Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 là một sự kiện quan trọng đánh dấu bước ngoặt trong cuộc đời mỗi học sinh. Bài viết này sẽ trình bày hướng dẫn giải chi tiết đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán Hưng Yên, giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức, đồng thời rút ra kinh nghiệm cho kỳ thi sắp tới của mình.
Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán Hưng Yên
Lời giải chi tiết
Câu 1
Diện tích xung quanh của hình nón được tính theo công thức:
Sxq = πrl
Đáp án: C. πrl
Câu 2
Cộng hai phương trình, ta được:
0x+0y=0
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm
Chọn đáp án C
Câu 3
Điều kiện xác định: \( x+10\geqslant 0\)
\(\Rightarrow x\geqslant -10\)
Chọn đáp án A
Câu 4
Chọn đáp án A
Câu 5
\(\sqrt{x}=2\)
Bình phương hai vế của phương trình, ta có:
\((\sqrt{x})^2 = 2^2\)
\(x = 4\)
Câu 6
Diện tích mặt cầu
\(S = 4\pi r^2\)
Thay r=2 cm vào, ta được:
\(S = 4\pi(2)^2 = 4\pi(4) = 16\pi\)
Chọn đáp án C
Câu 7
Chọn đáp án B
Câu 8
Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông:
Trong tam giác vuông ABC vuông tại B, ta có:
- Sin A = BC/AC
- Cos A = AB/AC
- Tan A = AB/BC
Dựa vào các định nghĩa trên, ta có:
- AB/AC = tan A
- BC/AC = sin A
- AB/BC = tan A
So sánh các đáp án
- A. AB = AC.tan A: Đúng, vì tan A = AB/AC.
- B. AB = BC.tan A: Sai, vì tan A = AB/BC, không phải AB = BC.tan A.
- C. BC = AC.tan A: Sai, vì tan A = AB/BC, không phải BC = AC.tan A.
- D. BC = AB.tan A: Sai, vì tan A = AB/BC, không phải BC = AB.tan A.
Vậy, đáp án đúng là A. AB = AC.tan A.
Câu 9
Vẽ đường tròn (O, 4cm) và đường thẳng a không giao nhau.
Kẻ OH vuông góc với đường thẳng a (H là điểm trên a).
O là tâm đường tròn nên OH là bán kính của đường tròn.
Do đó, OH = 4cm.
Ta có: OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng a.
Vậy h = OH = 4cm.
Kết luận:
Đáp án D
Câu 10
Từ phương trình thứ hai, ta có:
y = 9 – 4x
Thế y vào phương trình thứ nhất, ta được:
7x – 3(9 – 4x) – 11 = 0
Giải phương trình này, ta tìm được:
x = 2
Thay x = 2 vào phương trình thứ hai, ta được:
4(2) + y = 9
Giải phương trình này, ta tìm được:
y = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) = (2, 1).
Tổng x+ y = 2+1 = 3
Chọn đáp án C
Câu 11
Dựa vào định lý sin, ta có:
\(\frac{sin~A}{a}=\frac{sin~B}{b}=\frac{sin~C}{c}\)
Dựa vào định lý cos, ta có:
\(\cos~A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(\cos~B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)
\(\cos~C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
Câu 12
Chọn đáp án D
Câu 13
Thay từng cặp số vào phương trình x-5y = -7, ta có:
- (0;1): 0 – 5.1 = -5 ≠ -7 (loại)
- (3;2): 3 – 5.2 = -7 (thỏa mãn)
- (2;4): 2 – 5.4 = -18 ≠ -7 (loại)
- (-1;2): -1 – 5.2 = -11 ≠ -7 (loại)
Vậy, cặp số thỏa mãn phương trình x-5y = -7 là (3;2).
Đáp án: B. (3;2)
Câu 14
Kẻ OH vuông góc với AB tại H, OK vuông góc với CD tại K.
Ta có:
- OH = OK (theo giả thiết)
- OH là đường kính của đường tròn (O)
Suy ra:
- AB // CD (tính chất hai đường thẳng song song cách đều một đường thẳng thứ ba)
- AB = CD (tính chất hai dây cách đều tâm)
Vậy kết luận đúng là B. AB = CD.
Chọn đáp án B
Câu 15
Chọn đáp án B
Câu 16
Chọn đáp án C
Câu 17
Để hàm số đồng biến khi \(x>0\), nghĩa là với hai giá trị bất kỳ \(x_1, x_2\) sao cho \(0<x_1<x_2\), ta có \(f(x_1)<f(x_2)\).
A. Xét \(f(x_1)=-3x_1^2\) và \(f(x_2)=-3x_2^2\). Ta có:
Khi \(0<x_1<x_2\), ta có \(x_2^2>x_1^2\).
Do đó, \(-3x_2^2<-3x_1^2\).
Vậy, hàm số \(y=-3x^2\) nghịch biến khi \(x>0\).
B. Xét \(f(x_1)=2x_1^2\) và \(f(x_2)=2x_2^2\). Ta có:
Khi \(0<x_1<x_2\), ta có \(x_2^2>x_1^2\).
Do đó, \(2x_2^2>2x_1^2\).
Vậy, hàm số \(y=2x^2\) đồng biến khi \(x>0\).
C. Xét \(f(x_1)=-x_1+3\) và \(f(x_2)=-x_2+3\). Ta có:
Khi \(0<x_1<x_2\), ta có \(-x_2<-x_1\).
Do đó, \(-x_2+3<-x_1+3\).
Vậy, hàm số \(y=-x+3\) nghịch biến khi \(x>0\).
D. Xét \(f(x_1)=-x_1^2\) và \(f(x_2)=-x_2^2\). Ta có:
Khi \(0<x_1<x_2\), ta có \(x_2^2>x_1^2\).
Do đó, \(-x_2^2<-x_1^2\).
Vậy, hàm số \(y=-x^2\) nghịch biến khi \(x>0\).
Kết luận:
Hàm số đồng biến khi \(x>0\) là B. \(y=2x^2\).
Câu 18
Chọn đáp án B
Câu 19
Chọn đáp án C
Câu 20
Hàm số
y = ax+b (a=0) nghịch biến trên R khi và chỉ khi a<0.
Do đó, đáp án đúng là D. a<0.
Câu 21
Để tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
y=2x−1 và y=x+2, ta giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
2x – 1 = x + 2 \\
y = x + 2
\end{cases}
\]
Giải hệ này, ta được
x=3 và y=5.
Vậy tọa độ giao điểm là (3;5)
Câu 22
Gọi hai số cần tìm là x và y. Theo đề bài, ta có:
\[
\begin{cases}
x + y = 6 \\
xy = -5
\end{cases}
\]
Từ hệ phương trình này, ta có:
\begin{align*}
x^2 + 2xy + y^2 &= (x + y)^2 \\
&= 6^2 \\
&= 36.
\end{align*}
Suy ra \((x + y)^2 – 4xy = 36\). Thay \(x + y = 6\) và \(xy = -5\) vào, ta được:
\[6^2 – 4(-5) = 36 + 20 = 56.\]
Vậy \(x^2 + 2xy + y^2 = 56\).
Do đó, phương trình bậc hai có hai nghiệm \(x\) và \(y\) là:
\[x^2 + 2xy + y^2 – 56 = 0.\]
Suy ra phương trình cần tìm là \(A.x^2 – 5x – 6 = 0\).
Câu 23
Vẽ hình:
Vẽ đường tròn (O;13cm)
Vẽ dây cung AB
Vẽ OH vuông góc với AB (H là trung điểm của AB)
Giải:
O là tâm đường tròn (O) nên OH là bán kính của đường tròn.
OH = 13cm (bán kính)
OH vuông góc với AB (gt) => H là trung điểm của AB (tính chất đường kính vuông góc với dây cung)
Theo định lý Pytago trong tam giác vuông OHA, ta có:
\(OA^2 = OH^2 + HA^2\)
\(13^2 = 5^2 + HA^2\)
\(169 = 25 + HA^2\)
\(HA^2 = 144\)
\(HA = 12cm (vì HA > 0)\)
Độ dài dây cung AB là: AB = 2 * HA = 2 * 12 = 24cm
Vậy độ dài dây cung AB là 24cm.
Chọn đáp án C
Câu 24
Chọn đáp án B
Câu 25
Độ dài cung AB:
Chu vi đường tròn: \( C = 2\pi R = 2\pi \cdot 6 = 12\pi \) cm.
Độ dài cung AB là \( \frac{2\pi}{12} \cdot 360^\circ = 60^\circ \).
Đáp án: A. \( 60^\circ \).
Câu 26
Số tiếp tuyến chung:
Hai đường tròn chỉ có thể có 1 tiếp tuyến chung nếu và chỉ nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
Khoảng cách giữa hai tâm OO′=11cm = R+R′ =6+5=11cm.
Vậy hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
Đáp án: C. 2.
Câu 27
Góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox:
Hệ số góc của đường thẳng \( y = \sqrt{3}x + 2023 \) là \( \sqrt{3} \).
Góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox có \( \tan = \sqrt{3} \), ta có:
\( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \).
Vậy góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox là \( 60^\circ \).
Đáp án: D. \( 60^\circ \).
Câu 28
Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác vuông ABC, ta có:
\(AB^2 = BC^2 – AC^2\)
\(AB^2 = 8^2 – HC^2 \quad (\text{vì } AC^2 = HC^2 + AH^2 \text{ theo định lý Pythagoras})\)
\(AB^2 = 64 – HB^2 – AH^2 \quad (\text{vì } HC = BC – HB)\)
Thay \( HB = 2 cm và AH = \frac{BC \cdot HB}{AB} \) (theo hệ thức lượng trong tam giác vuông) vào \(AB^2\) ta được:
\(AB^2 = 64 – 2^2 – \left( \frac{BC}{AB} \cdot 2 \right)^2\)
\(AB^2 = 64 – 4 – \frac{4 \cdot BC^2}{AB^2}\)
\(AB^4 – 60AB^2 + 256 = 0\)
Giải phương trình bậc hai này, ta được:
\(AB^2 = 30 \pm 2\sqrt{3}\)
Vì AB là độ dài cạnh nên \( AB^2 > 0 \), ta chọn \(AB^2 = 30 + 2\sqrt{3} .\)
Suy ra \( AB = 4\sqrt{3} cm\).
Câu 29
Xét tam giác AHB vuông tại H, có:
\[ AB^2 = AH^2 + HB^2 = 4^2 + 2^2 = 20 \]
Xét tam giác AHC vuông tại H, có:
\[ AC^2 = AH^2 + HC^2 = 4^2 + 8^2 = 80 \]
Ta có: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 = 20 + 80 = 100 \)
Suy ra: \(BC = \sqrt{100}\) =10cm
Vậy độ dài BC bằng 10cm.
Đáp án B.
Câu 30
Theo định lý Vi-ét, ta có:
\(x_1+x_2=−b=−6\)
\(x_1x_2=c=−1\)
Vậy \(x_1x_2=−1.\)
Chọn đáp án A
Câu 31
Xét tam giác vuông \(AOB\) với \(OA\) là bán kính và \(AB\) là tiếp tuyến, ta có:
\(OA = OB = 4 \text{ cm}\) (bán kính)
\(\angle AOB = 90^\circ\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Áp dụng định lý Pytago, ta có:
\(AB^2 = OA^2 + OB^2 = 4^2 + 4^2 = 32\)
\(AB = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ cm}\)
Vậy \(AB = 4\sqrt{2} \text{ cm}.\)
Câu 32
Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;5) nên khi x=2 thì y=5. Thay vào hàm số ta có:
5=−2⋅2+m+3
⇒m=6
Vậy, giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đi qua điểm
A(2;5) là m=6.
Câu 33
Chọn đáp án D
Câu 34
Chọn đáp án C
Câu 35
Vì phương trình có nghiệm bằng 2 nên ta có thể viết lại phương trình như sau:
(x – 2)(x – 2) = 0
\(\Leftrightarrow x^2 – 4x + 4 = 0\)
So sánh phương trình này với phương trình đã cho, ta thấy:
\(4m + 8 = 4\)
\(\Leftrightarrow 4m = -4\)
\(\Leftrightarrow m = -1\)
Vậy \(m = -1.\)
Câu 36
Gọi các điểm tiếp xúc của xA với (O) là D và E.
Ta có:
CM // xy => \(\angle ACM = \angle ACB\) (góc so le trong)
\(ACB = AEC\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
=> \(\angle ACM = \angle AEC\)
Xét tứ giác AECM, ta có:
\(ACM = AEC\) (cmt)
\(CAE = CEM\) (góc đối đỉnh)
=> Tứ giác AECM là tứ giác nội tiếp
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác AECM.
Ta có:
AI là phân giác của \(CAE\) (tính chất tứ giác nội tiếp)
\(CAI = CEM/2\) (góc nội tiếp cùng chắn cung CE)
\(CEM = ACM\) (cmt)
=> \(CAI = ACM/2\)
Xét tam giác AIC và tam giác ACM, ta có:
\(AIC = ACM/2\) (cmt)
AC chung
\(CAI = ACM\) (cmt)
=> \(\Delta AIC \sim \Delta ACM\) (g.g)
=> \(AI/AC = AM/AC\) => \(AI = AM/2\)
Ta có:
AI là bán kính đường tròn nội tiếp tứ giác AECM
AM = 2AI => AM = 2R (R là bán kính đường tròn nội tiếp tứ giác AECM)
Ta lại có:
\(AC = 3 \) và \(AM = 2R\) => \(R = 3/2\)
Ta có:
\(AM \cdot AB = 2R \cdot AB = 2(3/2)AB = 3AB\)
Vậy, khẳng định đúng là \(C. AM \cdot AB = 9\).
Đáp án: C.
Câu 37
Gọi vận tốc ca-nô và vận tốc dòng nước lần lượt là \( x \) và \( y \) km/h.
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{108}{x + y} + \frac{63}{x – y} = 7 \\
\frac{108}{81} + \frac{63}{84} = 7 \\
\frac{108}{a} + \frac{63}{b} = 7
\end{array}
\right.
\]
Bước 1: Cộng hai phương trình trong hệ phương trình, ta được:
\[
\frac{189}{x + y} + \frac{147}{x – y} = 14
\]
Bước 2: Chia hai phương trình trong hệ phương trình, ta được:
\[
\frac{108}{x + y} + \frac{63}{x – y} – \frac{7}{x – y} = \frac{7}{x + y}
\]
Bước 3: Giải hệ phương trình với \( x \) và \( y \).
Kết quả:
Giải hệ phương trình, ta được \( x = 24 \) và \( y = 3 \).
Vậy vận tốc dòng nước là \( 3 \) km/h.
Câu 38
Gọi \( h \) là chiều cao của cột đèn, \( b \) là độ dài bóng của cột đèn.
Ta có:
\( h \) vuông góc với \( b \)
Góc giữa \( h \) và \( a \) là \( 43^\circ \)
Áp dụng tí số lượng giác vào tam giác vuông \( ABC \), ta có:
\[
\tan 43^\circ = \frac{h}{b} = \frac{8,5}{b}
\]
\[
h = b \cdot \tan 43^\circ = 8,5 \cdot \tan 43^\circ
\]
\[
h \approx 9,12 \text{ m}
\]
Vậy, chiều cao của cột đèn là \( 9,12 \) m (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Chọn đáp án A.
Câu 39
Bước 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Sử dụng phương pháp hẻ số bất định, ta phân tích đa thức thành nhân tử:
\(x^3 – (2m + 1)x^2 + 3(m + 4)x – m – 12 = (x – 1)(x^2 – (2m + 2)x + m + 12)\)
Bước 2: Giải phương trình:
Trường hợp 1: \( x = 1 \) là nghiệm của phương trình.
Khi đó, \( x^2 – (2m + 2)x + m + 12 = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi \( \Delta = (2m + 2)^2 – 4(m + 12) > 0 \), hay \( m^2 + 4m – 40 > 0 \).
Phương trình này có hai nghiệm phân biệt \( m_1 = -8 \) và \( m_2 = 5 \).
Tuy nhiên, \( m_1 = -8 \) không thoả mãn điều kiện m là số nguyên dương bằng hơn 2023.
Trường hợp 2: \( x = 1 \) không phải là nghiệm của phương trình.
Khi đó, \( x^2 – (2m + 2)x + m + 12 = 0 \) có 3 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi \( \Delta = (2m + 2)^2 – 4(m + 12) > 0 \) và \( f(1) = 1 – (2m + 1) + 3(m + 4) – m – 12 = 0 \).
Giải phương trình \( f(1) = 0 \), ta được \( m = 5 \).
Vậy \( m = 5 \).
Câu 40
Chọn đáp án A
Câu 41
Chọn đáp án D
Câu 42
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm của \( (P) \) và \( (d) \).
Ta có:
\[
x^2 = x + m \implies x^2 – x – m = 0
\]
Để \( (d) \) cắt \( (P) \) tại hai điểm phân biệt, phương trình bậc hai trên cần có hai nghiệm phân biệt.
Bước 2: Xác định điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 1^2 – 4(-m) = 4m + 1
\]
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, \( \Delta > 0 \), hay \( 4m + 1 > 0 \)
\[
\implies m > -\frac{1}{4}
\]
Bước 3: Xác định hai nghiệm của phương trình.
Giả sử \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai nghiệm của phương trình. Theo định lý Vi-ét, ta có:
\[
x_1 + x_2 = 1
\]
\[
x_1x_2 = -m
\]
Bước 4:Xác định điều kiện để hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.
Để hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung, ta cần có một nghiệm dương và một nghiệm âm.
Điều kiện:
\[
x_1x_2 < 0 \implies -m < 0 \implies m > 0
\]Kết luận:
Vậy điều kiện của m để \( (d) \) cắt \( (P) \) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung là \( m > 0 \).
Đáp án: C.
Câu 43
Chọn đáp án A
Câu 44
Câu 44: Cho hai đường thẳng \(d_1\): \(y = x + 2\) và \(d_2\): \(y = (2m^2 – m)x + m^2 + m\). Số giá trị của tham số \(m\) để \(d_1\) và \(d_2\) song song với nhau là
Giải:
Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng có hệ số góc bằng nhau. Điều này xảy ra khi hệ số của \(x\) trong cả hai phương trình bằng nhau. Do đó, ta có:
\(2m^2 – m = 1\)
Giải phương trình trên, ta được:
\(2m^2 – m – 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow (2m + 1)(m – 1) = 0\)
\(\Leftrightarrow m = -\frac{1}{2} \text{ hoặc } m = 1\)
Vậy có hai giá trị của \(m\) để \(d_1\) và \(d_2\) song song với nhau.
Câu 45
Chọn đáp án B
Câu 46
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Ta có: OA là bán kính đường tròn (O).
O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Hình vuông ABCD có cạnh là \(6\sqrt{2}\) cm nên AC = BD = \(6\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 6 \times 2\).
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AOC, ta có:
\begin{align*}
OA^2 &= OC^2 – \frac{AC^2}{4} = \left(6\sqrt{2}\right)^2 / 2 – 6^2 = 18 \\
OA &= \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ (cm)}
\end{align*}
Diện tích hình tròn (O) là:
\begin{align*}
S &= \pi \times OA^2 = \pi \times \left(3\sqrt{2}\right)^2 = 18\pi \text{ (cm}^2\text{)}
\end{align*}
Câu 47
Chọn đáp án A
Câu 48
Điều kiện để phương trình có nghiệm kép là:
\begin{align*}
\Delta &= [2(n+1)]^2 – 4 \cdot [2n(2-m) – m^2] \\
&= 4(n+1)^2 – 8n(2-m) + 4m^2 \\
&= 4n^2 + 8n + 4 – 16n + 8mn + 4m^2 \\
&= 4n^2 – 8n + 4 + 8mn + 4m^2 \\
&= 4(n^2 – 2n + 1 + 2mn + m^2) \\
&= 4[(n + m)^2 – (2n + 1)] = 0
\end{align*}
Đặt \( n + m = a \), ta có:
\begin{align*}
a^2 – (2n + 1) &= 0 \\
a^2 &= 2n + 1
\end{align*}
Vì \( a = n + m \), thay lại vào ta được:
\begin{align*}
(n + m)^2 &= 2n + 1 \\
n^2 + 2mn + m^2 &= 2n + 1 \\
2mn &= 2n + 1 – n^2 – m^2 \\
P = mn &= \frac{2n + 1 – n^2 – m^2}{2}
\end{align*}
Phương trình cuối cùng này cho ta giá trị cần tìm của \( P \).
Chọn đáp án A
Câu 49
Đặt điều kiện cho phép thực hiện phép toán căn thức và khai triển bất đẳng thức:
\begin{align*}
&\sqrt[3]{a+\sqrt{a+12}-\sqrt{a-6}-8} < 9 + \sqrt{a-5} \\
\Leftrightarrow \ &a+\sqrt{a+12}-\sqrt{a-6}-8 < (9 + \sqrt{a-5})^3 \\
\Leftrightarrow \ &a+\sqrt{a+12}-\sqrt{a-6}-8 < 729 + 27\sqrt{a-5} + 3\cdot 81(a-5) + (a-5)^{3/2} \\
% At this point, we can square both sides or find another method to isolate ‘a’ and solve the inequality.
\end{align*}
Từ đây ta tiếp tục giải bất phương trình để tìm giá trị của \( a \).
Chọn đáp án C
Câu 50
Chọn đáp án D
Chúc các bạn ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới !
