Thể tích khối tứ diện đều là một khái niệm quan trọng trong toán học, được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực thực tế như tính toán lượng vật liệu cần thiết để xây dựng các công trình kiến trúc, tính toán thể tích của các vật thể hình chóp, v.v.
Lý thuyết khối tứ diện đều
Khối tứ diện đều là khối tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các mặt đều là tam giác đều.
Tâm khối tứ diện đều là điểm G cách đều bốn đỉnh của tứ diện.
Chiều cao của khối tứ diện đều là đoạn thẳng nối từ một đỉnh bất kỳ đến tâm G của khối tứ diện.
Đường trung tuyến của tứ diện đều là đoạn thẳng nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện.
Đường phân giác của tứ diện đều là đoạn thẳng nối từ một đỉnh đến điểm chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ 1:2.
Công thức tính thể tích khối tứ diện đều
Công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a:
\(V = \frac{a^3 \cdot \sqrt{2}}{12}\)
trong đó:
V là thể tích của khối tứ diện.
a là độ dài cạnh của khối tứ diện.
\(\sqrt{2}\) là căn bậc hai của 2, xấp xỉ 1,414.
Cách tính thể tích khối tứ diện đều
Tính độ dài cạnh của khối tứ diện (a).
Thay giá trị của độ dài cạnh vào công thức \(V = \frac{a^3 \cdot \sqrt{2}}{12}\).
Tính toán và rút gọn phần thập phân (nếu có) để tìm ra giá trị thể tích của khối tứ diện.
Công thức tính thể tích khối tứ diện đều qua chiều cao h
\(V = \frac{a^2 \cdot h \cdot \sqrt{3}}{4}\)
trong đó:
V là thể tích của khối tứ diện.
a là độ dài cạnh của khối tứ diện.
h là chiều cao của khối tứ diện.
\(\sqrt{3}\) là căn bậc hai của 3, xấp xỉ 1,732.
Tính chất của khối tứ diện đều
Các cạnh của tứ diện đều bằng nhau.
Các đường chéo của tứ diện đều bằng nhau.
Tứ diện đều có tâm đối xứng là giao điểm của ba đường trung tuyến.
Các dạng bài tập và phương pháp giải về thể tích khối tứ diện đều:
Dạng 1: Cho độ dài cạnh của khối tứ diện đều, tính thể tích của khối tứ diện đều.
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức: \(V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}\), trong đó a là độ dài cạnh của khối tứ diện đều.
Ví dụ:
Cho một khối tứ diện đều có cạnh a = 5cm. Tính thể tích của khối tứ diện đều.
Bài giải:
Thể tích của khối tứ diện đều là:
\(V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{5^3\sqrt{2}}{12} = \frac{125\sqrt{2}}{12} \approx 52.36 \text{ cm}^3\)
Dạng 2: Cho một số thông tin về các yếu tố của khối tứ diện đều (như đường cao, đường trung tuyến, đường chéo), tính thể tích của khối tứ diện đều.
Phương pháp giải:
- Sử dụng các mối quan hệ giữa các yếu tố của tứ diện đều để tính độ dài cạnh.
- Áp dụng công thức: \(V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}\), trong đó a là độ dài cạnh của khối tứ diện đều.
Ví dụ:
Cho một khối tứ diện đều ABCD có đường cao AH = 6cm. Tính thể tích của khối tứ diện đều.
Bài giải:
Gọi O là tâm đối xứng của tứ diện đều ABCD.
Ta có: OA = OB = OC = OD =\(\frac{AH\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\)
Vậy, a = 2OA = 6√2.
Thể tích của khối tứ diện đều là:
\(V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{(6\sqrt{2})^3\sqrt{2}}{12} = \frac{216\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2} \text{ cm}^3\)
Dạng 3: Cho bài toán thực tế liên quan đến thể tích khối tứ diện đều.
Phương pháp giải:
- Mô hình hóa bài toán thành bài toán về thể tích khối tứ diện đều.
- Áp dụng các công thức và phương pháp giải đã học để tính thể tích khối tứ diện đều.
Ví dụ:
Một kim tự tháp hình tứ diện đều có cạnh đáy a = 10m và chiều cao h = 15m. Người ta muốn sơn toàn bộ mặt ngoài của kim tự tháp. Tính diện tích cần sơn.
Bài giải:
Diện tích cần sơn là diện tích toàn phần của kim tự tháp.
Diện tích một mặt bên của kim tự tháp là:
\(S_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \text{ m}^2\)
Diện tích đáy của kim tự tháp là:
\(S_2 = a² = 10² = 100 m²\)
Diện tích toàn phần của kim tự tháp là:
S = 4S1 + S2 = 4 * 25√3 + 100 = 100 + 100√3 m²
Bài tập có lời giải về thể tích khối tứ diện đều
Bài 1: Cho một khối tứ diện đều ABCD có cạnh a = 6cm. Tính thể tích của khối tứ diện đều.
Lời giải:
Thể tích của khối tứ diện đều là:
\(V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{6^3\sqrt{2}}{12} = \frac{216\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2} \text{ cm}^3\)
Bài 2: Cho một khối tứ diện đều ABCD có đường cao AH = 8cm. Tính thể tích của khối tứ diện đều.
Lời giải:
Gọi O là tâm đối xứng của tứ diện đều ABCD.
Ta có: OA = OB = OC = OD = \(\frac{AH\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\)
Vậy, a = 2OA = 8√2.
Thể tích của khối tứ diện đều là:
\(V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{(8\sqrt{2})^3\sqrt{2}}{12} = \frac{512\sqrt{2}}{12} = 42.666… \text{ cm}^3\)
Bài 3: Một kim tự tháp hình tứ diện đều có cạnh đáy a = 12m và chiều cao h = 18m. Người ta muốn sơn toàn bộ mặt ngoài của kim tự tháp. Tính diện tích cần sơn.
Lời giải:
Diện tích cần sơn là diện tích toàn phần của kim tự tháp.
Diện tích một mặt bên của kim tự tháp là:
\(S_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3} \text{ m}^2\)
Diện tích đáy của kim tự tháp là:
\(S_2 = a² = 12² = 144 m²\)
Diện tích toàn phần của kim tự tháp là:
\(S = 4S_1 + S_2 = 4 * 36√3 + 144 = 144 + 144√3 m²\)
Bài tập trắc nghiệm về thể tích khối tứ diện đều
Câu 1:
Cho một khối tứ diện đều có cạnh a = 5cm. Thể tích của khối tứ diện đều là:
A. 50√2 cm³
B. 125√2 cm³
C. 250√2 cm³
D. 500√2 cm³
Câu 2:
Cho một khối tứ diện đều có đường cao h = 10cm. Cạnh của khối tứ diện đều là:
A. 5√2 cm
B. 5√3 cm
C. 10√2 cm
D. 10√3 cm
Câu 3:
Cho một khối tứ diện đều có thể tích V = 125√2 cm³. Cạnh của khối tứ diện đều là:
A. 5√2 cm
B. 5√3 cm
C. 10√2 cm
D. 10√3 cm
Câu 4:
Một kim tự tháp hình tứ diện đều có cạnh đáy a = 10m và chiều cao h = 15m. Thể tích của kim tự tháp là:
A. 100√2 m³
B. 200√2 m³
C. 300√2 m³
D. 400√2 m³
Câu 5:
Diện tích toàn phần của kim tự tháp trong câu 4 là:
A. 100 + 100√3 m²
B. 200 + 200√3 m²
C. 300 + 300√3 m²
D. 400 + 400√3 m²
Câu 6:
Một khối chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao h. Gọi V là thể tích của khối chóp. Mối liên hệ giữa V, a và h là:
A. V = ah
B. V = ah/2
C. V = ah/3
D. V = ah/4
Câu 7:
Cho một khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy a = 5cm và chiều cao h = 10cm. Thể tích của khối chóp là:
A. 25√2 cm³
B. 50√2 cm³
C. 75√2 cm³
D. 100√2 cm³
Câu 8:
Cho một khối chóp tứ giác đều có thể tích V = 100√2 cm³ và chiều cao h = 10cm. Cạnh đáy của khối chóp là:
A. 5√2 cm
B. 5√3 cm
C. 10√2 cm
D. 10√3 cm
Câu 9:
Cắt một khối chóp tứ giác đều bởi một mặt phẳng song song với đáy, ta được một tứ diện đều. Tỉ số thể tích của tứ diện và khối chóp là:
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{1}{4}\)
D. \(\frac{1}{5}\)
Câu 10:
Cho một khối lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy a và chiều cao h. Gọi V là thể tích của khối lăng trụ. Mối liên hệ giữa V, a và h là:
A. V = ah
B. V = \(\frac{ah}{2}\)
C. V = \(\frac{ah}{3}\)
D. V = \(\frac{ah}{4}\)
Đáp án:
- B
- A
- A
- A
- B
- B
- B
- A
- C
- A
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích về thể tích khối tứ diện đều. Hãy tiếp tục học tập và nghiên cứu để trau dồi kiến thức toán học của bạn.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
