Phép chia các phân thức đại số là một phép toán quan trọng trong chương trình Toán học lớp 8. Nó giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến việc chia hai biểu thức đại số được viết dưới dạng phân thức.
Định nghĩa phép chia phân thức đại số
Phép chia phân thức đại số là một thao tác toán học được thực hiện trên hai phân thức đại số, với mục đích tìm một phân thức khác là kết quả của phép chia. Một phân thức đại số được biểu diễn dưới dạng a/b trong đó a và b là các đa thức và b không bằng 0.
Để thực hiện phép chia cho hai phân thức đại số cho \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\) (trong đó a,b,c,d là các đa thức và b,d không bằng 0) ta sử dụng quy tắc “nhân với nghịch đảo của phân thức thứ hai”. Nói cách khác, phép chia phân thức \(\frac{a}{b}\) : \(\frac{c}{d}\) tương đương với phép nhân phân thức a/b với nghịch đảo của \(\frac{c}{d}\) tức là \(\frac{d}{c}\), với điều kiện là c và d đều không bằng 0. Khi đó, phép chia được thực hiện như sau:
\(\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}\)
Trong quá trình thực hiện, ta cần chú ý đến việc rút gọn phân thức bằng cách tìm ước chung lớn nhất của các số hạng trong tử số và mẫu số, và sau đó chia cả tử số và mẫu số cho ước
chung đó để đơn giản hóa biểu thức.
Phân thức nghịch đảo
Phân thức nghịch đảo của một phân thức đại số được hiểu là phân thức mà khi nhân với phân thức ban đầu sẽ cho kết quả là 1. Nếu có một phân thức đại số \(\frac{a}{b}\), trong đó a và b là các đa thức và b không bằng 0, thì phân thức nghịch đảo của nó sẽ là \(\frac{b}{a}\) , với điều kiện là a không bằng 0.
Ví dụ, nếu bạn có phân thức \(\frac{3}{4}\) , thì phân thức nghịch đảo của nó sẽ là \(\frac{4}{3}\) ,Khi bạn nhân hai phân thức này với nhau: \(\frac{3}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{3 \times 4}{4 \times 3} = \frac{12}{12} = 1\)
Quan trọng cần nhớ rằng không phân thức nào có tử số là 0 có phân thức nghịch đảo, vì điều đó sẽ dẫn đến mẫu số bằng 0 trong phân thức nghịch đảo, làm cho phân thức đó không xác định.
Quy tắc chia phân thức đại số
Để chia phân thức \(\frac{a}{b}\) cho phân thức \(\frac{c}{d}\) (với c và d khác 0 ), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra xem mẫu thức của phân thức chia \(\frac{c}{d}\) có bằng 0 hay không. Nếu bằng 0, ta không thể thực hiện phép chia.
Bước 2: Nhân phân thức bị chia a/b với phân thức nghịch đảo của phân thức chia \(\frac{c}{d}\).Phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{c}{d}\) là \(\frac{d}{c}\).
Bước 3: Rút gọn biểu thức thu được sau khi nhân.
Lưu ý:
- Khi rút gọn, ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
- Phân tích đa thức thành nhân tử.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Sau khi rút gọn, ta cần kiểm tra xem kết quả thu được có bằng 0 hay không. Nếu bằng 0, ta cần xem lại các bước thực hiện hoặc có thể kết luận rằng phân thức bị chia chia hết cho phân thức chia.
Tính chất của phép chia phân thức đại số
Phép chia phân thức đại số có một số tính chất quan trọng giúp hiểu rõ cách thức hoạt động và các quy tắc liên quan. Dưới đây là một số tính chất cơ bản:
Tính chất nghịch đảo: Khi chia một phân thức đại số cho chính nó, kết quả luôn bằng 1, miễn là phân thức đó không bằng 0. Nói cách khác, \(\frac{a}{b}\) : \(\frac{a}{b}\) =1 khi a và b không bằng 0
Phép nhân với phân thức nghịch đảo: Phép chia phân thức đại số có thể được thay thế bằng phép nhân của phân thức thứ nhất với phân thức nghịch đảo của phân thức thứ hai. Điều này có nghĩa là \(\frac{a}{b}\) : \(\frac{c}{d}\) = \(\frac{ab}{cd}\) với điều kiện tất cả các biến đều khác 0.
Tính giao hoán: Khác với phép cộng và phép nhân, phép chia phân thức đại số không có tính giao hoán. Nghĩa là, \(\frac{a}{b}\) : \(\frac{c}{d}\) không giống với \(\frac{c}{d}\) : \(\frac{a}{b}\).
Tính kết hợp: Phép chia phân thức đại số cũng không có tính kết hợp. Nghĩa là, nếu bạn có ba phân thức và muốn chia chúng, việc thay đổi thứ tự thực hiện phép chia có thể dẫn đến kết quả khác nhau. Ví dụ,( \(\frac{a}{b}\) : \(\frac{c}{d}\) ) : \(\frac{e}{f}\) có thể không bằng \(\frac{a}{b}\) : (\(\frac{c}{d}\) : \(\frac{e}{f}\))
Phân thức đơn vị: Mọi phân thức khi chia cho 1 sẽ giữ nguyên giá trị của nó. Điều này tương đương với việc nói rằng \(\frac{a}{b}\) : 1 = \(\frac{a}{b}\)
Phép chia cho phân thức đơn vị: Chia một phân thức cho phân thức đơn vị của nó (tức là phân thức có tử số và mẫu số bằng nhau) sẽ luôn cho kết quả là 1, miễn là tử số và mẫu số không bằng 0.
Những tính chất này giúp hình thành nền tảng cho việc hiểu và thao tác với phân thức đại số trong nhiều bối cảnh toán học khác nhau.
Phép chia các phân thức đại số là một chủ đề quan trọng giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Việc nắm vững kiến thức về phép chia phân thức sẽ giúp học sinh học tốt các chủ đề toán học sau này như phương trình, bất phương trình, hệ phương trình,…
