Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 là một sự kiện quan trọng đánh dấu bước ngoặt trong cuộc đời mỗi học sinh. Bài viết này sẽ trình bày hướng dẫn giải chi tiết đề thi toán vào 10 Thanh Hóa , giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức, đồng thời rút ra kinh nghiệm cho kỳ thi sắp tới của mình.
Đề thi toán vào 10 thanh hóa
Lời giải chi tiết
Câu I
1,
Bước 1: Tìm mẫu số chung của các phần thức:
Mẫu số chung là: \( (\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} + 2) \)
Bước 2: Quy đồng các phần thức về mẫu số chung:
\[
P = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} + 2)} + \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} + 2)} + \frac{(2 + 5\sqrt{x})(\sqrt{x} – 2)}{(\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} + 2)}
\]
\(P = \frac{x + 2\sqrt{x}}{x – 4} + \frac{x + 3\sqrt{x} + 2}{x – 4} – \frac{2\sqrt{x} – 4}{x – 4}\)
Bước 3: Cộng các phần thức:
\(P = \frac{x + 5\sqrt{x} + 2}{x – 4}\)
2,
Bước 1: So sánh \( P \) với 1:
\(P – 1 = \frac{x + 5\sqrt{x} + 2}{x – 4} – 1 = \frac{5\sqrt{x}}{x – 4}\)
Bước 2: Ta có: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 4 \) nên \( 5\sqrt{x} \geq 0 \).
Bước 3:
Nếu \( x > 4 \) thì \( x – 4 > 0 \) và \( P – 1 > 0 \) nên \( P > 1 \).
Nếu \( 0 \leq x < 4 \) thì \( x – 4 < 0 \) và \( P – 1 < 0 \) nên \( P < 1 \).
Kết luận:
Tập hợp các giá trị \( x \) để \( P > 1 \) là: \( x \in (4; +\infty) \).
Câu II
1,
Vì hệ số góc của đường thẳng \(d\) bằng 3, nên ta có phương trình:
a = 3
Thay \( a = 3 \) và điểm \( M(-1; 2) \) vào phương trình đường thẳng \(d\), ta được:
2 = 3(-1) + b
b = 5
Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là: \( y = 3x + 5 \)
2,
Từ phương trình thứ hai, ta có: y = x + 2
Thay y = x + 2 vào phương trình thứ nhất, ta được:
3x + (x + 2) = 6
4x = 4
x = 1
Thay x = 1 vào phương trình thứ hai, ta được:
1 – y = -2
y = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (1; 3)
Câu III
1, Giải phương trình:
\(x^2 – 3x + 2 = 0\)
Phương trình có hai nghiệm: \(x_1 = 2\) và \(x_2 = 1\).
2, Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:
Bước 1: Áp dụng định lí Vi-ét, ta có:
\(x_1 + x_2 = 2m\) và \(x_1x_2 = m^2 + 2\)
Bước 2: Thay \(x_1^2\) và \(x_2\) vào hệ thức, ta được:
\(x_2 – 2|x_1| – 3x_1x_2 = 3m^2 + 3m + 4\)
\(\Leftrightarrow x_2 – 2|x_1| – 3(m^2 + 2) = 3m^2 + 3m + 4\)
\(\Leftrightarrow x_2 – 2|x_1| – 3m^2 – 6 = 3m^2 + 3m + 4\)
\(\Leftrightarrow x_2 – 2|x_1| – 6m^2 – 3m – 10 = 0\)
Bước 3: Thay \(x_1 + x_2 = 2m\) vào phương trình trên, ta được:
\(2m – 2|x_1| – 6m^2 – 3m – 10 = 0\)
\(\Leftrightarrow -6m^2 – m – 2|x_1| – 10 = 0\)
Bước 4: Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: \(x_1 \geq 0\)
Khi đó, \(|x_1| = x_1\) và phương trình trở thành:
\(-6m^2 – m – 2x_1 – 10 = 0\)
\(\Leftrightarrow 6m^2 + m + 2x_1 + 10 = 0\)
\(\Leftrightarrow (2m + 1)(3m + 10) = 0\)
\(\Leftrightarrow m = -\frac{1}{2}\) hoặc \(m = -\frac{10}{3}\)
Trường hợp 2: \(x_1 < 0\)
Khi đó, \(|x_1| = -x_1\) và phương trình trở thành:
\(-6m^2 – m + 2x_1 – 10 = 0\)
\(\Leftrightarrow 6m^2 + m – 2x_1 + 10 = 0\)
\(\Leftrightarrow (2m – 1)(3m + 10) = 0\)
\(\Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\) hoặc \(m = -\frac{10}{3}\)
Câu IV
1,
Ta có:
\begin{align*}
\angle MOB &= \angle MOA \quad \text{(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)} \\
\angle MOB + \angle MOA &= 180^\circ \quad \text{(hai góc kề bù)} \\
\implies \angle MOA &= \angle MOB = 90^\circ
\end{align*}
Xét tứ giác MAOB, ta có:
\begin{align*}
\angle MOA &= \angle MOB = 90^\circ
\end{align*}
Tứ giác MAOB nội tiếp (tứ giác có hai góc đối nhau cùng bằng \(90^\circ\)
2,
Ta có:
\begin{align*}
\angle MNO &= \angle MAN \text{ (góc nội tiếp cùng chắn cung MN)} \\
\angle MNO + \angle MAN &= 180^\circ \text{ (hai góc kề bù)} \\
\implies \angle MAN &= 180^\circ – \angle MNO
\end{align*}
Xét hai tam giác vuông AMN và MNO, ta có:
\begin{align*}
\angle AMN &= \angle MNO = 90^\circ \\
\angle MAN &= 180^\circ – \angle MNO \text{ (cmt)}
\end{align*}
Suy ra:
\begin{align*}
\triangle AMN &\sim \triangle MNO \text{ (g.g)} \\
\implies \frac{MN}{NO} &= \frac{AM}{MN} \\
\implies MN^2 &= ND \cdot NA
\end{align*}
3,
Ta có:
\begin{align*}
\angle OHA &= \angle OHD \text{ (góc nội tiếp cùng chắn cung OH)} \\
\angle OHA + \angle OHD &= 180^\circ \text{ (hai góc kề bù)} \\
\implies \angle OHA &= \angle OHD = 90^\circ
\end{align*}
Xét hai tam giác vuông AHO và DHO, ta có:
\begin{align*}
\angle AHO &= \angle DHO = 90^\circ \\
\angle OHA &= \angle OHD \text{ (cmt)}
\end{align*}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\implies \triangle AHO &\sim \triangle DHO \text{ (g.g)} \\
\implies \frac{HA}{HD} &= \frac{AO}{DO}
\end{aligned}
\end{equation}
Ta lại có:
\begin{align*}
\angle AON &= \angle MON \text{ (góc nội tiếp cùng chắn cung ON)} \\
\angle AON + \angle MON &= 180^\circ \text{ (hai góc kề bù)} \\
\implies \angle AON &= \angle MON = 90^\circ
\end{align*}
Xét hai tam giác vuông AON và CON, ta có:
\begin{align*}
\angle AON &= \angle CON = 90^\circ \\
\angle ANO &= \angle CNO \text{ (góc nội tiếp cùng chắn cung NO)}
\end{align*}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\implies \triangle AON \sim \triangle CON \text{ (g.g)} \\
\implies \frac{AO}{CO} = \frac{ON}{CN}
\end{aligned}
\end{equation}
Chứng minh tương tự, ta có:
\begin{align*}
\frac{DO}{NO} = \frac{HN}{CN}
\end{align*}
Từ đó, ta có:
\begin{align*}
\frac{HA}{HD} = \frac{AO}{DO} = \frac{ON}{CN} = \frac{HN}{CN} = \frac{AC}{HN}
\end{align*}
Câu V
Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức phụ:
Với mọi số thực \( a, b, c \) không âm, ta có:
\(\frac{a+b+c}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}.\)
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}.\)
Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\(\sqrt[3]{abc} \ge \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}.\)
Do đó, ta có:
\(\frac{a+b+c}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}.\)
Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức phụ:
Ta có:
\begin{align*}
\frac{8}{(x+3)^{2}} + \frac{16}{(y+4)^{2}} + \frac{1}{(z+1)^{2}} &\ge \frac{8+16+1}{\frac{1}{(x+3)^{2}} + \frac{1}{(y+4)^{2}} + \frac{1}{(z+1)^{2}}} \\
&= \frac{25}{\frac{1}{(x+3)^{2}} + \frac{1}{(y+4)^{2}} + \frac{1}{(z+1)^{2}}} \\
&\ge \frac{25}{\frac{3}{(x+3) + (y+4) + (z+1)}} \\
&= \frac{25}{\frac{3}{x+y+z+8}} \\
&= 25(x+y+z+8) \\
&\ge 25 \cdot \frac{3}{4} \\
&= \frac{75}{4}.
\end{align*}
Bước 3: Kết luận:
Dấu “=” xảy ra khi \( x=3, y=4, z=0 \).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M \) là \( \frac{75}{4}+2023=\frac{8211}{4} \)
Chúc các bạn ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới !
