Nửa mặt phẳng trong toán học lớp 6: Định nghĩa, tính chất và ví dụ

Trong toán học lớp 6, khái niệm về “Nửa mặt phẳng” là một phần quan trọng trong việc hiểu và áp dụng các kiến thức về hình học cơ bản. Nửa mặt phẳng là một khái niệm đơn giản nhưng lại có ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học. Bằng cách nắm vững và hiểu sâu về nửa mặt phẳng, học sinh có thể dễ dàng tiếp cận và giải quyết các vấn đề phức tạp về hình học một cách tự tin.

Khái niệm mặt phẳng và nửa mặt phẳng

Mặt phẳng: Mặt phẳng là hình ảnh của một mặt bàn, mặt bảng, … Mặt phẳng không bị giới hạn về mọi phía.

Nửa mặt phẳng:

Định nghĩa: Nửa mặt phẳng là hình gồm đường thẳng a và một phần mặt phẳng bị chia ra bởi a.

Tính chất nửa mặt phẳng

Bất kỳ đường thẳng nào nằm trên mặt phẳng cũng là bờ chung của hai nửa mặt phẳng đối nhau.

Nếu hai điểm M, N cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a thì ta nói hai điểm đó nằm cùng phía đối với đường thẳng a.

Nếu hai điểm M, P thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a thì ta nói hai điểm đó nằm khác phía đối với đường thẳng a.

Tia nằm giữa hai tia

Nếu tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy thì:

• Tia Ox và Oy là hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Oz.
• Mọi điểm thuộc tia Oz đều nằm cùng phía đối với mỗi tia Ox và Oy.
• Mọi điểm không thuộc tia Oz đều nằm khác phía đối với hai tia Ox và Oy.

Nếu tia OB nằm giữa hai tia OA và OC thì:

∠AOB + ∠BOC = ∠AOC

Các dạng toán thường gặp bài Nửa mặt phẳng

Dạng 1: Cho một đường thẳng và một điểm, xác định điểm đó nằm cùng phía hay khác phía với đường thẳng đối với một điểm cho trước.

Phương pháp giải:

• Vẽ hình.
• Lấy một điểm bất kỳ trên đường thẳng.
• Xác định vị trí tương đối của ba điểm: điểm đã cho, điểm trên đường thẳng và điểm cần xác định.

Ví dụ:

Cho đường thẳng a và điểm M. Xác định điểm N nằm cùng phía hay khác phía với đường thẳng a đối với điểm M.

Giải:

• Lấy điểm O bất kỳ trên đường thẳng a.
• Xác định vị trí tương đối của ba điểm M, O và N.
• Nếu ba điểm M, O và N thẳng hàng và M nằm giữa O và N thì N nằm cùng phía với đường thẳng a đối với điểm M.
• Nếu ba điểm M, O và N không thẳng hàng và N nằm trên nửa mặt phẳng bờ a chứa điểm M thì N nằm cùng phía với đường thẳng a đối với điểm M.
• Nếu ba điểm M, O và N không thẳng hàng và N nằm trên nửa mặt phẳng bờ a không chứa điểm M thì N nằm khác phía với đường thẳng a đối với điểm M.

Dạng 2: Cho hai đường thẳng và một điểm, xác định điểm đó nằm trong hay ngoài góc tạo bởi hai đường thẳng đó.

Phương pháp giải:

• Vẽ hình.
• Xác định vị trí tương đối của ba điểm: điểm đã cho, điểm chung của hai đường thẳng và điểm cần xác định.

Ví dụ:

Cho hai đường thẳng a và b và điểm M. Xác định điểm N nằm trong hay ngoài góc tạo bởi hai đường thẳng a và b.

Giải:

• Xác định vị trí tương đối của ba điểm O, M và N.
• Nếu ba điểm O, M và N thẳng hàng và O nằm giữa M và N thì N nằm trong góc tạo bởi hai đường thẳng a và b.
  Nếu ba điểm O, M và N không thẳng hàng và N nằm trên nửa mặt phẳng bờ a chứa điểm M thì N nằm trong góc tạo bởi hai đường thẳng a và b.
• Nếu ba điểm O, M và N không thẳng hàng và N nằm trên nửa mặt phẳng bờ a không chứa điểm M thì N nằm ngoài góc tạo bởi hai đường thẳng a và b.

Dạng 3: Cho một điểm O và hai tia Ox, Oy. Vẽ đường thẳng a đi qua O và không cắt tia Ox, Oy.

Phương pháp giải:

• Vẽ hình.
• Xác định vị trí tương đối của ba điểm O, M và N.

Ví dụ:

Cho một điểm O và hai tia Ox, Oy. Vẽ đường thẳng a đi qua O và không cắt tia Ox, Oy.

Giải:

• Vẽ hình:
• Lấy một điểm M bất kỳ trên đường thẳng a.
• Xác định vị trí tương đối của ba điểm O, M và N.
• Nếu ba điểm O, M và N thẳng hàng và O nằm giữa M và N thì đường thẳng a đi qua O và không cắt tia Ox, Oy.

Bài tập vận dụng có lời giải

Bài 1: Cho điểm A nằm trên đường thẳng xy. Vẽ tia Az sao cho tia Az và tia Ay nằm cùng phía đối với đường thẳng xy.

Lời giải:

• Vẽ hình: [đã xoá URL không hợp lệ]
• Lấy một điểm M bất kỳ trên đường thẳng xy.
• Xác định vị trí tương đối của ba điểm A, M và z.
• Nếu ba điểm A, M và z thẳng hàng và A nằm giữa M và z thì tia Az và tia Ay nằm cùng phía đối với đường thẳng xy.

Bài 2: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm O. Vẽ tia Om sao cho tia Om nằm trong góc tạo bởi hai đường thẳng a và b.

Lời giải:

• Vẽ hình: [đã xoá URL không hợp lệ]
• Xác định vị trí tương đối của ba điểm O, M và N.
• Nếu ba điểm O, M và N thẳng hàng và O nằm giữa M và N thì tia Om nằm trong góc tạo bởi hai đường thẳng a và b.

Bài 3: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Vẽ tia Ox cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại A và B. Vẽ tia Oy sao cho tia Oy và tia Ox nằm cùng phía đối với đường thẳng a.

Lời giải:

• Vẽ hình: 
• Xác định vị trí tương đối của ba điểm O, A và y.
• Nếu ba điểm O, A và y thẳng hàng và O nằm giữa A và y thì tia Oy và tia Ox nằm cùng phía đối với đường thẳng a.

Trên hành trình học toán lớp 6, việc hiểu và áp dụng khái niệm về nửa mặt phẳng là một bước quan trọng. Không chỉ giúp học sinh phát triển kỹ năng suy luận và tư duy không gian, mà còn giúp họ chuẩn bị tốt hơn cho những kiến thức hình học phức tạp ở các cấp độ sau. Với sự hỗ trợ của giáo viên và tài liệu phù hợp, việc nắm vững kiến thức về nửa mặt phẳng sẽ trở nên dễ dàng và thú vị hơn đối với học sinh.

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn