Công thức đạo hàm là một công cụ quan trọng để tính toán tốc độ biến thiên của hàm số. Công thức đạo hàm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Bài viết này sẽ giới thiệu cho bạn các công thức đạo hàm cơ bản.
Định nghĩa đạo hàm
Theo định nghĩa về mặt Toán học, đạo hàm là một tỉ số giữa số gia của đối số và số gia của hàm số tại một điểm bất kỳ gọi là điểm xo. Chiều biến thiên lên hay xuống của hàm số chính là giá trị của đạo hàm. Đây chính là lý do vì sao đạo hàm lại có ý nghĩa rất lớn trong vật lý và những ứng dụng trong cả hình học và hình học không gian.
Như vậy ta có: Cho hàm số có dạng y = f(x) xác định trong khoảng (a;b) và có điểm x0 € (a;b). Giới hạn hữu hạn (khi có nghĩa) của tỉ số khi x tới điểm xo được gọi là đạo hàm đã cho tại điểm xo.
Ký hiệu đạo hàm: f'(x) hay y'(x).
Ta có công thức tính đạo hàm như sau:
\(f'(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\)
Lưu ý :
- Ta có đai lượng \(\Delta x = x – x_0\) được gọi là số gia của đối số x tại x_0
- Ta có đại lượng \(\Delta y = f(x) – f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)\) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy ta có:
\(y'(x_0) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
Quy tắc đạo hàm
- Quy tắc cộng:
\((u(x)+v(x))’u'(x) + v'(x)\)
- Quy tắc nhân:
\((uv(x))’u'(x)v(x) + u(x)v’ (2)\)
- Quy tắc thương:
\(\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)’ = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\)
- Quy tắc hàm hợp:
\((f(g(x))’f(g(x)).g(x)\)
Công thức đạo hàm cơ bản
$$\left( x^n \right)’ = nx^{n-1}$$
$$\left( e^x \right)’ = e^x$$
$$\left( a^x \right)’ = \ln(a) \cdot a^x \quad (a > 0, a \neq 1)$$
$$\left( \sin(x) \right)’ = \cos(x)$$
$$\left( \cos(x) \right)’ = -\sin(x)$$
$$\left( \tan(x) \right)’ = \frac{1}{\cos^2(x)}$$
$$\left( \cot(x) \right)’ = -\frac{1}{\sin^2(x)}$$
Bảng công thức đạo hàm lượng giác
$$(\sin(x))’ = \cos(x) $$
$$(\cos(x))’ = -\sin(x) $$
$$(\tan(x))’ = \sec^2(x)$$
$$(\cot(x))’ = -\csc^2(x)$$
$$(\sec(x))’ = \sec(x)\tan(x) $$
$$(\csc(x))’ = -\csc(x)\cot(x)$$
$$(\arcsin(x))’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
$$(\arccos(x))’ = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $$
$$(\arctan(x))’ = \frac{1}{1+x^2}$$
Bảng công thức đạo hàm cần nhớ
Bài tập vận dụng
Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số:
- Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = x^3 – 2x^2 + 4x – 1.\)
- Tính đạo hàm của hàm số \(g(x) = sin(x) + cos(x) + tan(x).\)
- Tính đạo hàm của hàm số \(h(x) = e^x + ln(x) + a^x (a > 0, a ≠ 1)\).
Dạng 2: Ứng dụng đạo hàm:
- Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(f(x) = x^2 – 3x + 2\) tại điểm x = 1.
- Cho hàm số \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x – 5\). Tìm các giá trị của x để f'(x) > 0.
- Cho hàm số \(g(x) = -x^4 + 2x^2 + 1\). Tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số g(x).
Dạng 3: Bài tập nâng cao:
- Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x – 5\) là hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
- Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(h(x) = e^x – x^2\) trên đoạn [0; 2].
- Giải phương trình f'(x) = 0, trong đó \(f(x) = x^3 + 2x^2 – x – 2\).
Lời giải
Bài tập về đạo hàm lớp 11 có lời giải chi tiết:
Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số:
Bài 1:
Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = x^3 – 2x^2 + 4x – 1\).
Lời giải:
\(f'(x) = (x^3)’ – (2x^2)’ + (4x)’ – (1)’ = 3x^2 – 4x + 4\)
Bài 2:
Tính đạo hàm của hàm số g(x) = sin(x) + cos(x) + tan(x)[/latex].
Lời giải:
\(g'(x) = (sin(x))’ + (cos(x))’ + (tan(x))’ = cos(x) – sin(x) + \frac{1}{cos^2(x)}\)
Bài 3:
Tính đạo hàm của hàm số \(h(x) = e^x + ln(x) + a^x (a > 0, a ≠ 1)\).
Lời giải:
\(h'(x) = (e^x)’ + (ln(x))’ + (a^x)’ = e^x + \frac{1}{x} + ln(a) * a^x\)
Dạng 2: Ứng dụng đạo hàm:
Bài 1:
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(f(x) = x^2 – 3x + 2\) tại điểm x = 1.
Lời giải:
f'(x) = 2x – 3
f'(1) = 2 – 3 = -1
Hệ số góc của tiếp tuyến là -1.
Bài 2:
Cho hàm số \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x – 5\). Tìm các giá trị của x để f'(x) > 0.
Lời giải:
\(f'(x) = 3(x – 1)^2\)
\(f'(x) > 0 <=> (x – 1)^2 > 0 <=> x ≠ 1\)
Vậy, f'(x) > 0 khi x ≠ 1.
Bài 3:
Cho hàm số \(g(x) = -x^4 + 2x^2 + 1\). Tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số g(x).
Lời giải:
\(g'(x) = -4x(x^2 – 1)\)
\(g'(x) = 0 <=> x = 0, ±1\)
\(g”(x) = -12(x^2 – 1)\)
g”(0) = 12 > 0 => g(0) là điểm cực tiểu.
g”(-1) = -4 < 0 => g(-1) là điểm cực đại.
g”(1) = -4 < 0 => g(1) là điểm cực đại.
Vậy, g(0) là điểm cực tiểu, g(-1) và g(1) là điểm cực đại.
Dạng 3: Bài tập nâng cao:
Bài 1:
Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x – 5\) là hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Lời giải:
\(f'(x) = 3(x – 1)^2\)
f'(x) > 0 với mọi x ≠ 1
Do đó, f(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Bài 2:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(h(x) = e^x – x^2\) trên đoạn [0; 2].
Lời giải:
\(h'(x) = e^x – 2x\)
\(h'(x) = 0 <=> e^x = 2x <=> x = ln(2)\)
\(h”(x) = e^x – 2\)
\(h”(ln(2)) = e^{ln(2)} – 2 = 0\)
Vậy, h(ln(2)) là giá trị lớn nhất của hàm số h(x) trên đoạn [0; 2].
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích về công thức đạo hàm lớp 11. Bạn có thể áp dụng các công thức này để giải các bài tập toán liên quan.
