Thể tích khối cầu là một hình có tất cả các điểm trên mặt cách tâm một khoảng bằng nhau. Khối cầu có nhiều ứng dụng trong thực tiễn như: chế tạo máy móc, thiết bị, dụng cụ; xây dựng nhà cửa, cầu cống;… Hiểu rõ về thể tích của khối cầu là điều cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến hình khối này.
Định nghĩa khối cầu và thể tích khối cầu
Khối cầu là hình có tất cả các điểm trên mặt cách tâm một khoảng bằng nhau.
Thể tích khối cầu là lượng không gian được giới hạn bởi mặt cầu.
Công thức tính thể tích khối cầu
\(V = \frac{4}{3} \pi r^3\)
Trong đó:
- V là thể tích khối cầu (cm³)
- π là hằng số Pi, có giá trị xấp xỉ 3,14
- r là bán kính của khối cầu (cm)
Ví dụ:
Cho một khối cầu có bán kính r = 5 cm. Thể tích của khối cầu là:
\(V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \times 5^3 = 523,6 cm³\)
Đơn vị đo thể tích khối cầu
- Đơn vị cơ bản: cm³
- Đơn vị khác: dm³, m³, lít
Các dạng bài tập về thể tích khối cầu
Dạng 1: Cho bán kính của khối cầu, tính thể tích khối cầu.
Phương pháp giải:
- Áp dụng công thức \(V = \frac{4}{3}πr³\), trong đó r là bán kính của khối cầu.
- Đơn vị đo của V phải phù hợp với đơn vị đo của r.
Ví dụ:
Cho một khối cầu có bán kính r = 5 cm. Tính thể tích của khối cầu.
Giải:
Thể tích của khối cầu là:
\(V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \times 5^3= 523,6 cm³\)
Dạng 2: Cho diện tích mặt cầu, tính thể tích khối cầu.
Phương pháp giải:
- Áp dụng công thức S = 4πr², trong đó S là diện tích mặt cầu và r là bán kính của khối cầu.
- Giải phương trình S = 4πr² để tìm r.
- Tính thể tích khối cầu theo công thức \(V = \frac{4}{3}πr³\)
Ví dụ:
Cho một khối cầu có diện tích mặt cầu là 36π cm². Tính thể tích của khối cầu.
Giải:
Diện tích mặt cầu là:
\(S = 4πr² = 36π\)
Bán kính của khối cầu là:
\(r = \sqrt{\frac{S}{4\pi}} = \sqrt{\frac{36\pi}{4\pi}} = 3 \text{ cm}\)
Thể tích của khối cầu là:
\(V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \times 3^3 = 113,1 cm³\)
Dạng 3: Cho các dữ liệu liên quan đến thể tích của khối cầu, tìm bán kính hoặc diện tích mặt cầu.
Phương pháp giải:
- Áp dụng công thức \(V = \frac{4}{3} \pi r^3 \)
- Lập phương trình liên hệ giữa các dữ liệu và bán kính hoặc diện tích mặt cầu.
- Giải phương trình để tìm bán kính hoặc diện tích mặt cầu.
Ví dụ:
Một bể nước dạng hình cầu có thể tích 2826 cm³. Tính bán kính và diện tích mặt cầu của bể nước.
Giải:
Thể tích của bể nước là:
\(V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 2826\)
Bán kính của bể nước là:
\(r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}} = \sqrt[3]{\frac{3 \times 2826}{4\pi}} \approx 6 \text{ cm}\)
Diện tích mặt cầu của bể nước là:
\(S = 4πr² = 4π × 6² ≈ 144π cm²\)
Bài tập về thể tích khối cầu có lời giải
Bài tập 1: Cho một khối cầu có bán kính r = 5 cm. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Giải:
a) Diện tích mặt cầu:
\(S = 4πr² = 4π × 5² = 100π cm²\)
b) Thể tích khối cầu:
\(V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \times 5^3 = 523,6 cm³\)
Bài tập 2: Một bể nước dạng hình cầu có diện tích mặt cầu là 36π cm². Tính thể tích của bể nước.
Giải:
a) Bán kính của khối cầu:
\(S = 4πr² = 36π\)
\(r = \sqrt{\frac{S}{4\pi}} = \sqrt{\frac{36\pi}{4\pi}} = 3 cm\)
b) Thể tích của bể nước:
\(V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \times 3^3 = 113,1 cm³\)
Bài tập 3: Một quả bóng rổ có bán kính 12 cm. Tính thể tích quả bóng rổ.
Giải:
Thể tích quả bóng rổ là:
\(V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \times 12^3 = 2144,6 cm³\)
Bài tập 4: Một bể nước dạng hình cầu có thể tích 2826 cm³. Tính bán kính và diện tích mặt cầu của bể nước.
Giải:
a) Bán kính của bể nước:
\(V = \frac{4}{3} \pi r^3= 2826\)
\(r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}} = \sqrt[3]{\frac{3 \times 2826}{4\pi}} \approx 6 \text{ cm}\)
b) Diện tích mặt cầu của bể nước:
\(S = 4πr² = 4π × 6² ≈ 144π cm²\)
Bài tập tự luận
Bài tập 1: Cho một khối cầu có bán kính r. Tính:
a) Diện tích mặt cầu
b) Thể tích khối cầu
Bài tập 2: Một bể nước dạng hình cầu có bán kính R. Bể chứa đầy nước. Người ta mở vòi cho nước chảy ra, mỗi phút chảy được V lít. Sau T phút, lượng nước còn lại trong bể chiếm a phần thể tích bể. Hỏi lúc đầu bể chứa bao nhiêu lít nước?
Bài tập 3: Một khối gỗ hình cầu có bán kính R. Người ta cắt đi một khối gỗ hình cầu nhỏ hơn có bán kính r. Tính thể tích phần gỗ còn lại.
Bài tập 4: Một quả bóng rổ có bán kính r. Tính thể tích quả bóng rổ.
Bài tập 5: Một bể nước dạng hình cầu có thể tích V. Tính bán kính và diện tích mặt cầu của bể nước.
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Một khối cầu có bán kính 5 cm. Thể tích của khối cầu là:
A. 523,6 cm³
B.1047,2 cm³
C. 1570,8 cm³
D. 2094,4 cm³
Câu 2: Diện tích mặt cầu của một khối cầu có bán kính 6 cm là:
A. 144π cm²
B. 216π cm²
C. 324π cm²
D. 432π cm²
Câu 3: Một bể nước dạng hình cầu có thể tích 2826 cm³. Tính bán kính của bể nước.
A. 5 cm
B. 6 cm
C. 7 cm
D. 8 cm
Câu 4: Một khối kim loại hình cầu có bán kính 10 cm được nung chảy và đúc thành một khối lập phương. Cạnh của khối lập phương là:
A. 5 cm
B. 10 cm
C. 15 cm
D. 20 cm
Câu 5: Một quả cầu có đường kính 10 cm. Thể tích của quả cầu là:
A. 523,6 cm³
B. 1047,2 cm³
C. 1570,8 cm³
D. 2094,4 cm³
Câu 6: Một bể nước dạng hình cầu có diện tích mặt cầu là 144π cm². Tính thể tích của bể nước.
A. 113,1 cm³
B. 282,6 cm³
C. 523,6 cm³
D. 1047,2 cm³
Câu 7: Một khối gỗ hình cầu có bán kính 12 cm. Người ta cắt đi một khối gỗ hình cầu nhỏ hơn có bán kính 6 cm. Tính thể tích phần gỗ còn lại.
A. 2123,76 cm³
B. 2268,96 cm³
C. 2414,16 cm³
D. 2559,36 cm³
Câu 8: Một quả bóng rổ có bán kính 24 cm. Tính thể tích quả bóng rổ.
A. 46656 cm³
B. 55446 cm³
C. 64236 cm³
D. 73026 cm³
Câu 9: Một bể nước dạng hình cầu có thể tích 376992 cm³. Tính bán kính và diện tích mặt cầu của bể nước.
A. R = 30 cm; S = 2826π cm²
B. R = 36 cm; S = 4071π cm²
C. R = 42 cm; S = 5316π cm²
D. R = 48 cm; S = 6561π cm²
Câu 10: Một khối kim loại hình cầu có bán kính 15 cm được nung chảy và đúc thành một khối lập phương. Tính cạnh của khối lập phương.
A. 10 cm
B. 15 cm
C. 20 cm
D. 25 cm
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các bạn những kiến thức cần thiết về thể tích khối cầu.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
