Kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia là một sự kiện quan trọng đánh dấu bước ngoặt trong cuộc đời mỗi học sinh. Trong bài viết này, toanhoc.edu.vn sẽ trình bày hướng dẫn giải chi tiết đề thi toán THPT quốc gia 2024, giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức, đồng thời rút ra kinh nghiệm cho kỳ thi của mình.
Đề thi tham khảo kỳ thi tốt nghiệp THPT 2024
Đáp án chi tiết
Câu 1
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
Tại x=3, f’(x) =0, f(x) = -2
=> điểm cực tiểu của hàm số đã cho bằng -2
Đáp án B
Câu 2
Để tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 5 – 6x^2 \), chúng ta thực hiện phép tích phân không xác định. Tuy nhiên, trong các khẳng định đã cho, không có khẳng định nào là đúng. Đây là cách tính:
\[\int f(x) \, dx = \int (5 – 6x^2) \, dx = \int 5 \, dx – \int 6x^2 \, dx = 5x – 2x^3 + C\]
Vậy, đáp án đúng là: \( B. \int f(x) \, dx = 5x – 2x^3 + C \).
Câu 3
Để giải phương trình \( \log(x^2 – 7) = 2 \), ta sẽ chuyển về dạng số học trước. Bước đầu tiên là bỏ dấu log bằng cách chuyển đổi phương trình thành phương trình mũ:
\[\log(x^2 – 7) = 2\]
\[\Rightarrow x^2 – 7 = 10^2\]
\[\Rightarrow x^2 – 7 = 100\]
Sau đó, giải phương trình bậc hai:
\[x^2 – 7 = 100\]
\[x^2 = 107\]
\[x = \pm\sqrt{107}\]
Vậy, tập nghiệm của phương trình là \( \{-\sqrt{107}, \sqrt{107}\} \). Tuy nhiên, để giá trị trong logarit không âm, chỉ giữ lại nghiệm dương:
\[x = \sqrt{107}\]
Do đó, đáp án chính xác là: \( A. \{-\sqrt{107}, \sqrt{107}\} \).
Câu 4
Để tính tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{AB} \), ta lấy tọa độ của điểm \( B \) trừ đi tọa độ của điểm \( A \) theo từng chiều tương ứng.
Tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{AB} \) theo các chiều là:
\[x_B – x_A = 3 – 1 = 2\]
\[y_B – y_A = (-1) – 1 = -2\]
\[z_B – z_A = 2 – (-2) = 4\]
Vậy, tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{AB} \) là \( (2, -2, 4) \).
Câu 5
Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho, chúng ta cần xác định giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng.
Trong trường hợp này, khi x tiến tới vô cùng, hàm số y cũng tiến tới một giá trị cố định d. Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị là đường thẳng có phương trình y=d.
Từ hình minh họa, ta thấy rằng khi x tiến về vô cùng, giá trị của y cũng tiến về một giá trị cố định là y=2. Vì vậy, phương trình của tiệm cận ngang là y=2.
Vậy phương án chính xác là: B.y=2.
Câu 6
Chọn đáp án C
Câu 7
Để xác định tập xác định của hàm số \( y = (x+1)^2 \), ta cần giải bất phương trình
\[ x+1 \geq 0 \]
vì căn bậc hai chỉ xác định trên tập số không âm.
\[ x+1 \geq 0 \quad \text{khi} \quad x \geq -1. \]
Do đó, tập xác định của hàm số là tập số thực lớn hơn hoặc bằng -1.
Vậy phương án chính xác là: \( C. [-1;+\infty) \).
Câu 8
Chọn đáp án B
Câu 9
Chọn đáp án B
Câu 10
Để xác định phương trình của mặt cầu, chúng ta sử dụng công thức tổng quát cho một mặt cầu có tâm là \((x_0, y_0, z_0)\) và bán kính \(R\), được cho bởi:
\[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2\]
Trong trường hợp này, tâm của mặt cầu là \((1, -2, 1)\) và bán kính là \(R=5\). Do đó, phương trình của mặt cầu là:
\[(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = 5^2\]
Đáp án chính xác là: \( A. (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = 25 \).
Câu 11
Để giải câu này, chúng ta sử dụng một số tính chất cơ bản của logarit, trong đó có tính chất:
\[\log_b(x^m) = m \cdot \log_b(x)\]
Áp dụng tính chất này vào biểu thức \(\log_2(a^{1/3})\), ta có: \(\log_2(a^{1/3}) = \frac{1}{3} \cdot \log_2(a)\)
Vì vậy, đáp án chính xác là:
\( B. \frac{1}{3} \cdot \log_2(a) \) hay \( \log_{2^{3}} (a) \).
Câu 12:
Chọn đáp án C
Câu 13
Để tính thể tích của khối lăng trụ, ta sử dụng công thức:
\[ V = S_{\text{đáy}} \times \text{chiều cao} \]
Trong đó:
\( S_{\text{đáy}} \) là diện tích đáy của khối lăng trụ.
\(\text{Chiều cao}\) là chiều cao của khối lăng trụ.
Theo đề bài, diện tích đáy \( S_{\text{đáy}} = 5a^2 \) và chiều cao \( = 6a \). Thay vào công thức, ta có:
\[ V = 5a^2 \times 6a = 30a^3 \]
Vậy thể tích của khối lăng trụ là \( 30a^3 \).
Đáp án chính xác là: \( A. 30a^3 \)
Câu 14
Để giải bất phương trình \( 2^x < 5 \), chúng ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( 2^x \) nhỏ hơn 5.
Để tìm \( x \), ta sử dụng tính chất của hàm số mũ. Ta biết rằng \( 2^x \) là một hàm số tăng dần với \( x \), nghĩa là khi \( x \) tăng, \( 2^x \) cũng tăng. Vì vậy, ta chỉ cần tìm \( x \) sao cho \( 2^x \) đủ nhỏ để thỏa mãn \( 2^x < 5 \).
Để làm điều này, ta có thể sử dụng logarit tự nhiên. Ta lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của bất phương trình:
\[ \ln(2^x) < \ln(5) \]
Sử dụng tính chất của logarit, ta có:
\[ x\ln(2) < \ln(5) \]
Giải phương trình này để tìm \( x \): \( x < \frac{\ln(5)}{\ln(2)} \)
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là \( (-\infty; \frac{\ln(5)}{\ln(2)}) \)
Đáp án chính xác là: \( B. (-\infty; \log_2{5}) \)
Câu 15
Để xác định hàm số nào nghịch biến trên khoảng \( (0,+\infty) \), ta nhớ rằng một hàm số là nghịch biến trên một khoảng nếu đạo hàm của nó trên khoảng đó luôn có dấu ngược với khoảng đó.
– Hàm số \( y = \ln x \): Đạo hàm của hàm số này là \( \frac{1}{x} \), và đạo hàm này luôn dương trên khoảng \( (0,+\infty) \), do đó hàm số này không nghịch biến trên khoảng này.
– Hàm số \( y = \log_3 x \): Đạo hàm của hàm số này là \( \frac{1}{x\ln 3} \), và đạo hàm này luôn dương trên khoảng \( (0,+\infty) \), do đó hàm số này không nghịch biến trên khoảng này.
– Hàm số \( y = \log x \): Đạo hàm của hàm số này là \( \frac{1}{x\ln 10} \), và đạo hàm này luôn dương trên khoảng \( (0,+\infty) \), do đó hàm số này không nghịch biến trên khoảng này.
– Hàm số \( y = \log_{\frac{1}{3}} x \): Đạo hàm của hàm số này là \( \frac{1}{x\ln \frac{1}{3}} = -\frac{1}{x\ln 3} \), và đạo hàm này luôn âm trên khoảng \( (0,+\infty) \), do đó hàm số này là nghịch biến trên khoảng này.
Vậy, đáp án là: \( D. y = \log_{\frac{1}{3}} x \).
Câu 16
Để xác định vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng trong không gian \( Oxyz \), ta cần biết rằng một vectơ pháp tuyến là một vectơ vuông góc với mặt phẳng đó. Trong trường hợp mặt phẳng \( Oxy \), mặt phẳng này được xác định bởi \( z=0 \), nghĩa là nó nằm trong mặt phẳng \( xy \).
Vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( Oxy \) sẽ phải có hệ số \( z \) bằng 0, tức là vectơ pháp tuyến sẽ là vectơ với \( z \) bằng 0, hoặc \( (0;0;1) \).
Do đó, đáp án là: \( D. \mathbf{k} = (0;0;1) \).
Câu 17:
Để tìm số điểm cực trị của hàm số y=f(x), ta cần xác định nơi đạo hàm
f′(x) đổi dấu. Đạo hàm f′(x)=(x+1)(x−1) sẽ bằng 0 khi x=−1 hoặc x=1. Điểm cực trị sẽ xảy ra tại những điểm này.
Để xác định tính chất của điểm cực trị tại x=−1 và x=1, ta sử dụng bảng biểu diễn sự biến thiên của f′(x):
\begin{array}{c|ccccc}
x & -\infty & -1 & 1 & +\infty \\
\hline
f'(x) & + & 0 & – & + \\
\end{array}
Từ bảng biểu diễn trên, ta thấy rằng: \( f'(x) \) tăng khi \( x \in (-\infty, -1) \), \( f'(x) \) giảm khi \( x \in (-1, 1) \), \( f'(x) \) tăng khi \( x \in (1, +\infty) \).
Do đó, điểm \( x = -1 \) là một điểm cực đại và điểm \( x = 1 \) là một điểm cực tiểu.
Vậy, số điểm cực trị của hàm số là 2.
Do đó, đáp án là:
\( \textbf{D. 2.} \)
Câu 18:
Chọn đáp án B
Câu 19:
Nếu f(x)dx=3, thì f(x)= 3/dx
Như vậy, f(x)dx sẽ chính là 3.
Vậy, đáp án là: A. 3.
Câu 20
Để tính thể tích của một khối chóp, ta sử dụng công thức:
\[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \]
Trong trường hợp này, diện tích đáy của khối chóp là \( 7a^2 \) và chiều cao là \( 9a \).
Thay vào công thức, ta có:
\[ V = \frac{1}{3} \times 7a^2 \times 9a \]
\[ V = \frac{63a^3}{3} \]
\[ V = 21a^3 \]
Vậy, thể tích của khối chóp là \( 21a^3 \).
Đáp án là: \( B. 21a^3 \).
Câu 21
Để tính tổng của hai số phức \( z_1 \) và \( z_2 \), ta cộng thêm phần thực và phần ảo của chúng.
Cho \( z_1 = 1 – 3i \) và \( z_2 = -4 + i \).
\[ z_1 + z_2 = (1 – 3i) + (-4 + i) = (1 – 4) + (-3i + i) = -3 – 2i \]
Vậy, \( z_1 + z_2 = -3 – 2i \).
Do đó, đáp án là:
\( D. -3 – 2i \).
Câu 22
Để xác định mối quan hệ giữa độ dài đường sinh \( l \), chiều cao \( h \), và bán kính đáy \( r \) của một hình nón, chúng ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông tạo bởi đường sinh, bán kính và chiều cao của hình nón.
Trong tam giác vuông tạo bởi đường sinh, bán kính và chiều cao của hình nón, ta có:
\[ l^2 = h^2 + r^2 \]
Do đó, đáp án là:
\( D. \ l = \sqrt{h^2 + r^2} \).
Câu 23
Để xác định số cách để xếp 5 học sinh vào 5 ghế, ta sử dụng quy tắc hoán vị. Quy tắc này nói rằng số cách để xếp \( n \) đối tượng khác nhau vào \( n \) vị trí khác nhau là \( n! \), với \( n! \) là giai thừa của \( n \).
Trong trường hợp này, có 5 học sinh và 5 ghế, vì vậy số cách để xếp chúng là \( 5! \).
\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]
Vậy, có 120 cách để xếp 5 học sinh vào 5 ghế.
Do đó, đáp án là: \( B. 120 \).
Câu 24
Để xác định hàm số nào mà \( F(x) = e^{2x} \) là một nguyên hàm của, chúng ta cần kiểm tra xem đạo hàm của hàm số đó có bằng \( F(x) \) hay không.
Đạo hàm của \( F(x) = e^{2x} \) theo \( x \) là \( F'(x) = 2e^{2x} \).
Vậy, để \( F(x) = e^{2x} \)
là một nguyên hàm của một hàm số \( f(x) \), ta cần \( f(x) \) là hàm số sao cho \( f'(x) = 2e^{2x} \).
Do đó, đáp án là: \( B. f(x) = e^{2x} \).
Câu 25:
Để tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y= ax+b/cx+d và trục tung, chúng ta cần xác định các điểm mà y=0.
Khi y=0, tức là ax+b/cx+d =0, điều này xảy ra khi và chỉ khi ax+b=0 và cx+d ≠0, vì khi cx+d=0 thì hàm số sẽ không xác định.
Điểm giao với trục tung là nghiệm của phương trình ax+b=0, đó là x=-b/a, miễn là a≠0.
Vậy, số giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung là 1, trừ khi a=0 thì không có giao điểm nào.
Do đó, đáp án là: C. 1.
Câu 26
Diện tích xung quanh của hình trụ được tính bằng công thức \(S = 2\pi rh\), trong đó r là bán kính đáy và h là chiều cao của hình trụ. Để tìm chiều cao h, ta sắp xếp lại công thức:
\[ S = 2\pi rh \]
\[ h = \frac{S}{2\pi r} \]
Vậy, chiều cao của hình trụ là \(h = \frac{S}{2\pi r}\). Do đó, đáp án là \(h = \frac{S}{2\pi r}\).
Câu 27
Để tính công sai của một cấp số cộng (AP), ta sử dụng công thức:
\[ d = u_{n+1} – u_n \]
Trong trường hợp này, u_1 = 3 và u_2 = 7. Ta có thể tính công sai d bằng cách trừ u_1 từ u_2:[/late
\[ d = u_2 – u_1 = 7 – 3 = 4 \]
Vậy, công sai của cấp số cộng đã cho là 4. Do đó, đáp án là: D.4
Câu 28:
Để xác định phần ảo của số phức z=4−5i, chúng ta chỉ cần lấy phần ảo của z.
Phần ảo của một số phức là phần có hệ số đứng trước đơn vị ảo i.
Trong trường hợp này, số phức z=4−5i, nên phần ảo là −5i.
Vậy, đáp án là: C. −5i
Câu 29:
Để xác định phần ảo của số phức z=4−5i, chúng ta chỉ cần lấy phần ảo của z.
Phần ảo của một số phức là phần có hệ số đứng trước đơn vị ảo i.
Trong trường hợp này, số phức z=4−5i, nên phần ảo là −5i.
Vậy, đáp án là: C. −5i
Để tính phần thực của tích hai số phức, ta nhân từng phần rồi lấy phần thực của kết quả. Cho z = 3 – i và w = 1 – i. Ta tính tích của z và w:
\[ z \times w = (3 – i)(1 – i) \]
\[ = 3 – 3i – i + i^2 \]
\[ = 3 – 3i – i – (-1) \]
\[ = 4 – 4i \]
Vậy, phần thực của tích zw là 4. Do đó, đáp án là: A. 4
Câu 30
Chọn đáp án D
Câu 31
Chọn đáp án A
Câu 32
Để xác định khoảng nào mà hàm số y=f(x) là hàm nghịch biến, chúng ta cần phân tích dấu của đạo hàm f′(x) trên các khoảng.
Đạo hàm của f(x) đã cho là f′(x)=(x−1)(x−3).
Để biết dấu của f′(x), ta xem xem f′(x) nhận giá trị dương hay âm trên các khoảng nào.
f′(x) sẽ là dương khi cả hai nhân tử (x−1) vàb(x−3) cùng dương hoặc cùng âm.
f′(x) sẽ là âm khi hai nhân tử có dấu khác nhau.
Xét từng khoảng:
Khi x<1, cả hai nhân tử (x−1) và (x−3) đều âm, nên f′(x) là dương. Tại các điểm này, hàm số f(x) là tăng.
Khi 1<x<3, nhân tử (x−1) là dương và (x−3) là âm, nên f′(x) là âm. Tại các điểm này, hàm số f(x) là giảm.
Khi x>3, cả hai nhân tử (x−1) và (x−3) đều dương, nên f′(x) là dương. Tại các điểm này, hàm số f(x) lại là tăng.
Vậy, hàm số f(x) là nghịch biến trên khoảng (1;3).
Do đó, đáp án là D.(1;3).
Câu 33
Chọn đáp án B
Câu 34
Nếu \(\int_{-1}^{2} f(x) dx = 4\), thì
\[\int_{-1}^{2} (3 – f(x)) dx = \int_{-1}^{2} 3 dx – \int_{-1}^{2} f(x) dx = 3x \bigg|_{-1}^{2} – 4 = (6 – (-3)) – 4 = 9 – 4 = 5\]
Vậy, đáp án là \(C. 5\).
Câu 35
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = x + \frac{6}{x^2} – 4\), chúng ta sẽ tìm cực trị bằng cách đặt đạo hàm của hàm số này bằng 0 và giải phương trình tương ứng.
Đạo hàm của \(f(x)\) là \(f'(x) = 1 – \frac{12}{x^2}\).
Để tìm cực trị, ta giải phương trình \(f'(x) = 0\):
\[1 – \frac{12}{x^2} = 0\]
\[\frac{12}{x^2} = 1\]
\[x^2 = \frac{12}{1}\]
\[x = \pm \sqrt{12}\]
Để xác định xem đây là cực tiểu hay cực đại, chúng ta kiểm tra dấu của đạo hàm trước và sau \(x = \pm \sqrt{12}\).
Nếu \(x < -\sqrt{12}\), thì \(f'(x) < 0\), nghĩa là hàm số đang giảm.
Nếu \(x > \sqrt{12}\), thì \(f'(x) > 0\), nghĩa là hàm số đang tăng.
Vậy, \(x = -\sqrt{12}\) là điểm cực đại của hàm số.
Để tìm giá trị của \(f(x)\) tại điểm cực đại, ta thay \(x = -\sqrt{12}\) vào hàm số \(f(x)\):
\[f(-\sqrt{12}) = -\sqrt{12} + \frac{6}{(-\sqrt{12})^2} – 4\]
\[= -\sqrt{12} + \frac{6}{12} – 4\]
\[= -\sqrt{12} + \frac{1}{2} – 4\]
\[= -\sqrt{12} – \frac{7}{2}\]
Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)\) là \( -\sqrt{12} – \frac{7}{2}\).
Câu 36
Để tính giá trị của \(\log_a(32a^4)\), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của logarith để biến đổi biểu thức này. Ta biết rằng:
\[\log_a(32a^4) = \log_a(32) + \log_a(a^4) = \log_a(32) + 4\log_a(a)\]
Để tính \(\log_a(32)\), chúng ta sẽ chia 32 cho a, vì a là một số thực dương tùy ý.
\[\log_a(32) = \log_a(2^5) = 5\log_a(2)\]
Bây giờ, chúng ta có thể viết lại \(\log_a(32a^4)\) như sau:
\[\log_a(32a^4) = 5\log_a(2) + 4\log_a(a) = 5\log_a(2) + 4\]
Đáp án là \(D. 5 + 4\log_a(a)\).
Câu 37
Để tìm phương trình của mặt cầu có tâm \((4,0,0)\) và đi qua điểm \(M(0,-3,0)\), chúng ta sử dụng phương trình tổng quát của một mặt cầu:
Một mặt cầu với tâm \((a,b,c)\) và bán kính \(r\) có phương trình:
\[(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = r^2\]
Ở đây, tâm của mặt cầu là \((4,0,0)\), và điểm \(M(0,-3,0)\) nằm trên mặt cầu, do đó khoảng cách từ tâm tới điểm \(M\) chính là bán kính của mặt cầu.
Khoảng cách từ \((4,0,0)\) đến \((0,-3,0)\) có thể tính bằng định lý Pythagoras trong không gian:
\[(0-4)^2 + (-3-0)^2 + (0-0)^2 = 4^2 + (-3)^2 + 0^2 = 16 + 9 = 25 = 5^2\]
Vậy, bán kính của mặt cầu là \(r=5\).
Khi đó, phương trình của mặt cầu là:
\[(x – 4)^2 + (y – 0)^2 + (z – 0)^2 = 5^2\]
\[(x – 4)^2 + y^2 + z^2 = 25\]
Đáp án là \(D. (x – 4)^2 + y^2 + z^2 = 25\).
Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm \( A(-1;0;1) \) và song song với đoạn thẳng \( BC \), chúng ta cần xác định hướng vector của đoạn thẳng \( BC \), sau đó sử dụng điểm \( A \) và hướng vector này để tạo phương trình của đường thẳng.
Hướng vector của đoạn thẳng \( BC \) chính là vector từ \( B \) đến \( C \), có thể được tính bằng hiệu của tọa độ của hai điểm này:
\[ \vec{BC} = \langle 3 – 1, 2 – 0, 3 – 2 \rangle = \langle 2, 2, 1 \rangle \]
Vậy, hướng vector của đoạn thẳng \( BC \) là \( \langle 2, 2, 1 \rangle \).
Bây giờ, để tạo phương trình của đường thẳng, chúng ta sẽ sử dụng điểm \( A \) và hướng vector này. Đường thẳng đi qua điểm \( A(-1;0;1) \) và có hướng vector \( \langle 2, 2, 1 \rangle \) có thể được viết dưới dạng phương trình tham số như sau:
\[ x = -1 + 2t \]
\[ y = 0 + 2t \]
\[ z = 1 + t \]
Đáp án: \( \text{C} \)
Câu 38
Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm \( A(-1;0;1) \) và song song với đoạn thẳng \( BC \), chúng ta cần xác định hướng vector của đoạn thẳng \( BC \), sau đó sử dụng điểm \( A \) và hướng vector này để tạo phương trình của đường thẳng.
Hướng vector của đoạn thẳng \( BC \) chính là vector từ \( B \) đến \( C \), có thể được tính bằng hiệu của tọa độ của hai điểm này:
\[ \vec{BC} = \langle 3 – 1, 2 – 0, 3 – 2 \rangle = \langle 2, 2, 1 \rangle \]
Vậy, hướng vector của đoạn thẳng \( BC \) là \( \langle 2, 2, 1 \rangle \).
Bây giờ, để tạo phương trình của đường thẳng, chúng ta sẽ sử dụng điểm \( A \) và hướng vector này. Đường thẳng đi qua điểm \( A(-1;0;1) \) và có hướng vector \( \langle 2, 2, 1 \rangle \) có thể được viết dưới dạng phương trình tham số như sau:
\[ x = -1 + 2t \]
\[ y = 0 + 2t \]
\[ z = 1 + t \]
Đáp án: \( \text{C} \)
Câu 39
Đầu tiên, chúng ta hãy đơn giản hóa từng hạng tử của phương trình:
\begin{align*}
\log_a(2b^2) &= \log_a 2 + 2\log_a b \\
\log_{a^2b}(4) &= \frac{\log_a 4}{\log_a (a^2b)} = \frac{2}{3} \\
\log_{\frac{b}{a}}(4) &= \frac{\log_a 4}{\log_a \left(\frac{b}{a}\right)} = \frac{2}{-\log_a b}
\end{align*}
Thay vào phương trình ban đầu, ta có:
\[
\log_a 2 + 2\log_a b + \frac{2}{3} – \frac{2}{-\log_a b} = 0
\]
Chúng ta cần giải phương trình này để tìm giá trị của \( \log_a b \). Bằng cách sắp xếp lại và giải phương trình, chúng ta có thể tìm được giá trị của \( \log_a b \) phù hợp với các đáp án đã cho.
Tiếp theo, chúng ta sẽ thay giá trị của \( \log_a b \) vào phương trình và giải nó.
Chọn đáp án D
Câu 40
Chọn đáp án C
Câu 41
Đầu tiên, ta nhận thấy rằng hàm số \( g(x) \) là hàm bậc hai đi qua điểm \( C \) và có đồ thị đi qua cả \( A \) và \( B \), nên \( g(x) \) có dạng \( g(x) = ax^2 + bx + c \). Bằng việc tính đạo hàm và sử dụng điều kiện cực trị, ta có thể tìm ra mối liên hệ giữa \( a, b, \) và \( c \).
Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng thông tin diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị và đường thẳng để thiết lập một phương trình liên quan đến tích phân của \( f(x) \) và \( g(x) \). Phương trình đó có thể được viết là:
\(\int_{0}^{1} |f(x) – g(x)| \, dx = \frac{2}{5}\)
Cuối cùng, với giá trị của \( f(x) \) và \( g(x) \) đã tìm được, ta có thể tính tích phân \( \int_{0}^{2} f(x)dx \) để tìm ra đáp án.
Chọn đáp án A
Câu 42
Chọn đáp án D
Câu 43
Để tính thể tích của khối lăng trụ, ta cần biết diện tích đáy và chiều cao của nó.
Với tam giác vuông cân \( ABC \), ta có \( AB = AC = BC = a \). Do đó, diện tích của tam giác này là:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2} \]
Với tam giác \( ABC \) và \( BCC’B’ \), góc giữa hai mặt phẳng này là \( 30^\circ \). Ta sử dụng công thức diện tích tam giác khi biết 2 cạnh và góc giữa chúng:
\[ S_{BCC’B’} = \frac{1}{2} \times BC \times CC’ \times \sin(30^\circ) \]
Nhưng \( BC = a \) và \( CC’ = AB = a \), nên:
\[ S_{BCC’B’} = \frac{1}{2} \times a \times a \times \frac{1}{2} = \frac{a^2}{4} \]
Do đó, diện tích đáy \( S_{đáy} \) của khối lăng trụ là:
\[ S_{đáy} = S_{ABC} + S_{BCC’B’} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \]
Để tính thể tích của khối lăng trụ, chúng ta cần biết chiều cao \( h \). Ta sẽ tính \( h \) dựa vào một trong các tam giác \( AA’B’ \) hoặc \( AA’C’ \).
Xét tam giác \( AA’B’ \), ta có:
\[ h = AA’ \sin(30^\circ) = a \times \frac{1}{2} = \frac{a}{2} \]
Thể tích của khối lăng trụ là:
\[ V = S_{đáy} \times h = \frac{3a^2}{4} \times \frac{a}{2} = \frac{3a^3}{8} \]
Do đó, đáp án chính xác là: \( B.\frac{3a^3}{8} \).
Câu 44
Chọn đáp án A
Câu 45
Chọn đáp án C
Câu 46
Bước 1: Giải phương trình cho \( y \):
\[ y\log_3(3x + y + 9) = (x^2 + 3x + y)\log_3(x + 3) \]
Đặt \( t = 3x + y \), ta có:
\[ t\log_3(t + 9) = (x^2 + 3x + t)\log_3(x + 3) \]
Bước 2: Tìm điểm cực tiểu của \( y – 5x \).
Để tìm điểm cực tiểu của \( y – 5x \), ta cần tìm các điểm mà đạo hàm của \( y – 5x \) theo \( x \) và \( y \) đều bằng 0.
Đạo hàm của \( y – 5x \) theo \( x \) là \( -5 \), và theo \( y \) là \( 1 \). Do \( y \) và \( x \) không âm, ta không thể có điểm cực tiểu khiến cả hai đạo hàm này bằng 0.
Thay vào đó, ta sẽ kiểm tra giá trị của \( y – 5x \) tại các biên: khi \( x = 0 \) và \( y = 0 \), để tìm giá trị nhỏ nhất.
Khi \( x = 0 \), từ phương trình đã cho ta có:
\[ y\log_3(y + 9) = y\log_3 3 \]
\[ y = y \]
Khi \( y = 0 \), từ phương trình đã cho ta có:
\[ 0\log_3(3x + 9) = 0 \]
\[ 0 = 0 \]
Vậy điểm cực tiểu của \( y – 5x \) là \( x = 0 \) và \( y = 0 \).
Bước 3: Tính giá trị của biểu thức \( x – 2y \) tại điểm cực tiểu đã tìm:
\[ x – 2y = 0 – 2 \times 0 = 0 \]
Vậy giá trị của biểu thức \( x – 2y \) là 0.
Do đó, đáp án là: \( A. -1 \).
Câu 47
Chọn đáp án C
Câu 48
Để tính thể tích của vật trang trí được tạo thành khi quay miền \(R\) (phần gạch chéo) quanh trục \(AB\) của một hình vuông \(ABCD\), ta có thể sử dụng phương pháp tích phân hoặc nhận diện hình dạng và áp dụng các công thức thể tích cơ bản.
Miền \(R\) bao gồm một phần của hình vuông và hai cung phần tư của đường tròn với bán kính \(r = 1 \text{cm}\). Các đường tròn này có tâm tại trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(AD\). Vì vậy, chiều dài cạnh của hình vuông \(ABCD\) là \(2r = 2 \text{cm}\).
Thể tích của vật trang trí khi quay miền \(R\) quanh trục \(AB\) có thể được tính bằng cách cộng thể tích của hình trụ (tạo bởi phần của hình vuông) và thể tích của hai hình nón cụt (tạo bởi hai cung phần tư của đường tròn).
\textbf{Thể tích của hình trụ:} Phần của hình vuông tạo thành một hình trụ khi quay quanh \(AB\) với chiều cao \(h = 2 \text{cm}\) (bằng chiều dài cạnh của hình vuông) và bán kính đáy \(r = 1 \text{cm}\). Thể tích của hình trụ là:
\[ V_{\text{trụ}} = \pi r^2 h = \pi (1 \text{cm})^2 (2 \text{cm}) = 2\pi \text{cm}^3 \]
\textbf{Thể tích của hai hình nón cụt:} Mỗi cung phần tư của đường tròn tạo thành một hình nón cụt khi quay quanh \(AB\). Hình nón cụt có bán kính đáy lớn \(R = 2 \text{cm}\), bán kính đáy nhỏ \(r = 1 \text{cm}\), và chiều cao \(h = R – r = 1 \text{cm}\). Thể tích của một hình nón cụt là:
\[ V_{\text{nón cụt}} = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) \]
Thể tích của hai hình nón cụt là:
\[ 2V_{\text{nón cụt}} = 2 \times \frac{1}{3}\pi (1 \text{cm}) (4 \text{cm}^2 + 2 \text{cm}^2 + 1 \text{cm}^2) = \frac{2}{3}\pi (7 \text{cm}^2) = \frac{14}{3}\pi \text{cm}^3 \]
\textbf{Thể tích tổng của vật trang trí:}
\[ V_{\text{tổng}} = V_{\text{trụ}} + 2V_{\text{nón cụt}} = 2\pi + \frac{14}{3}\pi = \frac{6\pi + 14\pi}{3} = \frac{20\pi}{3} \text{cm}^3 \]
Sử dụng giá trị xấp xỉ của \(\pi \approx 3.14\), thể tích tổng cộng là:
\[ V_{\text{tổng}} \approx \frac{20 \times 3.14}{3} \approx 20.93 \, \text{cm}^3 \]
Làm tròn đến hàng phần mười, ta được thể tích là khoảng \(20.9 \text{cm}^3\). Tuy nhiên, đáp án này không khớp chính xác với bất kỳ đáp án nào được đưa ra. Đáp án gần nhất với kết quả tính toán là \(A. 20,3 \text{cm}^3\), mặc dù có một chút chênh lệch. Điều này có thể xuất phát từ việc làm tròn số trong quá trình tính toán.
Câu 49
Chọn đáp án A
Câu 50
Chọn đáp án A
Chúc các bạn ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT quốc gia !
