Trong không gian, công thức mặt cầu và khối cầu là những hình học quan trọng với nhiều ứng dụng trong thực tế. Từ việc chế tạo các vật thể hình cầu như quả bóng, bóng đèn, đến việc tính toán thể tích của các vật thể hình cầu như Trái Đất, … mặt cầu và khối cầu luôn đóng vai trò quan trọng trong đời sống con người.”
Bài viết này sẽ đi sâu vào tìm hiểu về khái niệm, tính chất, phương trình và ứng dụng của mặt cầu và khối cầu.
Định nghĩa mặt cầu và khối cầu
Mặt cầu là gì?
- Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách đều một điểm cố định O (gọi là tâm) một khoảng không đổi R (gọi là bán kính).
- Ta có thể hình dung mặt cầu như hình ảnh quả bóng.
- Mặt cầu được ký hiệu là S(O; R).
Khối cầu là gì?
- Khối cầu là tập hợp tất cả các điểm nằm bên trong mặt cầu và bản thân mặt cầu.
- Khối cầu được ký hiệu là B(O; R).
Tính chất
- Mọi điểm trên mặt cầu cách đều tâm O một khoảng R.
- Mọi đường thẳng đi qua tâm O và cắt mặt cầu sẽ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
- Khối cầu là hình có thể tích lớn nhất trong số các hình có cùng diện tích mặt ngoài.
Công thức mặt cầu
Mặt cầu
- Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách đều một điểm cố định O (gọi là tâm) một khoảng không đổi R (gọi là bán kính).
- Ta có thể hình dung mặt cầu như hình ảnh quả bóng.
- Mặt cầu được ký hiệu là S(O; R).
Phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu với tâm O(a; b; c) và bán kính R là:
\((x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2\)
trong đó:
(a, b, c) là tọa độ của tâm O.
R là bán kính mặt cầu.
Diện tích mặt cầu
Diện tích mặt cầu \(S = 4πR^2\)
Thể tích khối cầu
Thể tích khối cầu \(V = (4/3)πR^3\)
Ví dụ
Mặt cầu tâm O(1; 2; 3) và bán kính R = 5 có phương trình:
\((x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 25\)
Diện tích mặt cầu này là:
\(S = 4π * 5² = 100π\)
Thể tích khối cầu này là:
\(V = 4/3π * 5³ = 500π/3\)
Lưu ý
Phương trình mặt cầu có thể được viết dưới dạng khác, ví dụ:
\((x² + y² + z²) – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0\)
Công thức diện tích và thể tích mặt cầu chỉ áp dụng cho mặt cầu có bán kính dương.
Bài tập chi tiết về mặt cầu và khối cầu
Bài 1: Cho mặt cầu (S) tâm O(1; 2; 3) và bán kính R = 5.
a) Viết phương trình mặt cầu (S).
b) Tìm tọa độ điểm M trên mặt cầu (S) sao cho OM vuông góc với mặt phẳng (Oxy).
c) Tìm diện tích mặt cầu (S) và thể tích khối cầu giới hạn bởi mặt cầu (S).
Lời giải:
a) Phương trình mặt cầu (S):
\((x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 5²\)
b) Tìm tọa độ điểm M:
Gọi M(a; b; c) là điểm trên mặt cầu (S) sao cho OM vuông góc với mặt phẳng (Oxy).
Ta có: \(OM = \sqrt{(a – 1)² + (b – 2)² + (c – 3)²} = 5\)
Do OM vuông góc với mặt phẳng (Oxy) nên OM vuông góc với Ox, Oy, Oz.
Do OM vuông góc với Ox, ta có: a – 1 = 0 => a = 1.
Do OM vuông góc với Oy, ta có: b – 2 = 0 => b = 2.
Do OM vuông góc với Oz, ta có: c – 3 = 0 => c = 3.
Vậy, tọa độ điểm M là M(1; 2; 3).
c) Diện tích mặt cầu (S) và thể tích khối cầu:
Diện tích mặt cầu (S):
\(S = 4πR² = 4π * 5² = 100π\)
Thể tích khối cầu giới hạn bởi mặt cầu (S):
\(V = 4/3πR³ = 4/3π * 5³ = 500\frac{5}{3}\)
Bài 2: Cho mặt cầu (S) có phương trình:
\((x – 2)² + (y + 1)² + (z – 3)² = 16\)a) Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S).
b) Tìm giao điểm của mặt cầu (S) và mặt phẳng (Oxy).
c) Tính diện tích mặt cầu (S) và thể tích khối cầu giới hạn bởi mặt cầu (S).
Lời giải:
a) Tâm và bán kính:
Mặt cầu (S) có tâm O(2; -1; 3) và bán kính R = 4.
b) Giao điểm của mặt cầu (S) và mặt phẳng (Oxy):
Thay z = 0 vào phương trình mặt cầu (S), ta được:
\((x – 2)² + (y + 1)² = 16\)Đây là phương trình của đường tròn tâm O(2; -1) bán kính R = 4.
Vậy, mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy) tại hai điểm A(0; -2; 0) và B(4; -2; 0).
c) Diện tích mặt cầu (S) và thể tích khối cầu:
Diện tích mặt cầu (S):
\(S = 4πR² = 4π * 4² = 64π\)
Thể tích khối cầu giới hạn bởi mặt cầu (S):
\(V = \frac{4}{3}πR³ = \frac{4}{3}π * 4³ = 256\frac{π}{3}\)
Luyện tập
Bài 1: Cho mặt cầu (S) tâm O(1; 2; 3) và bán kính R = 5.
a) Tìm phương trình mặt cầu (S).
b) Tìm tọa độ điểm M trên mặt cầu (S) sao cho OM vuông góc với mặt phẳng (Oxy).
c) Tìm diện tích mặt cầu (S) và thể tích khối cầu giới hạn bởi mặt cầu (S).
Bài 2: Cho mặt cầu (S) có phương trình:
\((x – 2)² + (y + 1)² + (z – 3)² = 16\)
a) Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S).
b) Tìm giao điểm của mặt cầu (S) và mặt phẳng (Oxy).
c) Tính diện tích mặt cầu (S) và thể tích khối cầu giới hạn bởi mặt cầu (S).
Bài 3: Cho hai mặt cầu (S1) và (S2) có phương trình:
(S1): \((x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 9\)
(S2): \((x + 2)² + (y – 1)² + (z + 4)² = 16\)
a) Tìm tâm và bán kính của mỗi mặt cầu.
b) Xác định vị trí tương đối của hai mặt cầu (S1) và (S2).
Bài 4: Cho mặt cầu (S) tâm O(a; b; c) và bán kính R.
a) Chứng minh rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho OM = 2R là một mặt cầu.
b) Tìm phương trình mặt cầu (S’) có tâm O’ là ảnh của O qua phép tịnh tiến theo vectơ và bán kính R’.
Mặt cầu và khối cầu là những hình học kỳ diệu với nhiều tính chất đặc biệt. Việc tìm hiểu về mặt cầu, khối cầu giúp chúng ta hiểu rõ hơn về thế giới xung quanh và ứng dụng kiến thức vào thực tiễn.
