Phương trình bậc nhất một ẩn là một trong những dạng phương trình cơ bản và quan trọng nhất trong chương trình Toán lớp 8.Nắm vững kiến thức về phương trình bậc nhất một ẩn giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Định nghĩa về phương trình bậc nhất một ẩn
Phương trình bậc nhất một ẩn là một phương trình trong đó biến số chỉ xuất hiện ở dạng bậc một, tức là chỉ có một lần mũ 1. Phương trình này có dạng chung là:
ax + b = 0
trong đó:
- a và b là hai số đã cho, a ≠ 0.
- x là ẩn số.
Ví dụ:
2x + 3 = 0 là phương trình bậc nhất một ẩn.
\(x^2\) + 2x + 1 = 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì có số mũ 2.
3x = 0 là phương trình bậc nhất một ẩn vì a = 3 ≠ 0 và b = 0.
Lưu ý: Phương trình bậc nhất một ẩn chỉ có một ẩn số và ẩn số đó chỉ có mũ 1. Hệ số a của phương trình bậc nhất một ẩn không được bằng 0.
Phương trình bậc nhất một ẩn là một trong những khái niệm cơ bản trong đại số và toán học, và nó được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật.
Tính chất
Phương trình có nghiệm duy nhất:
Phương trình ax + b = 0 (a ≠ 0) có nghiệm duy nhất là x = \(-\frac{b}{a}\)
Phương trình vô nghiệm:
Phương trình ax + b = 0 (a = 0, b ≠ 0) vô nghiệm.
Phương trình có vô số nghiệm:
Phương trình ax + b = 0 (a = 0, b = 0) có vô số nghiệm.
Tính chất của nghiệm:
Tổng hai nghiệm của phương trình ax + b = 0 bằng \(-\frac{b}{a}\).
Tích hai nghiệm của phương trình ax + b = 0 bằng \(\frac{b}{a}\).
Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn
Phương pháp chuyển vế:
Bước 1: Chuyển vế b sang vế phải của phương trình.
Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho a.
Ví dụ: Giải phương trình: 2x + 3 = 0.
Giải:
Bước 1: Chuyển vế 3 sang vế phải của phương trình: 2x = -3.
Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho 2: x = –\(-\frac{3}{2}\).
Phương pháp đặt ẩn phụ:
Bước 1: Đặt ẩn phụ cho biểu thức lặp lại nhiều lần trong phương trình.
Bước 2: Giải phương trình mới để tìm ẩn phụ.
Bước 3: Thay giá trị ẩn phụ vào phương trình ban đầu để tìm nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình: 2x + 3y = 7 và x – y = 1.
Giải:
Bước 1: Đặt ẩn phụ: u = 2x + 3y và v = x – y.
Bước 2: Giải hệ phương trình:
u = 7
v = 1
Bước 3: Thay giá trị u và v vào phương trình ban đầu:
2x + 3y = 7
x – y = 1
Giải hệ phương trình này, ta được x = 2 và y = 1.
Phương pháp đồ thị:
Vẽ đồ thị của hai hàm số y = ax + b và y = 0.
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình.
Ví dụ:
Giải phương trình: 2x + 3 = 0.
Giải:
Vẽ đồ thị của hai hàm số y = 2x + 3 và y = 0.
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là (\(-\frac{3}{2}\), 0).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = \(-\frac{3}{2}\).
Nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn
Nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 là giá trị của x thỏa mãn phương trình.
Có ba cách để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn
Phương pháp chuyển vế: Chuyển vế b sang vế phải của phương trình, sau đó chia hai vế cho a.
Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ cho biểu thức lặp lại nhiều lần trong phương trình, sau đó giải phương trình mới để tìm ẩn phụ và thay vào phương trình ban đầu.
Phương pháp đồ thị: Vẽ đồ thị của hai hàm số y = ax + b và y = 0, tọa độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình.
Phân loại nghiệm:
Phương trình có nghiệm duy nhất: Khi a ≠ 0, phương trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhất là x = \(-\frac{b}{a}\).
Phương trình vô nghiệm: Khi a = 0 và b ≠ 0, phương trình ax + b = 0 vô nghiệm.
Phương trình có vô số nghiệm: Khi a = 0 và b = 0, phương trình ax + b = 0 có vô số nghiệm.
Ví dụ:
Phương trình 2x + 3 = 0 có nghiệm duy nhất là x = \(-\frac{3}{2}\).
Phương trình 3x = 0 có nghiệm duy nhất là x = 0.
Phương trình 0x + 5 = 0 vô nghiệm.
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
* 2x + 3y = 7
* x – y = 1
Giải:
Bước 1: Đặt ẩn phụ: u = 2x + 3y và v = x – y.
Bước 2: Giải hệ phương trình:
u = 7
v = 1
Bước 3: Thay giá trị u và v vào phương trình ban đầu:
2x + 3y = 7
x – y = 1
Giải hệ phương trình này, ta được x = 2 và y = 1.
Phương pháp đồ thị:
Vẽ đồ thị của hai hàm số y = ax + b và y = 0.
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình.
Ví dụ: Giải phương trình: 2x + 3 = 0.
Giải:
Vẽ đồ thị của hai hàm số y = 2x + 3 và y = 0.
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là (\(-\frac{3}{2}\), 0).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = \(-\frac{3}{2}\).
Qua bài học về phương trình bậc nhất một ẩn, học sinh đã nắm được các kiến thức cơ bản về:Định nghĩa cách giải phương trình bậc nhất một ẩn.Kiến thức về phương trình bậc nhất một ẩn có vai trò quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 và là nền tảng để học sinh tiếp tục học các dạng phương trình phức tạp hơn.
