Khái niệm tập hợp các số nguyên đóng vai trò quan trọng trong chương trình toán học lớp 6, là nền tảng cho các bài toán về cộng, trừ, so sánh, tìm số,… Bài viết này sẽ trình bày khái niệm, tính chất, cách biểu diễn và ứng dụng của tập hợp số nguyên trong toán học.
Khái niệm tập hợp
Tập hợp là một tập hợp các đối tượng được xác định rõ ràng.
Ký hiệu:
Tập hợp A được viết trong dấu ngoặc nhọn { }.
Ví dụ: A = {1, 2, 3}.
Tập hợp các số nguyên: là tập hợp bao gồm tất cả các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương.
Ký hiệu: ℤ.
Ví dụ: ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.
Phần tử:
Các đối tượng trong tập hợp được gọi là phần tử.
Ký hiệu: ∈, ∉.
Ví dụ: 1 ∈ A, 4 ∉ A.
Tập hợp rỗng:
Tập hợp không có phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng.
Ký hiệu: Ø.
Biểu diễn số nguyên trên trục số
- Trên trục số, các điểm cách đều điểm gốc O được gọi là các điểm biểu diễn số nguyên.
- Chiều dương hướng từ trái sang phải.
- Điểm biểu diễn số nguyên a được gọi là điểm a.
- Đơn vị đo độ dài trên trục số là độ dài đoạn thẳng nối điểm 0 với điểm 1.
Số đối của một số nguyên
Số đối của số nguyên a là số nguyên b sao cho a + b = 0.
Ký hiệu: -a.
Ví dụ:
Số đối của 3 là -3.
Số đối của -5 là 5.
So sánh hai số nguyên
Số nguyên âm nhỏ hơn số 0.
Số nguyên dương lớn hơn số 0.
So sánh hai số nguyên âm:
So sánh số mũ của hai số (số có số mũ lớn hơn thì nhỏ hơn).
Nếu hai số có cùng số mũ thì so sánh hai giá trị tuyệt đối (số có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì nhỏ hơn).
So sánh hai số nguyên dương:
So sánh trực tiếp hai số.
Ví dụ: 5 > 3.
Tính chất
Tính chất giao hoán:
- a + b = b + a.
- a – b = b – a (b ≥ a).
Tính chất kết hợp:
- (a + b) + c = a + (b + c).
- (a – b) – c = a – (b + c).
Tính chất phân phối:
- a(b + c) = ab + ac.
- a(b – c) = ab – ac.
Bài tập về tập hợp các số nguyên có lời giải chi tiết
Bài 1: Viết tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử:
A = {x | x ∈ ℤ, -3 ≤ x ≤ 2}.
Giải:
Ta có: -3 ≤ -2 ≤ -1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2.
Vậy, A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}.
Bài 2: So sánh hai số nguyên:
a) -5 và 3.
b) 8 và -2.
Giải:
a) -5 là số nguyên âm, 3 là số nguyên dương.
Do đó, -5 < 3.
b) 8 là số nguyên dương, -2 là số nguyên âm.
Do đó, 8 > -2.
Bài 3: Tìm số nguyên x, biết:
a) x + 3 = 5.
b) x – 2 = -4.
Giải:
a) x + 3 = 5
x = 5 – 3
x = 2.
b) x – 2 = -4
x = -4 + 2
x = -2.
Bài 4: Tìm số nguyên a, biết:
a) a + (-5) = -2.
b) a – (-8) = 12.
Giải:
a) a + (-5) = -2
a = -2 – (-5)
a = 3.
b) a – (-8) = 12
a = 12 + (-8)
a = 4.
Bài 5: Tìm hai số nguyên a và b, biết:
a) a + b = 10 và a – b = 2.
b) a + b = -7 và a – b = 9.
Giải:
a) a + b = 10 và a – b = 2.
Cộng hai phương trình ta được:
2a = 12
a = 6.
Thay a = 6 vào phương trình a + b = 10, ta được:
6 + b = 10
b = 4.
Vậy, a = 6 và b = 4.
b) a + b = -7 và a – b = 9.
Cộng hai phương trình ta được:
2a = 2
a = 1.
Thay a = 1 vào phương trình a + b = -7, ta được:
1 + b = -7
b = -8.
Vậy, a = 1 và b = -8.
Luyện tập
Bài 1: Viết tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử:
B = {x | x ∈ ℤ, -5 < x < 3}.
Bài 2: So sánh hai số nguyên:
a) -7 và 0.
b) 4 và -8.
Bài 3: Tìm số nguyên x, biết:
a) x + 2 = 7.
b) x – 5 = -1.
Bài 4: Tìm số nguyên a, biết:
a) a + (-3) = 1.
b) a – (-6) = 10.
Bài 5: Tìm hai số nguyên a và b, biết:
a) a + b = 8 và a – b = 4.
b) a + b = -3 và a – b = 1.
Tập hợp số nguyên là một khái niệm toán học cơ bản và quan trọng được học sinh lớp 6 tiếp cận. Nắm vững kiến thức về tập hợp số nguyên giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến cộng, trừ, so sánh, tìm số,…
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
