Nhìn vào chiếc bàn học của bạn, bạn sẽ thấy hình vuông xuất hiện ở đâu? Chiếc bàn học có mặt phẳng hình vuông, giúp bạn có thể đặt sách vở, đồ dùng học tập một cách gọn gàng. Hình vuông là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông. Đây là một hình học đơn giản nhưng lại có nhiều tính chất và ứng dụng thú vị. Hình vuông được học trong chủ đề “Tứ giác” của chương trình Toán học lớp 8.
Định nghĩa hình vuông
Hình vuông là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông. Cụ thể hơn:
Các cạnh: Tất cả bốn cạnh của hình vuông có độ dài bằng nhau.
Các góc: Tất cả bốn góc của hình vuông đều là góc vuông, tức là mỗi góc có số đo là \(90^\circ\).
Đường chéo: Hai đường chéo của hình vuông không chỉ bằng nhau về độ dài mà còn cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo và vuông góc với nhau.
Hình vuông thực sự là một trường hợp đặc biệt của nhiều loại hình học khác: nó là một hình chữ nhật (vì có các góc vuông) và cũng là một hình thoi (vì có các cạnh bằng nhau). Do đó, hình vuông kết hợp tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
Tính chất hình vuông
Hình vuông là một hình tứ giác đặc biệt có những tính chất sau:
Cạnh bằng nhau: Tất cả bốn cạnh của hình vuông đều có độ dài bằng nhau.
Góc vuông: Tất cả bốn góc của hình vuông đều là góc vuông, tức là mỗi góc có số đo là \(90^\circ\).
Đường chéo bằng nhau: Hai đường chéo của hình vuông không chỉ bằng nhau về độ dài mà còn chia đôi nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Đường chéo vuông góc: Hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau.
Đường chéo chia đôi góc: Mỗi đường chéo của hình vuông chia đôi các góc mà nó đi qua.
Tính đối xứng: Hình vuông có tính đối xứng qua cả hai đường chéo, cũng như qua các đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh đối diện.
Tính chất của hình chữ nhật và hình thoi: Hình vuông kết hợp tất cả các tính chất của hình chữ nhật (các cạnh đối diện song song và bằng nhau, các góc vuông) và hình thoi (tất cả các cạnh bằng nhau, đường chéo vuông góc và chia đôi nhau).
Những tính chất này không chỉ giúp nhận biết hình vuông mà còn hỗ trợ trong việc giải các bài toán hình học liên quan đến hình vuông.
Dấu hiệu nhận biết hình vuông
Nhận biết hình vuông dựa trên một số đặc điểm cơ bản của nó:
Các cạnh: Hình vuông có bốn cạnh có độ dài bằng nhau và góc giữa hai cạnh liền kề là \(90^\circ\).
Góc: Tất cả các góc trong hình vuông đều là góc vuông, tức là có độ lớn là \(90^\circ\).
Đối xứng: Hình vuông là một hình đối xứng, nghĩa là có thể quay xoay \(180^\circ\) mà không thay đổi hình dạng.
Đường chéo: Đường chéo của hình vuông chia cắt góc thành hai phần bằng nhau và có độ dài bằng nhau.
Đặc điểm khác: Các đường chéo cũng là đường trung tuyến và là phân giác của các góc của hình vuông.
Kích thước: Nếu bạn biết chiều dài của một cạnh của hình vuông, bạn cũng biết kích thước của tất cả các cạnh khác, vì chúng đều bằng nhau.
Khi nhận biết hình vuông, bạn có thể sử dụng một hoặc nhiều trong những đặc điểm trên để xác định xem một hình có phải là hình vuông hay không.
Công thức tính hình vuông
Hình vuông là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông. Do đó, chỉ cần biết độ dài cạnh của hình vuông là có thể tính được diện tích và chu vi của hình vuông.
Dưới đây là công thức tính hình vuông:
Diện tích hình vuông:
S = \(a^2\)
Trong đó:
- S là diện tích hình vuông
- a là độ dài cạnh hình vuông
Ví dụ:
Nếu độ dài cạnh của hình vuông là 5 cm thì diện tích hình vuông là:
S = \(5^2\)= 25\(cm^2\)
Chu vi hình vuông:
C = 4a
Trong đó:
C là chu vi hình vuông
a là độ dài cạnh hình vuông
Ví dụ:
Nếu độ dài cạnh của hình vuông là 5 cm thì chu vi hình vuông là:
C = 4 * 5 = 20 cm
Ngoài ra, bạn cũng có thể sử dụng các công thức sau để tính diện tích và chu vi hình vuông:
Diện tích: \(S = \frac{d^2}{2}\) (với d là đường chéo của hình vuông)
Chu vi: C = 2d (với d là đường chéo của hình vuông)
Lưu ý: Đơn vị đo của diện tích và chu vi hình vuông phải đồng nhất với đơn vị đo của độ dài cạnh hoặc đường chéo.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình vuông.
Cách giải:
Bước 1: Chứng minh tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Bước 2: Chứng minh tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Bước 3: Chứng minh tứ giác có hai góc kề bằng nhau và bằng \(90^\circ\).
Ví dụ:
Cho tứ giác ABCD có AB = BC = CD = DA và hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình vuông.
Giải:
Bước 1:
AB = BC (theo giả thiết)
BC = CD (theo giả thiết)
CD = DA (theo giả thiết)
DA = AB (theo giả thiết)
=> AB = BC = CD = DA.
Bước 2:
AC và BD vuông góc với nhau (theo giả thiết).
Bước 3:
Ta có:
∠ABC = ∠BAD (hai góc đối đỉnh)
∠BAD = \(90^\circ\) (AC vuông góc với BD)
=> ∠ABC = \(90^\circ\).
Tương tự, ta có:
∠BCD = ∠CDA = ∠DAB =\(90^\circ\).
Vậy, tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông, do đó ABCD là hình vuông.
Dạng 2: Tính độ dài cạnh, đường chéo, góc của hình vuông.
Cách giải:
Sử dụng các công thức tính hình vuông:
Diện tích: S = \(a^2\)
Chu vi: C = 4a
Đường chéo: d = \(a\sqrt{2}\)
Góc: ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = \(90^\circ\)
Lập phương trình và giải.
Ví dụ:
Cho hình vuông ABCD có diện tích là 36 \(cm^2\). Tính độ dài cạnh của hình vuông.
Giải:
Gọi độ dài cạnh của hình vuông là a.
Theo đề bài, ta có:
S = \(a^2\) = 36 \(cm^2\)
=> a = \(\sqrt{36}\)= 6 cm.
Vậy, độ dài cạnh của hình vuông là 6 cm.
Dạng 3: Tính diện tích và chu vi hình vuông.
Cách giải:
Sử dụng công thức tính diện tích và chu vi hình vuông:
Diện tích: S = \(a^2\)
Chu vi: C = 4a
Lập phương trình và giải.
Ví dụ:
Cho hình vuông ABCD có chu vi là 40 cm. Tính diện tích của hình vuông.
Giải:
Gọi độ dài cạnh của hình vuông là a.
Theo đề bài, ta có:
C = 4a = 40 cm
=> a = \(\frac{40}{4}\) = 10 cm.
Vậy, diện tích của hình vuông là:
S = \(a^2\) = \(10^2\) = 100 \(cm^2\).
Dạng 3: Tính diện tích hình vuông
Bài toán: Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = 5 cm. Tính diện tích hình vuông ABCD.
Giải:
Bước 1: Xác định độ dài cạnh của hình vuông:
Độ dài cạnh của hình vuông ABCD là AB = 5 cm.
Bước 2: Sử dụng công thức tính diện tích hình vuông:
S = \(a^2\) = \(5^2\) = 25 \(cm^2\) toán:
Diện tích hình vuông ABCD là:
S = \(5^2\) = 25\(cm^2\)
Ngoài những tính chất và ứng dụng đã được học trong chương trình Toán học lớp 8, hình vuông còn có những đặc điểm gì khác? Hãy cùng tìm hiểu thêm về hình vuông và chia sẻ những kiến thức thú vị về hình vuông này nhé!
