Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 là một sự kiện quan trọng đánh dấu bước ngoặt trong cuộc đời mỗi học sinh. Bài viết này sẽ trình bày hướng dẫn giải chi tiết đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán An Giang, giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức, đồng thời rút ra kinh nghiệm cho kỳ thi sắp tới của mình.
Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán An Giang
Lời giải chi tiết
Câu 1
Câu a:
\(\sqrt{7}(\sqrt{x} + \sqrt{7} – 1 = 7\)
\(\Leftrightarrow x + \sqrt{7} – 1 = \frac{7}{\sqrt{7}}\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{7}{\sqrt{7}} – 1 + \frac{7}{\sqrt{7}}\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{7}{\sqrt{7}} + \frac{7}{\sqrt{7}} – 1\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{7\sqrt{7}}{\sqrt{7}} + \frac{7}{\sqrt{7}} – 1\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{7\sqrt{7} + 7}{\sqrt{7}} – 1\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{14}{\sqrt{7}} – 1\)
Câu b:
\(x^2 + 6x + 8 = 0\)
\((x + 2)(x + 4) = 0\)
\(\Leftrightarrow x + 2 = 0 \text{ hoặc } x + 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = -2 \text{ hoặc } x = -4\)
Câu c:
\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{ll}
3x + y &= 8 \\
4x – y &= 6
\end{array}
\right.
\end{align*}
Cộng hai phương trình ta được:
\(7x = 14\)
\(\Leftrightarrow x = 2\)
Thay \(x = 2\)vào phương trình \(3x + y = 8\)ta được:
\(3(2) + y = 8\)
\(\Leftrightarrow 6 + y = 8\)
\(\Leftrightarrow y = 2\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y) = (2;2)\)
Câu 2
Câu a:
Vẽ đồ thị hàm số y=x−1
Lấy hai điểm (0;−1) và (1;0) thuộc đồ thị.
Nối hai điểm bằng đường thẳng.
Đồ thị hàm số y=x−1 là đường thẳng đi qua hai điểm (0;−1) và (1;0).
Câu b:
Tìm a để đường thẳng \(y = x – 1\) tiếp xúc với parabol \(y = ax^2\).
Parabol \(y = ax^2\) đi qua điểm \((1; 0)\). Thay \(x = 1\) và \(y = 0\) vào phương trình \(y = ax^2\) ta được:
\[ 0 = a(1)^2 \]
\[ \Leftrightarrow a = 0 \]
Vậy parabol \(y = ax^2\) có dạng \(y = 0\).
Đường thẳng \(y = x – 1\) tiếp xúc với parabol \(y = 0\) khi và chỉ khi hai đồ thị có một điểm chung duy nhất.
Toạ độ điểm chung của hai đồ thị là nghiệm của hệ phương trình:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
y = x – 1 \\
y = 0
\end{array}
\right.
\]
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((1; 0)\).
Vậy a = 0.
Câu 3
Câu a:
Phương trình có một nghiệm bằng \(-3\) khi và chỉ khi:
\((m + 1)(-3) + 2m + 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow -3m – 3 + 2m + 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow -m – 2 = 0\)
\(\Leftrightarrow m = -2\)
Với \(m = -2\), phương trình trở thành \(x^2 – 2x = 0\).
Phương trình này có hai nghiệm \(x_1 = 0\) và \(x_2 = 2\).
Vậy \(m = -2\) là giá trị cần tìm.
Câu b:
Định lí Vi-ét:
Tổng hai nghiệm của phương trình là: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
Tích hai nghiệm của phương trình là: \(x_1x_2 = \frac{c}{a}\)
Áp dụng:
Theo định lí Vi-ét, ta có:
\[ x_1 + x_2 = \frac{-2(m+1)}{1} = -2(m + 1) \]
\[ x_1x_2 = \frac{2m+1}{1} = 2m + 1 \]
Ta có:
\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2 \]
\[ = \left[ -2(m + 1) \right]^2 – 2(2m + 1) \]
\[ = 4m^2 + 8m + 4 – 4m – 2 \]
\[ = 4m^2 + 4m + 2 \]
\[ = 2(2m^2 + 2m + 1) \]
\[ = 2(m + 1)^2 \]
Theo đề bài, ta có:
\[ 2(m + 1)^2 = 2 \]
\[ \Leftrightarrow (m + 1)^2 = 1 \]
\[ \Leftrightarrow m + 1 = \pm1 \]
\[ \Leftrightarrow m = 0 \text{ hoặc } m = -2 \]
Câu 4
Câu a:
Ta có:
\(\angle CEH = 90^\circ\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\angle CHF = 90^\circ\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra:
\[\angle CEH + \angle CHF = 180^\circ\]
Tương tự, ta có:
\[\angle EHF + \angle AFC = 180^\circ\]
Mà \(\angle AFC = \angle CEH\) (góc đối đỉnh)
Do đó:
\[\angle EHF + \angle CEH = 180^\circ\]
Suy ra:
\[\angle CEHF = 180^\circ – (\angle CEH + \angle EHF) = 0^\circ\]
Vậy tứ giác CEHF nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ\))
Câu b:
Xét tứ giác BCEF:
∠BCE = ∠BEF = 90° (vì BE, CF là đường cao)
⇒ Tứ giác BCEF nội tiếp (góc nội tiếp cùng chắn một cung)
⇒ ∠MBC = ∠MFC (góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
Xét tam giác MBC và tam giác MNC:
∠MBC = ∠MNC (cmt)
∠MCB = ∠MCN (góc chung)
MC = MC (cạnh chung)
⇒ ΔMBC = ΔMNC (g.c.g)
⇒ BM = BN (cạnh tương ứng)
Câu c:
Xét tam giác AHB và tam giác AHC:
∠AHB = ∠AHC = 90° (vì AH là đường cao)
AH = AH (cạnh chung)
AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A)
⇒ ΔAHB = ΔAHC (c.g.c)
⇒ ∠ABH = ∠ACH (góc tương ứng)
Xét tam giác ABC cân tại A:
∠ABC = ∠ACB = (180° – ∠A)/2
Xét tam giác AHC vuông tại H:
∠HAC + ∠ACH = 90°
⇒ ∠HAC = 90° – ∠ACH
Mà ∠ACH = ∠ABH (cmt)
⇒ ∠HAC = 90° – ∠ABH
Ta có:
∠A = ∠HAC + ∠ABC
= (90° – ∠ABH) + [(180° – ∠A)/2]
⇒ ∠A = 90° – ∠ABH + 90° – ∠A/2
⇒ 3∠A/2 = ∠ABH
⇒ ∠A = 2∠ABH
Mà ∠ABH = ∠ACH (cmt)
⇒ ∠A = 2∠ACH
Xét tam giác AHC vuông tại H:
sin∠ACH = AH/AC
Mà AH = BC (theo đề bài)
⇒ sin∠ACH = BC/AC
⇒ ∠ACH = arcsin(BC/AC)
⇒ ∠A = 2arcsin(BC/AC)
Vậy số đo góc A của tam giác ABC là 2arcsin(BC/AC).
Câu 5
Tính độ cao của người đó sau 10 phút:
Sau 10 phút, đu quay quay được 1/3 vòng (vì 30 phút quay 1 vòng, 10 phút quay 1/3 vòng)
Góc quay của đu quay trong 10 phút là \(\frac{360°}{3}\) = 120°
Độ cao của người đó sau 10 phút được tính bằng:
Độ cao = Bán kính * sin(góc quay) + Độ cao tâm
= 75 m * sin(120°) + 80 m
= 75 m * 0.866 + 80 m
= 130 m
Chúc các bạn ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới !
