 7 cm, đáy nhỏ là hình bát giác đều cạnh 5 cm, chiều cao 8 cm. Diện tích xung quanh của hình chóp cụt là:
A. 224cm²
B. 256cm²
C. 288cm²
D. 320cm²
Câu 7: Một hình chóp cụt có đáy lớn là hình tam giác đều cạnh 8 cm, đáy nhỏ là hình tam giác đều cạnh 6 cm, chiều cao 5 cm. Diện tích xung quanh của hình chóp cụt là:
A. 60cm²
B. 72cm²
C. 84cm²
D. 96cm²
Câu 8: Một hình chóp cụt có đáy lớn là hình thang cân có đáy lớn 10 cm, đáy nhỏ 6 cm, chiều cao 8 cm, đáy nhỏ và đáy lớn song song. Diện tích xung quanh của hình chóp cụt là:
A. 96cm²
B. 112cm²
C. 128cm²
D. 144cm²
Câu 9: Một hình chóp cụt có đáy lớn là hình thoi có độ dài đường chéo 10 cm và 8 cm, đáy nhỏ là hình thoi có độ dài đường chéo 6 cm và 4 cm, chiều cao 5 cm. Diện tích xung quanh của hình chóp cụt là:
A. 80cm²
B. 96cm²
C. 112cm²
D. 128cm²
Nắm vững kiến thức về diện tích hình chóp cụt giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến hình chóp cụt một cách chính xác và hiệu quả.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
