Độ dài đường tròn và cung tròn là một chủ đề quan trọng trong chương Hình học 9, có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Bài viết này sẽ trình bày khái niệm, công thức tính độ dài đường tròn và cung tròn, cũng như một số ví dụ minh họa.
Độ dài đường tròn
Định nghĩa
Đường tròn: là tập hợp tất cả các điểm cách tâm một khoảng bằng bán kính.
Độ dài đường tròn (chu vi đường tròn) là độ dài của đường gấp khúc khép kín tạo bởi cung tròn có số đo bằng \(360^\circ\).
Nói cách khác, độ dài đường tròn là chu vi của một hình tròn.
Cách tính độ dài đường tròn
Công thức: \(C = 2\pi R\)
Trong đó:
- C là độ dài đường tròn
- R là bán kính đường tròn
- \(\pi\) là số pi (\(\pi \approx 3.14\))
Ví dụ:
Cho đường tròn có bán kính R = 5cm. Tính độ dài đường tròn.
Giải:
\(C = 2\pi R = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31.4 \, \text{cm}\)Vậy độ dài đường tròn là 31,4cm.
Tính chất độ dài đường tròn
Tỉ lệ thuận:
Độ dài đường tròn tỉ lệ thuận với bán kính:
Khi bán kính tăng gấp n lần thì độ dài đường tròn cũng tăng gấp n lần.
Khi bán kính giảm n lần thì độ dài đường tròn cũng giảm n lần.
Công thức:
\(\frac{C_1}{C_2} = \frac{R_1}{R_2}\)Trong đó:
C1, C2 là độ dài của hai đường tròn
R1, R2 là bán kính của hai đường tròn
Tính chất cộng:
Độ dài đường tròn C của một đường tròn bằng tổng độ dài các cung tròn AB, BC, CD, DA tạo thành đường tròn đó.
Tính chất liên hệ giữa độ dài đường tròn và diện tích hình tròn:
Diện tích hình tròn (S) bằng tích của độ dài đường tròn (C) và bán kính (R) chia cho \(4\pi\).
\(S = \frac{C \cdot R}{4\pi}\)
Độ dài cung tròn
Định nghĩa
Cung tròn là phần của đường tròn giới hạn bởi hai điểm A và B trên đường tròn.
Có hai loại cung tròn:
- Cung nhỏ: là cung tròn có số đo nhỏ hơn \(180^\circ\).
- Cung lớn: là cung tròn có số đo lớn hơn \(180^\circ\).
Một số khái niệm liên quan:
- Số đo cung tròn: là số đo của góc AOB ở tâm O, với A và B là hai mút của cung.
- Độ dài cung tròn: là phần độ dài đường tròn tương ứng với số đo của cu
Công thức và cách tính
\(L = \frac{n}{360} \times C\)Trong đó:
L là độ dài cung tròn
n là số đo cung tròn
C là độ dài đường tròn
Ví dụ:
Cho cung tròn AB có số đo n = \(120^\circ\) và bán kính R = 5cm. Tính độ dài cung tròn AB.
Giải:
Tính độ dài đường tròn:
\(C = 2\pi R = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31.4 \, \text{cm}\)Tính độ dài cung tròn AB:
\(L = \frac{n}{360} \times C = \frac{120}{360} \times 10\pi = 3\pi \approx 9.42 \, \text{cm}\)Vậy độ dài cung tròn AB là 9,42 cm.
Tính chất
Tỉ lệ thuận:
Độ dài cung tròn tỉ lệ thuận với số đo của cung:
Khi số đo cung tăng gấp n lần thì độ dài cung tròn cũng tăng gấp n lần.
Khi số đo cung giảm n lần thì độ dài cung tròn cũng giảm n lần.
Công thức:
\(\frac{L_1}{L_2} = \frac{n_1}{n_2}\)Trong đó:
L1, L2 là độ dài của hai cung tròn
n1, n2 là số đo của hai cung tròn
Ví dụ:
Hai cung tròn có số đo n1 = \(120^\circ\) và n2 = \(240^\circ\). Tỉ số độ dài của hai cung tròn là bao nhiêu?
Giải:
\(\frac{L_1}{L_2} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{120}{240} = \frac{1}{2}\)Vậy tỉ số độ dài của hai cung tròn là \(\frac{1}{2}\).
Tính chất cộng:
Độ dài cung AB bằng tổng độ dài hai cung AC và CB.
Tính chất liên hệ giữa độ dài cung tròn và diện tích hình quạt:
Diện tích hình quạt (S) bằng tích của độ dài cung tròn (L) và bán kính (R) chia cho 2.
\(S = \frac{L \cdot R}{2}\)Ví dụ:
Tính chu vi bánh xe có bán kính R = 30cm và số đo cung tròn là \(360^\circ\).
Giải:
Tính độ dài cung tròn:
\(L = \frac{n}{360} \times C = \frac{360}{360} \times 2\pi R = 2\pi R\)Tính chu vi bánh xe:
C = L = 2πR = 2π.30 = 60π ≈ 188,4 (cm)
Tính độ dài cung đường có số đo n = 120° và bán kính R = 5cm.
Giải:
Tính độ dài đường tròn:
\(C = 2\pi R = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31.4 \, \text{cm}\)Tính độ dài cung đường:
\(L = \left(\frac{n}{360}\right) \times C = \left(\frac{120}{360}\right) \times 10\pi = 3\pi \approx 9.42 \, \text{cm}\)Tóm lại, độ dài đường tròn và cung tròn là những khái niệm quan trọng trong toán học với nhiều ứng dụng thực tế. Hiểu rõ về các khái niệm này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến hình học một cách hiệu quả và ứng dụng chúng vào thực tế một cách chính xác.
