Chào mừng bạn đến với “thế giới” của công thức phương trình mũ! Bài viết này sẽ là người bạn đồng hành giúp bạn khám phá bí ẩn ẩn sau những con số và chinh phục mọi dạng bài tập về phương trình mũ. Hãy cùng bắt đầu hành trình thú vị này nhé!
Định nghĩa phương trình mũ
Phương trình mũ là phương trình có dạng \(a^x = b\), trong đó a là số dương khác 1 và b là số thực bất kỳ.
Công thức nghiệm của phương trình mũ
Phương trình mũ cơ bản
Phương trình \(a^x = b\) có nghiệm duy nhất \(x = log_a b\).
Phương trình mũ có dạng \(a^(mx + n) = b\)
Phương trình này có nghiệm \(x = \frac{log_a b – n}{m}\).
Phương trình mũ có dạng \(a^x = a^k\)
Phương trình này có nghiệm x = k.
Một số dạng phương trình mũ thường gặp
Phương trình mũ cơ bản
\(a^x = b (a ≠ 1, b > 0)\)
Phương trình mũ có dạng:
\(a^x + b^x = c\)
Phương trình mũ có dạng
\(a^(x + m) = a^(x + n)\)
Logarit của tích
\(log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y) (a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0)\)Logarit của thương
\(log_a(x/y) = log_a(x) – log_a(y) (a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0)\)Logarit của lũy thừa
\(log_a(x^n) = n.log_a(x)\) (a > 0, a ≠ 1, x > 0, n là số nguyên)
Logarit của căn bậc n
\(log_a(√n) = 1/n.log_a(x)\) (a > 0, a ≠ 1, x > 0, n là số nguyên dương)
Đổi cơ số logarit
\(log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)\) (a, b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1, x > 0)
Logarit của 1
\(log_a(1) = 0\) (a > 0, a ≠ 1)
Logarit của số e
\(ln(x) = log_e(x) (x > 0)\)Logarit của số 10
\(log(x) = log_{10}(x) (x > 0)\)Hằng số Euler
\(e ≈ 2,71828\)Các phương pháp giải phương trình mũ
Đưa về cùng cơ số
Bước 1: Chuyển vế để a^x đứng một vế.
Bước 2: Viết cả hai vế về cùng cơ số a.
Bước 3: Giải phương trình thu được.
Ví dụ:
Giải phương trình: \(2^x = 8\)
Lời giải:
\(2^x = 8 = 2^3\)
⇔ x = 3
Sử dụng logarit:
Bước 1: Lấy logarit hai vế của phương trình với cùng cơ số.
Bước 2: Giải phương trình logarit thu được.
Ví dụ:
Giải phương trình: \(3^x = 5\)
Lời giải:
\(log3{3^x} = log3(5)\)
⇔\( x = log3(5)\)
Đặt ẩn phụ:
Bước 1: Đặt ẩn phụ \(u = a^x.\)
Bước 2: Giải phương trình ẩn u.
Bước 3: Thay \(u = a^x\) vào phương trình ban đầu và giải tìm x.
Ví dụ:
Giải phương trình: \(2^{x^2 – 1} = 16\)
Lời giải:
Đặt \(u = x^2 – 1\), ta có:
\(2^u = 16 = 2^4\)
⇔ u = 4
⇔ \(x^2 – 1 = 4\)
⇔ \(x^2 = 5\)
⇔ \(x = ±√5\)
Phương pháp đồ thị:
Vẽ đồ thị của hai hàm số \(y = a^x\) và y = b.
Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Các dạng bài tập công thức phương trình mũ có lời giải
Dạng 1: Giải phương trình mũ cơ bản:
\(a^x = b (b > 0)\)
Phương pháp:
Lấy logarit hai vế của phương trình theo cùng cơ số.
Giải phương trình logarit thu được.
Ví dụ:
Giải phương trình \(2^x = 8\)
Lời giải:
Lấy logarit hai vế của phương trình theo cơ số 2, ta được:
\(log_2(2^x) = log_2(8)\)⇔ \(x = log_2(8) = 3\)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.
Dạng 2: Giải phương trình mũ dạng ẩn ở số mũ:
\(a^(f(x)) = b (b > 0)\)
Phương pháp:
Đặt ẩn phụ.
Giải phương trình thu được.
Ví dụ:
Giải phương trình \(2^(3x – 1) = 16\).
Lời giải:
Đặt ẩn phụ \(t = 3x – 1\), ta được:
\(2^t = 16 = 2^4\)⇔ t = 4.
⇔ 3x – 1 = 4.
⇔ \(x = \frac{5}{3}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{5}{3}\)
Dạng 3: Giải phương trình mũ dạng tích:
\(a^{x + m} = a^n.a^p\)
Phương pháp:
Chuyển vế và sử dụng tính chất của lũy thừa.
Giải phương trình thu được.
Ví dụ:
Giải phương trình \(3^{x + 2} = 3^5.3^2\)
Lời giải:
Chuyển vế, ta được:
\(3^(x + 2) = 3^(5 + 2)\)⇔ x + 2 = 7.
⇔ x = 5.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 5.
Dạng 4: Giải phương trình mũ dạng thương:
\(a^{x + m} = a^n/a^p\)
Phương pháp:
Chuyển vế và sử dụng tính chất của lũy thừa.
Giải phương trình thu được.
Ví dụ:
Giải phương trình \(2^{x – 1} = 2^3/2^2\).
Lời giải:
Chuyển vế, ta được:
\(2^{x – 1} = 2^{3 – 2}\)⇔ x – 1 = 1.
⇔ x = 2.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
Bài tập về phương trình mũ có lời giải chi tiết
Bài tập 1: Giải phương trình:
\(2^x = 8\)Lời giải:
Lấy logarit hai vế của phương trình theo cơ số 2, ta được:
\(log_2(2^x) = log_2(8)\)⇔ \(x = log_2(8) = 3\)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.
Bài tập 2: Giải phương trình:
\(3^{x + 2} = 3^5.3^2\)Lời giải:
Chuyển vế, ta được:
\(3^{x + 2} = 3^{5 + 2}\)⇔ x + 2 = 7.
⇔ x = 5.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 5.
Bài tập 3: Giải phương trình:
\(2^{x – 1} = \frac{2^3}{2^2}\)Lời giải:
Chuyển vế, ta được:
\(2^{x – 1} = 2^{3 – 2}\)⇔ x – 1 = 1.
⇔ x = 2.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
Bài tập 4: Giải phương trình:
\(5^{x + 1}= 125\)Lời giải:
Ta có: \(125 = 5^3\)
Chuyển vế và sử dụng tính chất của lũy thừa, ta được:
\(5^{x + 1} = 5^3\)⇔ x + 1 = 3.
⇔ x = 2.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
Bài tập 5: Giải phương trình:
\(2^{2x – 1}= \frac{1}{16}\)Lời giải:
Ta có: \(\frac{1}{16} = 2^{-4}\)
Chuyển vế và sử dụng tính chất của lũy thừa, ta được:
\(2^{2x – 1}= 2^{-4}\)⇔ 2x – 1 = -4.
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{-3}{2}\)
Như vậy, bài viết đã cung cấp cho bạn hệ thống công thức và phương pháp giải phương trình mũ lớp 12. Hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải bài tập và đạt kết quả cao trong học tập. Chúc bạn thành công!”
