Phương trình quy về phương trình bậc hai là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Hiểu rõ về phương trình quy về phương trình bậc hai sẽ giúp học sinh giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau một cách hiệu quả. Bài viết này sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình quy về phương trình bậc hai, bao gồm định nghĩa, tính chất và phương pháp giải.
Định nghĩa
Phương trình quy về phương trình bậc hai là phương trình được biến đổi thành phương trình bậc hai ẩn x.
Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai
Dạng 1: Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn:
- \(√(ax^2 + bx + c) = m\)
Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- \(a/(x + b) = c\)
Dạng 3: Phương trình chứa ẩn trong lũy thừa:
- \(x^n + ax^(n-1) + bx^(n-2) +…+ c = 0\) (n là số nguyên dương)
Phương pháp giải
Dạng 1:
- Bình phương hai vế của phương trình.
- Giải phương trình bậc hai nhận được.
- Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình ban đầu.
Dạng 2:
- Khử mẫu của phương trình.
- Giải phương trình bậc hai nhận được.
- Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình ban đầu.
Dạng 3:
- Đặt ẩn phụ.
- Giải phương trình bậc hai ẩn phụ.
- Thay giá trị ẩn phụ tìm được vào phương trình ban đầu.
- Giải phương trình bậc hai nhận được.
- Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình ban đầu.
Các bước quy về phương trình bậc hai
Các bước giải phương trình quy về phương trình bậc hai như sau:
Bước 1: Xác định công thức chung của phương trình bậc hai: \(ax^2 + bx + c = 0\). Trong đó, a, b, c là các số thực và a khác 0.
Bước 2: Kiểm tra điều kiện a khác 0. Nếu a = 0, phương trình không còn là phương trình bậc hai.
Bước 3: Tính Δ của phương trình bằng cách dùng công thức \(Δ = b^2 – 4ac\).
Bước 4: Phân loại các trường hợp của Δ:
– Nếu Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. Ta có thể tính được giá trị cụ thể của hai nghiệm bằng công thức: \(x1 = (-b + √Δ) / (2a) và x2 = (-b – √Δ) / (2a)\)..
– Nếu Δ = 0, phương trình có nghiệm kép \(x = -b / (2a)\).. Nếu muốn tính giá trị cụ thể của nghiệm, ta có thể thay vào công thức.
– Nếu Δ < 0, phương trình không có nghiệm thực.
Bước 5: Đưa ra kết luận về nghiệm của phương trình dựa trên kết quả đã tìm được ở bước 4.
Xác định nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc hai
Bước 1. Đầu tiên, xác định dạng tổng quát của phương trình bậc hai: \(Ax^2 + Bx + C = 0\)., trong đó A, B và C là các hệ số đã cho.
Bước 2. Tiếp theo, sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \(x = (-B ± √ (B^2 – 4AC)) / (2A)\).
Bước 3. Tính giá trị của Δ (delta), \(Δ = B^2 – 4AC\).. Nếu Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Nếu Δ = 0, phương trình có một nghiệm kép. Nếu Δ < 0, phương trình không có nghiệm thực.
Bước 4. Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta tính giá trị của x bằng cách sử dụng công thức đã nêu ở bước 2, và kết quả là hai nghiệm phân biệt của phương trình.
Bước 5. Trong trường hợp phương trình có một nghiệm kép, ta cũng tính giá trị của x bằng công thức ở bước 2, và kết quả là nghiệm kép của phương trình.
Bước 6. Nếu phương trình không có nghiệm thực, ta kết luận rằng phương trình không có nghiệm.
Lưu ý: Trong trường hợp có các hệ số thập phân, ta cần làm tròn kết quả đến một số chữ số thập phân hợp lý để xử lý sai số trong tính toán.
Các dạng bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai
Dạng 1: Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Dạng: \(√(ax^2 + bx + c) = m (a ≠ 0)\).
Ví dụ:
- Giải phương trình: \(√(x^2 + 4x – 5) = 3\).
Phương pháp giải:
- Bình phương hai vế của phương trình, ta được:
\(ax^2 + bx + c = m^2\).
- Chuyển vế, ta được:
\(ax^2 + bx + c – m^2 = 0\).
- Giải phương trình bậc hai thu được.
- Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình ban đầu.
Dạng: \(√(ax^2 + bx + c) + d = m\).
Ví dụ:
- Giải phương trình: \(√(x^2 – 2x + 1) + 2 = 4\).
Phương pháp giải:
- Chuyển vế d sang vế phải, ta được:
\(√(ax^2 + bx + c) = m – d\).
- Giải phương trình như dạng 1.1.
Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Dạng: 1\(.(ax^2 + bx + c) = m (a ≠ 0)\).
Ví dụ:
- Giải phương trình: \(.1/(x^2 – 4x + 3) = 2\)
Phương pháp giải:
- Nhân chéo hai vế của phương trình với \(ax^2 + bx + c\), ta được:
\(1 = m(ax^2 + bx + c)\)
- Khai triển vế phải, ta được:
\(1 = amx^2 + bmx + cm\)
- Chuyển vế, ta được:
\(amx^2 + bmx + cm – 1 = 0\)
- Giải phương trình bậc hai thu được.
- Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình ban đầu.
Dạng: \(1/(ax^2 + bx + c) + d = m\)
Ví dụ:
- Giải phương trình: \(1/(x^2 + 2x + 1) + 1 = 3\)
Phương pháp giải:
- Chuyển vế d sang vế phải, ta được:
\(1/(ax^2 + bx + c) = m – d\)
- Giải phương trình như dạng 2.1.
Dạng 3: Phương trình chứa ẩn trong lũy thừa
Dạng: \(x^n – m = 0\) (n là số tự nhiên chẵn)
Ví dụ:
- Giải phương trình: \(x^4 – 13x^2 + 36 = 0\)
Phương pháp giải:
- Đặt \(t = x^2 (t ≥ 0)\), ta được phương trình bậc hai ẩn t:
\(t^2 – 13t + 36 = 0\)
- Giải phương trình bậc hai thu được.
- Từ nghiệm của t, tìm nghiệm của x.
Dạng: \(x^n + ax^m + b = 0\) (n, m là số tự nhiên chẵn)
Ví dụ:
- Giải phương trình: \(x^4 + 2x^2 – 3 = 0\)
Phương pháp giải:
- Đặt \(t = x^2 (t ≥ 0)\), ta được phương trình bậc hai ẩn t:
\(t^2 + 2t – 3 = 0\)
- Giải phương trình bậc hai thu được.
- Từ nghiệm của t, tìm nghiệm của x.
Bài tập có lời giải chi tiết về phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 10
Bài 1: Giải phương trình:
\(√(x^2 + 4x – 5) = 3\)
Lời giải:
- Bình phương hai vế của phương trình, ta được:
\(x^2 + 4x – 5 = 9\)
- Chuyển vế, ta được:
\(x^2 + 4x – 14 = 0\)
- Giải phương trình bậc hai, ta được:
x1 = 2; x2 = -7
- Kiểm tra nghiệm:
- Với x1 = 2, \(√(x^2 + 4x – 5) = √(2^2 + 4*2 – 5) = √3 > 3\) (thỏa mãn)
- Với x2 = -7, \(√(x^2 + 4x – 5) = √(-7^2 + 4*-7 – 5) = √(-4) < 3\) (không thỏa mãn)
- Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
Bài 2: Giải phương trình:
\(1/(x^2 – 4x + 3) = 2\)
Lời giải:
- Nhân chéo hai vế của phương trình với \( x^2 – 4x + 3\), ta được:
\(1 = 2(x^2 – 4x + 3)\)
- Khai triển vế phải, ta được:
\(1 = 2x^2 – 8x + 6\)
- Chuyển vế, ta được:
\(2x^2 – 8x + 5 = 0\)
- Giải phương trình bậc hai, ta được:
x1 = 1; x2 = 2,5
- Kiểm tra nghiệm:
- Với x1 = 1, \(1/(x^2 – 4x + 3) = 1/(1^2 – 4*1 + 3) = 1/0\) (không thỏa mãn)
- Với x2 = 2,5, \(1/(x^2 – 4x + 3) = 1/(2,5^2 – 4*2,5 + 3) = 2\) (thỏa mãn)
- Vậy nghiệm của phương trình là x = 2,5.
Bài 3: Giải phương trình:
\(√(x^2 – 2x + 1) + 2 = 4\)
Lời giải:
- Chuyển vế 2 sang vế phải, ta được:
\(√(x^2 – 2x + 1) = 2\)
- Giải phương trình như bài 1.
- Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 và x = 3.
Bài 4: Giải phương trình:
\(1/(x^2 + 2x + 1) + 1 = 3\)
Lời giải:
- Chuyển vế 1 sang vế phải, ta được:
\(1/(x^2 + 2x + 1) = 2\)
- Giải phương trình như bài 2.
- Vậy nghiệm của phương trình là x = -1.
Bài 5: Giải phương trình:
\(x^4 – 13x^2 + 36 = 0\)
Lời giải:
- Đặt \(t = x^2 (t ≥ 0)\), ta được phương trình bậc hai ẩn t:
\(t^2 – 13t + 36 = 0
- Giải phương trình bậc hai, ta được:
t1 = 4; t2 = 9
- Từ nghiệm của t, tìm nghiệm của x:
- Với t1 = 4, x1 = 2; x2 = -2
- Với t2 = 9, x3 = 3; x4 = -3
- Vậy nghiệm của phương trình là x = 2; x = -2; x = 3; x = -3.
Luyện tập
Giải phương trình
[latex]√(x^2 – 4x + 3) = 2\)
\(1/(x^2 + 2x + 1) = 3\)
\(x^4 – 16x^2 + 64 = 0\)
\(√(x^2 – 4x + 4) + 1 = 3\)
\(1/(x^2 + 2x + 1) – 1 = 0\)
\(x^4 – 2x^2 – 3 = 0\)
Như vậy, bài viết đã trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình quy về phương trình bậc hai. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài tập liên quan đến phương trình quy về phương trình bậc hai một cách dễ dàng và chính xác.
