Cực trị của hàm số là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, có nhiều ứng dụng trong thực tế. Khái niệm cực trị giúp chúng ta xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng xác định, từ đó giải quyết các bài toán liên quan đến tối ưu hóa.
Cực trị là gì?
Cực trị là giá trị mà hàm số đạt được tại điểm mà đạo hàm của hàm số bằng 0. Nói cách khác, cực trị là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hoặc tập hợp xác định.
Có hai loại cực trị:
- Cực đại: Là giá trị lớn nhất của hàm số trên một khoảng hoặc tập hợp xác định.
- Cực tiểu: Là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hoặc tập hợp xác định.
Để tìm cực trị của hàm số:
- Tìm đạo hàm của hàm số.
- Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0.
- Xét dấu đạo hàm tại các điểm mà đạo hàm bằng 0.
- Nếu f'(x) > 0 trước và sau điểm x0, thì f(x0) là cực tiểu.
- Nếu f'(x) < 0 trước và sau điểm x0, thì f(x0) là cực đại.
- Nếu f'(x) đổi dấu tại điểm x0, thì f(x0) có thể là cực đại hoặc cực tiểu.
Lý thuyết tổng quan về cực trị của hàm số lớp 12
Các định lý liên quan
Đối với kiến thức cực trị của hàm số lớp 12, các định lý về cực trị hàm số thường được áp dụng rất nhiều trong quá trình giải bài tập. Có 3 định lý cơ bản mà học sinh cần nhớ như sau:
Định lý số 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm xo. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm xô thì đạo hàm của hàm số tại điểm xo f'(x) = 0.
Lưu ý:
- Điều ngược lại của định lý số 1 lại không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm xo nhưng hàm số f(x) chưa chắc đã đạt cực trị tại điểm xo
- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm nhưng tại đó hàm số lại không có đạo hàm
Định lý số 2: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) có chứa điểm xo, f'(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
- Trong trường hợp f(x0) < 0 thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm xo. Nếu f (x0) > 0 thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm xo.
Số điểm cực trị của hàm số
Tùy vào từng dạng hàm số thì sẽ có những số điểm cực trị khác nhau, ví dụ như không có điểm cực trị nào, có 1 điểm cực trị ở phương trình bậc hai, có 2 điểm cực trị ở phương trình bậc ba,…
Đối với các số điểm cực trị của hàm số, ta cần lưu ý:
- Điểm cực đại (cực tiểu) đó chính là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x) gọi chung là cực trị. Có thể có cực đại hoặc cực tiểu của hàm số tại nhiều điểm.
- Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f mà chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) chứa xo
Nếu một điểm cực trị của f là xo thì điểm (x0; f(x0)) là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
Điều kiện để hàm số có điểm cực trị
– Điều kiện cần: Cho hàm số f đạt cực trị tại điểm xa. Nếu điểm xo là điểm đạo hàm của f thì f'(x) = 0
Lưu ý:
- Điểm 2 có thể khiến đạo hàm f’ bằng 0 nhưng hàm số f không đạt Cực trị tại xo.
. Hàm số không có đạo hàm nhưng vẫn có thể đạt cực trị tại một điểm.
- Tại điểm đạo hàm của hàm số bằng 0 thì hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại 1 điểm hoặc không có đạo hàm.
. Nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại (xo; f(x)) và hàm số đạt cực trị tại 20 thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.
– Điều kiện đủ: Giả sử hàm số có đạo hàm trên các khoảng (a;χο) νὰ (το ;b) và hàm số liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm 2 thì khi đó:
- Điểm 2 là cực tiểu của hàm số f(x) thỏa mãn:
Diễn giải theo bảng biến thiên rằng: Khi x đi qua điểm đo và f'(x) đổi dấu từ âm sang dương thì hàm số đạt cực đại tại x0
- Điểm xo là cực đại của hàm số f(x) khi:
Diễn giải theo bảng biến thiên rằng: Khi x đi qua điểm đo và f'(x) đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0
Tìm điểm cực trị của hàm số
Để tiến hành tìm cực trị của hàm số f(x) bất kỳ, ta sử dụng 2 quy tắc tìm cực trị của hàm số để giải bài tập như sau:
Tìm cực trị của hàm số theo quy tắc 1
- Tìm đạo hàm f'(x).
- Tại điểm đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm, tìm các điểm x (i = 1,2,3).
- Xét dấu của đạo hàm f'(x). Nếu ta thấy f'(x) thay đổi chiều khi x đi qua xo khi đó ta xác định hàm số có cực trị tại điểm xo
Tìm cực trị của hàm số theo quy tắc 2
Tìm đạo hàm f'(x).
- Xét phương trình f'(x)=0, tìm các nghiệm x (i = 1, 2, 3).
- Tính f'(x) với mỗi
Nếu f’’(xi < 0) thì khi đó xi là điểm tại đó hàm số đạt cực đại.
Nếu f’’(xi > 0) thì khi đó xi là điểm tại đó hàm số đạt cực tiểu
Bài tập về cực trị của hàm số có lời giải chi tiết
Bài 1: Cho hàm số \(f(x) = mx^3 – (m+2)² + (3m – 1)x + 1\). Tìm m để hàm số có điểm cực đại.
Lời giải:
- Tìm đạo hàm: f'(x) = 3mx²- 2(m + 2) x+3m- – 1.
- Hàm số có điểm cực đại khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt và f'(x) < 0 tại hai nghiệm đó.
- Giải phương trình f'(x) = 0 : 3mx² – 2(m + 2)x + 3m – 1 = 0. 2
- Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, cần có A’ > 0: Δ’ = (m + 2)2 – 3m(3m-1) = 1 > 0 (luôn đúng).
- Tinh f'(x): f” (x) = 6mx 2(m + 2).
- Ta cần tìm m để f'(x) < 0 tại hai nghiệm của f'(x).
- Khi m > 0, f”(x) < O với mọi x.
- Khi O < m < 1, f”(x) < O khi x > m+2 / 6m
- Khi m < 0, f”(x) < O khi x < m+2 / 6m
- Kết luận:
Khi m > 0, hàm số có cực đại với mọi x.
Khi O < m < 1, hàm số có cực đại khi x > m+2 / 6m
Khi m < 0, hàm số có cực đại khi x < m+2 / 6m
Bài 2: Tìm cực trị của hàm số y = x² + 4x² +1.
Tập xác định: D = R.
Lời giải
Ta có: y’ = 4x³ + 8x;
y’ = 4x³ + 8x = 0 ⇔ x = 0y = 1.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, Yct = 1
Bài tập tham khảo
Câu 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm \(f'(x)=(x-1)(x^2 – 4x + 3)\). Hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?
- 0
- 1
- 2
- 3
Câu 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(x – 2017) – 2018x + 2019 là
a.1
b.2
c.3
d.4
Câu 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số g(x) = f(x) + x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?
a.0
b.2
c.3
d. Không có điểm cực tiểu.
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số \(y = x^3 – 3mx^2 + 4m^3\) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ.
Cực trị của hàm số là một chủ đề khá phức tạp, đòi hỏi học sinh cần nắm vững kiến thức lý thuyết và có kỹ năng giải toán tốt. Việc luyện tập thường xuyên các dạng bài tập sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm cực trị và áp dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế.
