Đường phân giác là một đường thẳng đi qua đỉnh của một góc và chia góc đó thành hai góc nhỏ hơn có tỉ lệ bằng nhau. Trong tam giác, đường phân giác có nhiều tính chất quan trọng, giúp ta giải quyết các bài toán liên quan đến hình tam giác một cách hiệu quả và chính xác. Bài viết này sẽ trình bày kiến thức về tính chất đường phân giác trong tam giác, bao gồm định nghĩa, các tính chất cơ bản, hệ quả và ứng dụng thực tế.
Định nghĩa đường phân giác
Đường phân giác trong hình học là đường thẳng mà nó chia một góc thành hai phần bằng nhau. Đường phân giác của một góc được xác định bằng cách vẽ một đường thẳng từ đỉnh của góc tới điểm trên cạnh đối diện sao cho khoảng cách từ đỉnh tới điểm trên cạnh này bằng khoảng cách từ đỉnh tới các đỉnh của góc. Nói cách khác, đường phân giác chia góc thành hai góc con có diện tích bằng nhau.
Đường phân giác của một góc là một khái niệm quan trọng trong hình học, được sử dụng trong nhiều bài toán và ứng dụng. Trong một tam giác, đường phân giác của một góc có thể được sử dụng để tìm điểm trọng tâm của tam giác. Đường phân giác cũng đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các tâm và các điểm trọng tâm của các hình học phức tạp hơn, như hình bình hành, hình chữ nhật, và nhiều hình khác.
Có hai loại đường phân giác:
Đường phân giác của một góc:
Đường phân giác của một góc là tia xuất phát từ đỉnh của góc và chia góc đó thành hai góc con có độ lớn bằng nhau.
Ví dụ:
Cho góc AOB, tia OC là đường phân giác của góc AOB. Khi đó:
∠AOC = ∠BOC = \(\frac{1}{2}\) ∠AOB
Đường phân giác trong của một tam giác:
Đường phân giác trong của một tam giác là tia xuất phát từ đỉnh của một góc trong của tam giác và chia góc đó thành hai góc con, đồng thời cắt cạnh đối diện của góc đó thành hai đoạn thẳng.
Ví dụ:
Cho tam giác ABC, tia AD là đường phân giác trong của góc A. Khi đó:
∠BAD = ∠CAD
\(\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}\)Ngoài ra, còn có khái niệm đường phân giác ngoài của một tam giác.
Đường phân giác ngoài của một tam giác là tia xuất phát từ đỉnh của một góc ngoài của tam giác và chia góc đó thành hai góc con, đồng thời cắt cạnh đối diện của góc đó thành hai đoạn thẳng.
Tính chất của đường phân giác
Dưới đây là một số tính chất quan trọng của đường phân giác trong hình học:
Chia góc thành hai phần bằng nhau: Đường phân giác chia một góc thành hai phần có diện tích bằng nhau. Điều này có nghĩa là các góc con mà đường phân giác tạo thành có diện tích như nhau.
Gặp nhau tại góc: Đường phân giác của một góc sẽ gặp nhau tại đỉnh của góc. Điểm gặp nhau này là điểm bắt đầu của đường phân giác.
Cắt nhau với các đường phân giác khác: Trong một tam giác, ba đường phân giác của các góc nội tiếp sẽ cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tam giác. Điểm này có thể được xem như trọng tâm của hình học đó.
Có thể được sử dụng để tìm trung điểm: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc có thể được sử dụng để tìm điểm trung điểm của cạnh đối diện với góc đó.
Nằm trong một mặt phẳng: Đường phân giác của một góc luôn nằm trong một mặt phẳng chứa góc đó. Điều này có nghĩa là nó không bao giờ rời khỏi mặt phẳng của góc ban đầu.
Có thể được sử dụng để tìm các tâm của hình học: Trong một số hình học, như hình bình hành hoặc hình chữ nhật, các đường phân giác có thể được sử dụng để tìm tâm của hình học đó.
Những tính chất này làm cho đường phân giác là một công cụ hữu ích trong việc giải các bài toán và phân tích hình học.
Hệ quả
Hệ quả 1:
Đường phân giác của góc ngoài của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề.
Ví dụ:
Cho tam giác ABC, đường phân giác AE của góc ngoài tại đỉnh A cắt BC tại E. Khi đó: \(\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}\)
Hệ quả 2:
Đường trung tuyến của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề.
Ví dụ:
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM cắt BC tại M. Khi đó: \(\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}\)
Hệ quả 3:
Đường cao của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề.
Ví dụ:
Cho tam giác ABC, đường cao AH cắt BC tại H. Khi đó: \(\frac{BH}{HC} = \frac{AB}{AC}\)
Hệ quả 4:
Nếu hai đường phân giác trong của hai góc kề nhau của một tam giác cắt nhau thì điểm giao nhau nằm trên đường phân giác của góc thứ ba của tam giác đó.
Ví dụ:
Cho tam giác ABC, hai đường phân giác AD và BE cắt nhau tại G. Khi đó, G nằm trên đường phân giác CF.
Hệ quả 5:
Ba đường phân giác trong của một tam giác cắt nhau tại một điểm, gọi là điểm trọng tâm của tam giác.
Ví dụ:
Cho tam giác ABC, ba đường phân giác AD, BE, CF cắt nhau tại G. Khi đó, G là trọng tâm của tam giác ABC.
Hệ quả 6:
Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đường phân giác tương ứng.
Ví dụ:
Cho hai tam giác ABC và DEF đồng dạng với nhau, tỉ số đồng dạng k = \(\frac{AB}{DE}\). Khi đó: \(\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}} = k^2\)
Bài tập về đường phân giác
Bài toán: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm. Tính độ dài đường phân giác AD.
Lời giải:
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:
\(\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)
Áp dụng tính chất tổng tỉ, ta có:
\(BD = \frac{3}{7} \times BC = \frac{3}{7} \times 10 = \frac{30}{7} \, \text{cm}\).
\(CD = \frac{4}{7} \times BC = \frac{4}{7} \times 10 = \frac{40}{7} \, \text{cm}\)Lại áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:
\(\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{CD}\)⇒ \(AD = \frac{AB \cdot CD}{BD} = \frac{6 \times \frac{40}{7}}{\frac{30}{7}} = 8 \, \text{cm}\).
Vậy độ dài đường phân giác AD là 8cm.
Bài toán: Chứng minh rằng ba đường phân giác trong của một tam giác đồng quy tại một điểm.
Lời giải:
Bước 1: Vẽ hình minh họa.
Bước 2: Phân tích đề bài.
Bước 3: Chứng minh:
Gọi I là giao điểm của AD và BE.
Xét hai tam giác ABI và AEB:
- AB là cạnh chung.
- ∠BAI = ∠BAE (góc phân giác)
- AI là cạnh chung.
⇒ ΔABI ≅ ΔAEB (c.g.c)
⇒ BI = BE (hai cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự, ta có: CI = CE.
⇒ BI = BE = CI = CE.
⇒ I là điểm cách đều ba cạnh BC, CA, AB.
Vậy ba đường phân giác trong của một tam giác đồng quy tại một điểm.
Bài toán: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD chia BC thành hai đoạn BD và CD. Chứng minh rằng:
\(\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}\)\(\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \left(\frac{AB}{AC}\right)^2\).
Lời giải:
Câu a)
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:
\(\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}\)Câu b)
Ta có:
\(\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{CD} \times \frac{AD}{AD} = \frac{BD}{CD}\)Từ câu a), ta có:
\(\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}\)⇒ \(\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}\)
Lại có:
\(\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD}{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD} = \frac{AB \cdot BD}{AC \cdot CD}\)
Từ câu a), ta có:
\(\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}\)
⇒\(\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \left(\frac{AB}{AC}\right)^2\)
Vậy \(\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \left(\frac{AB}{AC}\right)^2\).
Tóm lại, tính chất đường phân giác trong tam giác là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học lớp 8. Việc nắm vững kiến thức về chủ đề này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến hình tam giác một cách hiệu quả và chính xác.Ngoài ra, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu khác để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải bài tập về tính chất đường phân giác trong tam giác.
