Rút gọn phân thức là một kỹ năng cơ bản và quan trọng trong toán học, đặc biệt là ở cấp trung học cơ sở. Kỹ năng này giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến phân thức một cách hiệu quả và chính xác.Bài viết này sẽ trình bày một số phương pháp cơ bản để rút gọn phân thức, đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng các phương pháp đó vào giải các bài toán cụ thể.
Định nghĩa rút gọn phân thức
Rút gọn phân thức là quá trình đơn giản hóa phân thức bằng cách chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng. Mục đích của việc rút gọn phân thức là làm cho phân thức trở nên đơn giản hơn, dễ dàng tính toán và hiểu được hơn.
Một phân thức được rút gọn khi tử và mẫu của nó không còn có thể chia được cho bất kỳ số nào ngoài 1. Trong quá trình rút gọn, ta tìm ước chung lớn nhất của tử và mẫu, sau đó chia cả tử và mẫu cho giá trị này để đạt được phân thức ở dạng rút gọn.
Ví dụ:
Cho phân thức \(\frac{12}{18}\). Rút gọn phân thức
.Bước 1: Tìm ước chung lớn nhất của 12 và 18. Ta thấy rằng các ước chung của 12 và 18 là 1, 2, 3, 6. Số lớn nhất trong số này là 6, nên UCLN của 12 và 18 là 6.
Bước 2: Chia tử và mẫu cho ước chung lớn nhất.
\(\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}\)Bước 3: Viết phân thức ở dạng rút gọn:\(\frac{2}{3}\)
Vậy phân thức \(\frac{12}{18}\)
sau khi được rút gọn sẽ là \(\frac{2}{3}\)
Quy trình rút gọn phân thức
Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử (nếu cần).
Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như:
-
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Bước 2: Xác định nhân tử chung (nếu có).
Tìm nhân tử chung lớn nhất (ƯCLN) của tử và mẫu.
Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN đã tìm được ở bước 2.
Bước 4: Kiểm tra xem phân thức đã được rút gọn tối giản hay chưa.
Nếu tử và mẫu không còn chia hết cho nhân tử chung nào nữa thì phân thức đã được rút gọn tối giản.
Lưu ý:
- Việc phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử có thể giúp ta dễ dàng tìm ra nhân tử chung.
- Khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung, cần lưu ý rằng ta chỉ chia cho nhân tử chung chứ không chia cho các nhân tử riêng của tử hoặc mẫu.
- Cần kiểm tra xem phân thức đã được rút gọn tối giản hay chưa để đảm bảo kết quả cuối cùng là chính xác.
Các phương pháp rút gọn phân thức
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử:
Đây là phương pháp cơ bản và phổ biến nhất để rút gọn phân thức. Khi phân tích được tử và mẫu thành nhân tử, ta có thể tìm ra nhân tử chung của chúng. Sau đó, chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung để thu được phân thức tối giản.
Ví dụ:
Rút gọn phân thức:
P = \(\frac{x^2 – 9}{x + 3}\)
Giải:
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, ta được:
P = \(\frac{{(x + 3)(x – 3)}}{{x + 3}}\)
Nhân tử chung của tử và mẫu là x + 3. Chia cả tử và mẫu cho x + 3, ta được:
P = x – 3
Sử dụng các hằng đẳng thức:
Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức để rút gọn phân thức một cách nhanh chóng. Một số hằng đẳng thức thường dùng là:
- Bình phương của một tổng: \((a + b)^2\) = \(a^2 + 2ab + b^2\)
- Hiệu hai bình phương: \(a^2 – b^2\) = \((a + b)(a – b)\)
- Lập phương của một tổng: \((a + b)^3\) = \(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
- Hiệu hai lập phương: \(a^3 – b^3\) = \((a – b)(a^2 + ab + b^2)\)
Ví dụ:
Rút gọn phân thức:
Q = \(\frac{{x^2 + 4x + 4}}{{x + 2}}\)
Giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
, ta được:
Q = \(\frac{{(x + 2)^2}}{{x + 2}}\)
Chia cả tử và mẫu cho x + 2, ta được:
Q = x + 2
Chia đa thức:
Với một số phân thức, ta có thể sử dụng phương pháp chia đa thức để rút gọn. Phương pháp này thường được sử dụng khi tử số có bậc cao hơn mẫu số.
Ví dụ:
Rút gọn phân thức:
R = \(\frac{{x^3 + 2x^2 + x + 2}}{{x + 1}}\)
Giải:
Sử dụng phương pháp chia đa thức, ta được:
R = \(\frac{{x^2 + x + 1 + 1}}{{x + 1}}\)
Sử dụng các phương pháp đặc biệt:
Với một số dạng phân thức đặc biệt, ta có thể sử dụng các phương pháp rút gọn đặc biệt. Ví dụ:
- Rút gọn phân thức có dạng \(\frac{{a^2 – b^2}}{{a + b}}\) bằng cách sử dụng hằng đẳng thức \(a^2 – b^2\) = (a + b)(a – b).
- Rút gọn phân thức có dạng \(\frac{{a^n – b^n}}{{a – b}}\) bằng cách sử dụng hằng đẳng thức \(a^n – b^n = (a – b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1})\)
.
Lưu ý:
Khi rút gọn phân thức, cần lưu ý các điều sau:
-
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử một cách cẩn thận.
- Sử dụng các hằng đẳng thức một cách chính xác.
- Chia đa thức một cách cẩn thận.
- Sử dụng các phương pháp rút gọn đặc biệt một cách hợp lý.
Sau khi rút gọn phân thức, cần kiểm tra xem phân thức đã tối giản hay chưa.
Tính chất của rút gọn phân thức
Tính chất của phép nhân:
Khi nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không, ta được một phân thức bằng phân thức đã cho.
Ví dụ:
P = \(\frac{{x + 1}}{{x – 1}}\)
Q = \(\frac{{(x + 1)(x + 2)}}{{(x – 1)(x + 2)}}\)
P = Q
Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng (khác đa thức 0), ta được một phân thức bằng phân thức đã cho.
Ví dụ:
P = \(\frac{{x^2 + 4x + 4}}{{x + 2}}\)
Q = \(\frac{{x^2 + 4x + 4}}{{x + 2}} : (x + 2)\)
P = Q
Tính chất của phép cộng:
Khi cộng hoặc trừ hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng hoặc trừ tử thức của hai phân thức và giữ nguyên mẫu thức.
Ví dụ:
\(P = \frac{{x + 1}}{{x^2 + 1}}\)\(Q = \frac{{x – 1}}{{x^2 + 1}}\).
\(P + Q = \frac{{(x + 1) + (x – 1)}}{{x^2 + 1}}\) \(P + Q = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}}\)Tính chất của phép chia:
Khi chia một phân thức cho một phân thức khác, ta lấy nghịch đảo của phân thức thứ hai nhân với phân thức thứ nhất.
Ví dụ:
\(P = \frac{{x + 1}}{{x^2 + 1}}\) \(Q = \frac{{x – 1}}{{x^2 + 1}}\) \(\frac{P}{Q} = \frac{{\frac{{x + 1}}{{x^2 + 1}}}}{{\frac{{x – 1}}{{x^2 + 1}}}}\) \(\frac{P}{Q} = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\)Tính chất của phép đổi dấu:
Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
Ví dụ:
\(P = \frac{{x + 1}}{{x^2 + 1}}\) \(Q = \frac{-{x + 1}}{-{x^2 + 1}}\)P = Q
Lưu ý: Các tính chất trên chỉ đúng khi các phân thức có nghĩa, tức là mẫu thức của các phân thức khác 0.
Ứng dụng: Các tính chất của rút gọn phân thức được ứng dụng trong nhiều bài toán, ví dụ như:
-
- Rút gọn phân thức
- Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
- So sánh hai phân thức
- Thực hiện phép tính với phân thức
Ví dụ:
\(P = \frac{{x + 1}}{{x^2 + 1}}\)\(Q = \frac{{x – 1}}{{x^2 + 1}}\).
\(P – Q = \frac{{(x + 1) – (x – 1)}}{{x^2 + 1}}\) \(P – Q = \frac{2}{{x^2 + 1}}\)Rút gọn phân thức là một kỹ năng cần thiết cho học sinh trong quá trình học tập toán học. Việc nắm vững kỹ năng này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến phân thức một cách dễ dàng và chính xác.Học sinh cần luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng rút gọn phân thức. Có thể tham khảo các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác.
