Số trung vị là một đại lượng thống kê quan trọng được sử dụng để đo vị trí trung tâm của một tập dữ liệu. Lớp 10 là thời điểm học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm số trung vị. Các bài học về số trung vị sẽ giúp học sinh hiểu được cách tính toán và sử dụng số trung vị trong các tình huống thực tế.
Định nghĩa số trung vị
Số trung vị của một dãy số liệu là giá trị nằm chính giữa dãy khi dãy số được sắp xếp theo thứ tự không giảm (hoặc không tăng).
Cách hiểu đơn giản:
- Số trung vị là giá trị “chia đôi” dãy số liệu thành hai phần bằng nhau.
- Nửa dãy số liệu có giá trị lớn hơn số trung vị, nửa còn lại có giá trị nhỏ hơn.
Ví dụ:
Dãy số liệu: 1, 2, 3, 4, 5
– Số trung vị: 3
– Hai phần:
- Phần lớn hơn: 4, 5
- Phần nhỏ hơn: 1, 2
Dãy số liệu: 1, 2, 3, 4, 5, 6
– Số trung vị: (3 + 4)/2 = 3.5
– Hai phần:
- Phần lớn hơn: 4, 5, 6
- Phần nhỏ hơn: 1, 2, 3
Phân biệt số trung vị và số trung bình cộng
| Đặc điểm | Số trung vị | Số trung bình cộng |
| Định nghĩa | Giá trị nằm chính giữa dãy khi dãy số được sắp xếp theo thứ tự | Trung bình cộng của tất cả các giá trị trong dãy |
| Cách tính | Sắp xếp dãy số và xác định vị trí trung tâm | Cộng tất cả các giá trị và chia cho số lượng giá trị |
| Ứng dụng | So sánh các dãy số liệu, không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ | Tính toán và phân tích dữ liệu |
Cách tính số trung vị
Bước 1: Sắp xếp các giá trị trong dãy số liệu theo thứ tự không giảm (hoặc không tăng).
Bước 2: Xác định vị trí của số trung vị:
- Nếu số lượng giá trị trong dãy là lẻ: Số trung vị là giá trị đứng ở vị trí chính giữa dãy.
- Nếu số lượng giá trị trong dãy là chẵn: Số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng ở vị trí chính giữa dãy.
Ví dụ:
Dãy số liệu: 1, 2, 3, 4, 5
Bước 1: Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm: 1, 2, 3, 4, 5
Bước 2: Xác định vị trí số trung vị:
Số lượng giá trị là lẻ (n = 5): Số trung vị là giá trị đứng ở vị trí thứ 3 (3).
Dãy số liệu: 1, 2, 3, 4
Bước 1: Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm: 1, 2, 3, 4
Bước 2: Xác định vị trí số trung vị:
Số lượng giá trị là chẵn (n = 4): Số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng ở vị trí thứ 2 và thứ 3 (2.5).
Công thức tính số trung vị
Nếu số lượng giá trị trong dãy là lẻ:
Số trung vị = (n + 1)/2
Nếu số lượng giá trị trong dãy là chẵn:
Số trung vị = (n/2) + 1
Trong đó:
n là số lượng giá trị trong dãy số liệu.
Lưu ý:
- Khi tính số trung vị, cần sắp xếp các giá trị trong dãy số liệu theo thứ tự không giảm (hoặc không tăng).
- Số trung vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ.
Ví dụ:
Dãy số liệu: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Số lượng giá trị là chẵn (n = 6):
Số trung vị: (6/2) + 1 = 4
Dãy số liệu: 1, 2, 3, 4, 5, 100
Số lượng giá trị là chẵn (n = 6):
Số trung vị: (6/2) + 1 = 4
Mẹo tính số trung vị
- Sử dụng bảng thống kê tần số:
- Sắp xếp các giá trị theo thứ tự không giảm.
- Tính tần số của mỗi giá trị.
- Xác định vị trí của giá trị có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng n/2.
- Giá trị đứng ở vị trí đó là số trung vị.
- Sử dụng phần mềm thống kê:
- Nhập dữ liệu vào phần mềm.
- Sử dụng chức năng tính số trung vị.
Bài tập tham khảo số trung vị có lời giải chi tiết
Bài 1:
Cho dãy số liệu: 1, 2, 3, 4, 5. Hãy tính số trung vị của dãy số liệu.
Lời giải:
- Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm: 1, 2, 3, 4, 5.
- Dãy số liệu có số lượng giá trị lẻ (n = 5).
- Số trung vị là giá trị đứng ở vị trí thứ 3 (3).
Vậy số trung vị của dãy số liệu là 3.
Bài 2:
Cho dãy số liệu: 1, 2, 3, 4, 6. Hãy tính số trung vị của dãy số liệu.
Lời giải:
- Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm: 1, 2, 3, 4, 6.
- Dãy số liệu có số lượng giá trị chẵn (n = 5).
- Số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng ở vị trí thứ 2 và thứ 3 (2.5).
Vậy số trung vị của dãy số liệu là 2.5.
Bài 3:
Một lớp học có 30 học sinh với điểm kiểm tra môn Toán như sau:
| Điểm | Tần số |
| 4 | 2 |
| 5 | 5 |
| 6 | 8 |
| 7 | 10 |
| 8 | 5 |
Hãy tính số trung vị của điểm kiểm tra môn Toán của học sinh trong lớp.
Lời giải:
- Tính trung bình cộng của các điểm: (42 + 55 + 68 + 710 + 8*5)/30 = 6.33.
- Sắp xếp các điểm theo thứ tự không giảm: 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8.
- Dãy số liệu có số lượng giá trị chẵn (n = 30).
- Số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng ở vị trí thứ 15 và thứ 16 (6.5).
Vậy số trung vị của điểm kiểm tra môn Toán của học sinh trong lớp là 6.5.
Bài 4:
Một nhóm bạn đi du lịch, chi phí cho mỗi người như sau:
| Chi phí | Số người |
| 500.000 VNĐ | 2 |
| 600.000 VNĐ | 3 |
| 700.000 VNĐ | 5 |
Hãy tính số trung vị của chi phí du lịch cho mỗi người.
Lời giải:
- Tính trung bình cộng của các chi phí: (5002 + 6003 + 700*5)/10 = 620.000 VNĐ.
- Sắp xếp các chi phí theo thứ tự không giảm: 500.000, 500.000, 600.000, 600.000, 600.000, 700.000, 700.000, 700.000, 700.000, 700.000.
- Dãy số liệu có số lượng giá trị chẵn (n = 10).
- Số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng ở vị trí thứ 5 và thứ 6 (600.000 VNĐ).
Vậy số trung vị của chi phí du lịch cho mỗi người là 600.000 VNĐ.
Bài 5:
Một công ty khảo sát mức lương của 50 nhân viên. Kết quả thu được như sau:
| Mức lương (triệu VNĐ) | Tần số |
| 5 | 10 |
| 6 | 15 |
| 7 | 20 |
| 8 | 5 |
Hãy tính số trung vị của mức lương của nhân viên công ty.
Lời giải:
- Tính trung bình cộng của các mức lương: (510 + 615 + 720 + 85)/50 = 6.6 triệu VNĐ.
- Sắp xếp các mức lương theo thứ tự không giảm: 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8.
- Dãy số liệu có số lượng giá trị chẵn (n = 50).
- Số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng ở vị trí thứ 25 và thứ 26 (6.5 triệu VNĐ).
Vậy số trung vị của mức lương của nhân viên công ty là 6.5 triệu VNĐ.
Bài 6:
Một cửa hàng bán áo với giá như sau:
| Giá (VNĐ) | Số áo |
| 100.000 | 5 |
| 150.000 | 10 |
| 200.000 | 15 |
Hãy tính số trung vị của giá bán áo.
Lời giải:
- Tính trung bình cộng của các giá bán: (1005 + 15010 + 200*15)/30 = 166.667 VNĐ.
- Sắp xếp các giá bán theo thứ tự không giảm: 100.000, 100.000, 100.000, 100.000, 100.000, 150.000, 150.000, 150.000, 150.000, 150.000, 150.000, 150.000, 150.000, 150.000, 200.000, 200.000, 200.000, 200.000, 200
Bài 7:
Một lớp học có 40 học sinh với điểm thi môn Văn như sau:
| Điểm | Tần số |
| 5 | 2 |
| 6 | 5 |
| 7 | 10 |
| 8 | 15 |
| 9 | 8 |
Hãy tính số trung vị của điểm thi môn Văn của học sinh trong lớp.
Lời giải:
- Tính trung bình cộng của các điểm: (52 + 65 + 710 + 815 + 9*8)/40 = 7.85.
- Sắp xếp các điểm theo thứ tự không giảm: 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9.
- Dãy số liệu có số lượng giá trị chẵn (n = 40).
- Số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng ở vị trí thứ 20 và thứ 21 (8).
Vậy số trung vị của điểm thi môn Văn của học sinh trong lớp là 8.
Bài 8:
Một quán cà phê có các loại thức uống với giá như sau:
| Loại thức uống | Giá (VNĐ) | Số lượng |
| Cà phê | 20.000 | 10 |
| Trà sữa | 30.000 | 15 |
| Nước ép trái cây | 40.000 | 20 |
Hãy tính số trung vị của giá bán các loại thức uống.
Lời giải:
- Tính trung bình cộng của các giá bán: (2010 + 3015 + 40*20)/45 = 32.222 VNĐ.
- Sắp xếp các giá bán theo thứ tự không giảm: 20.000, 20.000, 20.000, 20.000, 20.000, 20.000, 20.000, 20.000, 20.000, 20.000, 30.000, 30.000, 30.000, 30.000, 30.000, 30.000, 30.000, 30.000, 30.000, 30.000, 30.000, 40.000, 40.000, 40.000, 40.000, 40.000, 40.000, 40.000, 40.000, 40.000, 40.000, 40.000, 40.000, 40.000, 40.000, 40.000, 40.000, 40.000.
- Dãy số liệu có số lượng giá trị chẵn (n = 45).
- Số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng ở vị trí thứ 22 và thứ 23 (30.000 VNĐ).
Vậy số trung vị của giá bán các loại thức uống là 30.000 VNĐ.
Bài tập tự giải bài số trung vị lớp 10
- Một lớp học có 35 học sinh với điểm kiểm tra môn Toán như sau:
| Điểm | Tần số |
| 4 | 2 |
| 5 | 5 |
| 6 | 10 |
| 7 | 12 |
| 8 | 6 |
Hãy tính số trung vị của điểm kiểm tra môn Toán của học sinh trong lớp.
- Một nhóm bạn đi du lịch, chi phí cho mỗi người như sau:
| Chi phí | Số người |
| 500.000 VNĐ | 1 |
| 600.000 VNĐ | 3 |
| 700.000 VNĐ | 4 |
Hãy tính số trung vị của chi phí du lịch cho mỗi người.
- Một công ty khảo sát mức lương của 50 nhân viên. Kết quả thu được như sau:
| Mức lương (triệu VNĐ) | Tần số |
| 5 | 10 |
| 6 | 15 |
| 7 | 20 |
| 8 | 5 |
Hãy tính số trung vị của mức lương của nhân viên công ty.
- Một cửa hàng bán áo với giá như sau:
| Giá (VNĐ) | Số áo |
| 100.000 | 5 |
| 150.000 | 10 |
| 200.000 | 15 |
Hãy tính số trung vị của giá bán áo.
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Sắp xếp các giá trị trong dãy số liệu theo thứ tự không giảm (hoặc không tăng).
Bước 2: Xác định vị trí của số trung vị:
- Nếu số lượng giá trị trong dãy là lẻ: Số trung vị là giá trị đứng ở vị trí chính giữa dãy.
- Nếu số lượng giá trị trong dãy là chẵn: Số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng ở vị trí chính giữa dãy.
Bước 3: Tính toán số trung vị dựa vào vị trí đã xác định.
Lưu ý:
- Khi tính số trung vị, cần sắp xếp các giá trị trong dãy số liệu theo thứ tự không giảm (hoặc không tăng).
- Số trung vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ.
Tóm lại, số trung vị là một công cụ hữu ích để phân tích dữ liệu. Nó có thể được sử dụng để so sánh các tập dữ liệu khác nhau, xác định giá trị “trung bình” và đánh giá mức độ phân tán của dữ liệu.
