Phương trình bậc hai một ẩn là một khái niệm quen thuộc và quan trọng trong toán học. Với dạng chung \(ax^2 + bx + c\), phương trình này là một trong những công cụ cơ bản nhưng mạnh mẽ nhất trong giải quyết các vấn đề toán học và thực tiễn. Hãy cùng khám phá cách giải phương trình bậc hai và sức ảnh hưởng của nó trong toán học và các lĩnh vực liên quan.
Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:
\(ax^2 + bx + c\)
Trong đó:
- a, b, c là các hệ số của phương trình;
- x là ẩn số;
- a ≠ 0.
Ví dụ:
- \(x^2 + 2x + 1 = 0\) là phương trình bậc hai một ẩn.
- \(3x^2 – 2x + 5 = 0\) là phương trình bậc hai một ẩn.
- 2x + 3 = 0 không phải là phương trình bậc hai một ẩn vì nó không có \(x^2\).
Phân loại phương trình bậc hai một ẩn:
- Phương trình đầy đủ: là phương trình có cả ba hệ số a, b, c khác 0.
- Phương trình khuyết: là phương trình có một hoặc hai hệ số bằng 0.
Ví dụ:
- \(x^2 + 2x + 1 = 0\) là phương trình bậc hai một ẩn đầy đủ.
- \(2x^2 – 5 = 0\) là phương trình bậc hai một ẩn khuyết (c = 0).
- 3x + 2 = 0 không phải là phương trình bậc hai một ẩn vì nó không có \(x^2\).
Công thức nghiệm
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng:
\(ax^2 + bx + c\) = 0 (a ≠ 0)
Công thức nghiệm của phương trình này là:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)Giải thích:
x1, x2 là hai nghiệm của phương trình.
a, b, c là các hệ số của phương trình.
√ là ký hiệu căn bậc hai.
± là dấu cộng hoặc trừ.
Ví dụ:
Giải phương trình:
\(x^2 + 2x + 1 = 0\)
So sánh với dạng tổng quát:
a = 1
b = 2
c = 1
Áp dụng công thức nghiệm:
\(x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\).
\(x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2}\).
\(x_{1,2} = -1\)Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1.
Phân loại nghiệm:
- Phương trình có hai nghiệm phân biệt: Khi Δ = \(b^2 – 4ac > 0\).
- Phương trình có nghiệm kép: Khi Δ = \(b^2 – 4ac = 0\).
- Phương trình vô nghiệm: Khi Δ = \(b^2 – 4ac < 0\).
Ví dụ:
\(x^2 – 2x – 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt vì Δ = \((-2)^2 – 4 * 1 * (-3) = 16 > 0\).
\(x^2 – 4x + 4 = 0\) có nghiệm kép vì Δ = \((-4)^2 – 4 * 1 * 4 = 0\).
\(x^2 + 2x + 1 = 0\) vô nghiệm vì Δ = \(2^2 – 4 * 1 * 1 = 0\).
Phân loại nghiệm
Dựa vào biệt thức Δ = \(b^2 – 4ac\), ta có thể phân loại nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn \(ax^2 +bx + c\) (a ≠ 0) như sau:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Khi Δ = \(b^2 – 4ac\) > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 được tính bằng công thức:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)Phương trình có nghiệm kép:
Khi Δ = \(b^2 – 4ac\) = 0, phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = \(\frac{-b}{2a}\).
Phương trình vô nghiệm:
Khi Δ = \(b^2 – 4ac\) < 0, phương trình vô nghiệm.
Ví dụ:
Phương trình \(x^2 – 2x – 3\) = 0:
Δ = \((-2)^2 – 4 * 1 * (-3) = 16 > 0\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = 3\) \(x_2 = \frac{-2 – \sqrt{16}}{2} = -1\)Phương trình \(x^2 – 4x + 4\) = 0:
Δ = \((-4)^2 – 4 * 1 * 4 = 0\)
Phương trình có nghiệm kép:
x1 = x2 = \(\frac{-b}{2a} =\frac{4}{2}\) = 2
Phương trình \(x^2 + 2x + 1\) = 0:
Δ = \(2^2 – 4 * 1 * 1\) = 0
Phương trình vô nghiệm.
Lưu ý:
- Biệt thức Δ giúp ta phân loại nghiệm của phương trình một cách nhanh chóng và chính xác.
- Khi áp dụng công thức nghiệm, cần chú ý đến dấu của √.
- Cần kiểm tra lại nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện của bài toán hay không
Biệt thức
Biệt thức của phương trình bậc hai một ẩn
Biệt thức của phương trình bậc hai một ẩn \(ax^2 + bx + c\) = 0 (a ≠ 0) là số được ký hiệu bởi Δ và được tính bằng công thức:
Δ = \(b^2 – 4ac\)
Vai trò của biệt thức:
Biệt thức giúp ta phân loại nghiệm của phương trình một cách nhanh chóng và chính xác.
Dựa vào giá trị của biệt thức, ta có thể biết được phương trình có hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép hay vô nghiệm.
Mối liên hệ giữa biệt thức và nghiệm của phương trình:
- Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép.
- Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.
Ví dụ:
Phương trình \(x^2 – 2x – 3\) = 0:
Δ = \((-2)^2 – 4 * 1 * (-3) = 16\) > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = 3\) \(x_2 = \frac{-2 – \sqrt{16}}{2} = -1\)Phương trình \(x^2 – 4x + 4 = 0\):
Δ = \((-4)^2 – 4 * 1 * 4\) = 0
Phương trình có nghiệm kép:
x1 = x2 = \(\frac{-b}{2a} =\frac{4}{2}\) = 2
Phương trình \(x^2 + 2x + 1 = 0\):
Δ = \(2^2 – 4 * 1 * 1\) = 0
Phương trình vô nghiệm.
Hệ thức Vi- ét
Hệ thức Vi-ét là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:
\(ax^2 + bx + c\) = 0 (a ≠ 0)
Hệ thức Vi-ét bao gồm hai công thức:
Tổng hai nghiệm:
x1 + x2 = \(\frac{-b}{a}\)
Tích hai nghiệm:
x1 * x2 = \(\frac{c}{a}\)
Giải thích:
x1, x2 là hai nghiệm của phương trình.
a, b, c là các hệ số của phương trình.
Ví dụ:
Giải phương trình:
\(x^2 – 2x -3\) = 0
So sánh với dạng tổng quát:
a = 1
b = -2
c = -3
Áp dụng hệ thức Vi-ét:
Tổng hai nghiệm:
x1 + x2 = \(\frac{-(2)}{1}\) = 2
Tích hai nghiệm:
x1 * x2 = \(\frac{-3}{1}\) = -3
Đồ thị của phương trình bậc hai
Đồ thị của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c\) = 0 (a ≠ 0) là một đường cong parabol.
Cách vẽ đồ thị:
Bước 1: Xác định toạ độ đỉnh parabol.
Toạ độ đỉnh parabol là:
(x0; y0) = \(\frac{-b}{2a}\);\(\frac{-Δ}{4a}\)
Trong đó:
Δ = \(b^2 – 4ac\)
Bước 2: Vẽ trục đối xứng của parabol.
Trục đối xứng của parabol là đường thẳng đi qua đỉnh parabol và có phương trình:
x = x0
Bước 3: Xác định giao điểm của parabol với trục hoành và trục tung.
Giao điểm của parabol với trục hoành là các điểm có tung độ bằng 0.
Giao điểm của parabol với trục tung là điểm có hoành độ bằng 0.
Bước 4: Vẽ parabol qua các điểm đã xác định.
Các dạng bài liên quan đến hệ phương trình bậc hai
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình:
Cách 1: Phương pháp thay thế
Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\(x^2\) = -2x + 3
Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
\(y^2 – 4(-2x + 3) + 4\) = 0
Giải phương trình này, ta tìm được:
x = 1 hoặc x = -3
Thay từng giá trị của x vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm y.
Cách 2: Phương pháp cộng đại số
Nhân phương trình thứ nhất với 4, ta được:
\(4x^2 + 8x – 12\) = 0
Cộng phương trình này với phương trình thứ hai, ta được:
\(5x^2 + 4x\) = 0
Giải phương trình này, ta tìm được:
x = 0 hoặc x = \(\frac{-4}{5}\)
Thay từng giá trị của x vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm y.
Kết quả:
x = 1 và y = 2
x = -3 và y = -2
Tóm lại, lý thuyết về phương trình bậc hai một ẩn không chỉ giới hạn trong việc giải các bài toán toán học mà còn lan rộng ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ khoa học tự nhiên đến công nghệ và kỹ thuật. Sự am hiểu về lý thuyết này không chỉ cung cấp công cụ giải quyết vấn đề mạnh mẽ mà còn góp phần nâng cao tư duy phản biện và sáng tạo, mở đường cho những phát kiến mới trong tương lai.
