Diện tích hình nón cụt là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học lớp 9. Việc nắm vững các công thức và cách tính diện tích hình nón cụt giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách chính xác và hiệu quả.
Khái niệm hình nón cụt
Hình nón cụt là phần còn lại của hình nón sau khi cắt đi phần đỉnh bởi một mặt phẳng song song với mặt đáy.
Diện tích xung quanh hình nón cụt
Diện tích xung quanh hình nón cụt được tính bằng công thức:
Sxq = π \(\times\) (R + r) \(\times\) l
Trong đó:
Sxq là diện tích xung quanh hình nón cụt.
π ≈ 3,14
R là bán kính đáy lớn.
r là bán kính đáy nhỏ.
l là độ dài đường sinh.
Diện tích toàn phần hình nón cụt
Diện tích toàn phần hình nón cụt được tính bằng công thức:
Stp = Sxq + π \(\times\) R² + π \(\times\) r²
Trong đó:
Stp là diện tích toàn phần hình nón cụt.
Sxq là diện tích xung quanh hình nón cụt.
π ≈ 3,14
R là bán kính đáy lớn.
r là bán kính đáy nhỏ.
Một số công thức liên quan
Chu vi đáy lớn hình nón cụt
C = 2π \(\times\) R
Chu vi đáy nhỏ hình nón cụt
C = 2π \(\times\) r
Độ dài đường sinh l
\[ l = \sqrt{h^2 + (R – r)^2} \]
Trong đó:
h là chiều cao của hình nón cụt.
Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hình nón cụt có bán kính đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là 5 cm và 3 cm. Chiều cao của hình nón cụt là 4 cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình nón cụt.
Giải:
Diện tích xung quanh hình nón cụt:
Sxq = π \(\times\) (5 + 3) \(\times\) 4 = 32π (cm²)
Diện tích đáy lớn:
Sđáy lớn = π \(\times\) 5² = 25π (cm²)
Diện tích đáy nhỏ:
Sđáy nhỏ = π \(\times\) 3² = 9π (cm²)
Diện tích toàn phần hình nón cụt:
Stp = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ = 32π + 25π + 9π = 66π (cm²)
Ví dụ 2: Cho hình nón cụt có bán kính đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là 6 cm và 4 cm. Chiều cao của hình nón cụt là 5 cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình nón cụt.
Giải:
Diện tích xung quanh hình nón cụt:
Sxq = π \(\times\) (6 + 4) \(\times\) 5 = 50π (cm²)
Diện tích đáy lớn:
Sđáy lớn = π \(\times\) 6² = 36π (cm²)
Diện tích đáy nhỏ:
Sđáy nhỏ = π \(\times\) 4² = 16π (cm²)
Diện tích toàn phần hình nón cụt:
Stp = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ = 50π + 36π + 16π = 102π (cm²)
Các dạng bài tập và phương pháp giải diện tích hình nón cụt
Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón cụt
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định bán kính R, r và độ dài đường sinh l của hình nón cụt.
Bước 2: Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh:
Sxq = π \(\times\) (R + r) \(\times\) l
Bước 3: Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần:
Stp = Sxq + π \(\times\) R² + π \(\times\) r²
Bước 4: Thay giá trị R, r và l vào các công thức để tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.
Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hình nón cụt có bán kính đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là 5 cm và 3 cm. Chiều cao của hình nón cụt là 4 cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình nón cụt.
Giải:
Diện tích xung quanh hình nón cụt:
Sxq = π \(\times\) (5 + 3) \(\times\) 4 = 32π (cm²)
Diện tích đáy lớn:
Sđáy lớn = π \(\times\) 5² = 25π (cm²)
Diện tích đáy nhỏ:
Sđáy nhỏ = π \(\times\) 3² = 9π (cm²)
Diện tích toàn phần hình nón cụt:
Stp = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ = 32π + 25π + 9π = 66π (cm²)
Ví dụ 2: Cho hình nón cụt có bán kính đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là 6 cm và 4 cm. Chiều cao của hình nón cụt là 5 cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình nón cụt.
Giải:
Diện tích xung quanh hình nón cụt:
Sxq = π \(\times\) (6 + 4) \(\times\) 5 = 50π (cm²)
Diện tích đáy lớn:
Sđáy lớn = π \(\times\) 6² = 36π (cm²)
Diện tích đáy nhỏ:
Sđáy nhỏ = π \(\times\) 4² = 16π (cm²)
Diện tích toàn phần hình nón cụt:
Stp = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ = 50π + 36π + 16π = 102π (cm²)
Dạng 2: Tính bán kính đáy, chiều cao hình nón cụt
Phương pháp giải:
Bước 1: Lựa chọn công thức phù hợp dựa vào thông tin đề bài cho và yêu cầu tính toán.
Bước 2: Thay các giá trị đã biết vào công thức để tính toán.
Ví dụ:
Ví dụ 3: Cho hình nón cụt có diện tích xung quanh Sxq = 32π cm² và đường sinh l = 4cm. Tính bán kính R, r của đáy lớn và đáy nhỏ, biết rằng n = 4.
Giải:
Diện tích xung quanh hình nón cụt:
Sxq = π \(\times\) (R + r) \(\times\) l
32π = π \(\times\) (R + r) \(\times\) 4
R + r = 8
Gọi R là bán kính đáy lớn, r là bán kính đáy nhỏ. Ta có hệ phương trình:
{R + r = 8, R – r = 2}
Giải hệ phương trình, ta được:
R = 5, r = 3
Bài tập tự luận về diện tích hình nón cụt
Bài 1: Cho hình nón cụt có bán kính đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là 5 cm và 3 cm. Chiều cao của hình nón cụt là 4 cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình nón cụt.
Bài 2: Cho hình nón cụt có bán kính đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là 6 cm và 4 cm. Chiều cao của hình nón cụt là 5 cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình nón cụt.
Bài 3: Một hình nón cụt có đáy lớn là hình vuông cạnh 8 cm, đáy nhỏ là hình vuông cạnh 4 cm, chiều cao 6 cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình nón cụt.
Bài tập vận dụng có lời giải
Bài tập 1:
Tính diện tích toàn phần của một hình nón có bán kính đáy là 5 cm và chiều cao là 8 cm.
Lời giải:
Diện tích toàn phần của hình nón được tính bằng công thức:
\[ S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}} \]
Trong đó:
– \( S_{xq} \) là diện tích xung quanh hình nón, được tính bằng công thức: \( S_{xq} = \pi \times r \times l \)
– \( S_{\text{đáy}} \) là diện tích đáy của hình nón, được tính bằng công thức: \( S_{\text{đáy}} = \pi \times r^2 \)
Với \( r = 5 \) cm và \( h = 8 \) cm, ta tính được:
\[ l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89} \]
\[ S_{xq} = \pi \times r \times l = \pi \times 5 \times \sqrt{89} \]
\[ S_{\text{đáy}} = \pi \times r^2 = \pi \times 5^2 \]
Tính toán giá trị và thay vào công thức của \( S_{tp} \), ta có:
\[ S_{tp} = \pi \times 5 \times \sqrt{89} + \pi \times 5^2 \]
Bài 2: Cho hình nón cụt có hai bán kính đáy là 3cm và 5cm, chiều cao là 4cm. Tính diện tích toàn phần của hình nón cụt.
Lời giải:
Diện tích xung quanh của hình nón cụt là:
Sxq = π(R + r)l = π(5 + 3) \(\times\) 4 = 32π cm²
Diện tích đáy nhỏ là:
Sđ1 = πr² = π \(\times\) 3² = 9π cm²
Diện tích đáy lớn là:
Sđ2 = πR² = π \(\times\) 5² = 25π cm²
Diện tích toàn phần của hình nón cụt là:
Stp = Sxq + Sđ1 + Sđ2 = 32π + 9π + 25π = 66π cm²
Bài 3: Cho hình nón cụt có diện tích toàn phần là 280π cm² và chiều cao là 10cm. Biết bán kính đáy lớn gấp đôi bán kính đáy nhỏ. Tính bán kính đáy lớn và bán kính đáy nhỏ của hình nón cụt.
Lời giải:
Gọi R và r lần lượt là bán kính đáy lớn và bán kính đáy nhỏ của hình nón cụt.
Ta có: R = 2r
Diện tích xung quanh của hình nón cụt là:
Sxq = π(R + r)l = π(2r + r) \(\times\) 10 = 30πr
Diện tích đáy nhỏ là:
Sđ1 = πr²
Diện tích đáy lớn là:
Sđ2 = πR² = π \(\times\) (2r)² = 4πr²
Diện tích toàn phần của hình nón cụt là:
Stp = Sxq + Sđ1 + Sđ2 = 30πr + πr² + 4πr² = 280π cm²
Thay Sxq = 30πr vào phương trình trên, ta được:
30πr + πr² + 4πr² = 280π
Giải phương trình, ta được: r = 4 cm
Vậy bán kính đáy lớn là R = 2r = 8 cm và bán kính đáy nhỏ là r = 4 cm.
Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ hơn về diện tích hình nón cụt và cách tính diện tích hình nón cụt.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
