Học sinh lớp 11 đang gặp khó khăn trong việc nắm vững công thức đạo hàm của hàm số lượng giác?
Bạn đang tìm kiếm tài liệu tham khảo đầy đủ và dễ hiểu để ôn tập cho kỳ thi THPT Quốc gia? Hãy cùng khám phá bài viết này, nơi bạn sẽ được cung cấp đầy đủ các công thức đạo hàm của hàm số lượng giác lớp 11, cùng với các ví dụ minh họa và hướng dẫn giải bài tập chi tiết.
Đạo hàm của hàm số lượng giác là gì?
Đạo hàm của hàm số lượng giác là tốc độ biến thiên của hàm số lượng giác tại một điểm. Nó cho biết hàm số lượng giác đang tăng hay giảm tại điểm đó và với tốc độ bao nhiêu.
Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác cơ bản
Bảng công thức đạo hàm sơ cấp đạo hàm thứ cấp
| \(x^n = n \cdot x^{n-1}\)
\(e^x = e^x\) \(a^x = \ln(a) \cdot a^x\) \(\log_a x = \dfrac{1}{\ln(a) \cdot x}\) \(\sin x = \cos x\) \(\cos x = -\sin x\) \(\tan x = \dfrac{1}{\cos^2 x}\) \(\cot x = -\dfrac{1}{\sin^2 x}\) |
\(x^n = n(n-1) \cdot x^{n-2}\)
\(e^x = e^x\) \(a^x = \ln^2(a) \cdot a^x\) \(\log_a x = -\dfrac{1}{\ln^2(a) \cdot x}\) \(\sin x = -\sin x\) \(\cos x = -\cos x\) \(\tan x = \dfrac{2\sin x}{\cos^3 x}\) \(\cot x = -\dfrac{2\cos x}{\sin^3 x}\) |
Bảng công thức đạo hàm của hàm số lượng giác ngược
Bài tập vận dụng có lời giải chi tiết
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \sin(x) \cos(x) \)
Lời giải:
Áp dụng quy tắc tích, ta có:
\[ y’ = [\sin(x)]’ \cos(x) + \sin(x) [\cos(x)]’ \]
\[ = \cos(x) \cos(x) + \sin(x) (-\sin(x)) \]
\[ = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
Do đó, đạo hàm của \( y = \sin(x) \cos(x) \) là \( y’ = \cos^2(x) – \sin^2(x) \).
Bài 2: Tìm đạo hàm của hàm số \( y = \tan(x) + \cot(x) \)
Lời giải:
Áp dụng công thức đạo hàm:
\[ y’ = [\tan(x)]’ + [\cot(x)]’ \]
\[ = \sec^2(x) – \csc^2(x) \]
Vậy đạo hàm của \( y = \tan(x) + \cot(x) \) là \( y’ = \sec^2(x) – \csc^2(x) \).
Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số \( y = 3\sin^2(x) – 4\cos^2(x) \)
Lời giải:
Áp dụng công thức đạo hàm cho hàm số mũ và hàm số lượng giác, ta có:
\[ y’ = 3[2\sin(x)\cos(x)] – 4[-2\cos(x)\sin(x)] \]
\[ = 6\sin(x)\cos(x) + 8\cos(x)\sin(x) \]
\[ = 14\sin(x)\cos(x) \]
Do đó, đạo hàm của \( y = 3\sin^2(x) – 4\cos^2(x) \) là \( y’ = 14\sin(x)\cos(x) \).
Dưới đây là thêm 2 bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác, tương tự như bài tập 3, cùng với lời giải chi tiết:
Bài 4: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \sin^3(x) + \cos^3(x) \)
Lời giải:
Để tính đạo hàm của hàm số này, ta sử dụng quy tắc chuỗi và công thức đạo hàm cơ bản:
\[ y’ = 3\sin^2(x) [\sin(x)]’ + 3\cos^2(x) [\cos(x)]’ \]
Sử dụng đạo hàm của \( \sin(x) \) và \( \cos(x) \):
\[ y’ = 3\sin^2(x) \cos(x) – 3\cos^2(x) \sin(x) \]
Đây là đạo hàm của hàm số \( y = \sin^3(x) + \cos^3(x) \).
Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số \( y = e^{\sin(x)} \cos(x) \)
Lời giải:
Ở bài tập này, ta sử dụng quy tắc tích và quy tắc chuỗi để tính đạo hàm:
\[ y’ = [e^{\sin(x)}]’ \cos(x) + e^{\sin(x)} [\cos(x)]’ \]
Đạo hàm của \( e^{\sin(x)} \) sẽ là \( e^{\sin(x)} \cdot [\sin(x)]’ \), và đạo hàm của \( \cos(x) \) là \( -\sin(x) \):
\[ y’ = e^{\sin(x)} \cos(x) \cos(x) – e^{\sin(x)} \sin(x) \]
\[ y’ = e^{\sin(x)} (\cos^2(x) – \sin(x)) \]
Đây là đạo hàm của hàm số \( y = e^{\sin(x)} \cos(x) \).
Những bài tập này giúp bạn củng cố kỹ năng áp dụng công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề thông qua việc sử dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản và kết hợp chúng một cách linh hoạt.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
