Ước chung lớn nhất (UCLN) là một khái niệm toán học cơ bản và quan trọng được học sinh lớp 6 tiếp cận. Nắm vững kiến thức về UCLN giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến chia hết, so sánh, tìm số,… Bài viết này sẽ trình bày khái niệm, tính chất, cách tìm và ứng dụng của UCLN trong toán học.
Định nghĩa ước chung lớn nhất
Ước chung lớn nhất (UCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Ký hiệu:
UCLN(a, b) là ước chung lớn nhất của a và b.
Ví dụ: UCLN(12, 18) = 6.
Tính chất của ước chung lớn nhất
Tính chất của ước chung
Nếu a ⋮ b và b ⋮ c thì a ⋮ c.
ƯC(a, b) ⊆ Ư(a) và ƯC(a, b) ⊆ Ư(b).
a ⋮ m và b ⋮ m thì m ϵ ƯC(a, b).
a.b = ƯC(a, b) . BCNN(a, b).
Tính chất của bội chung
Nếu a ⋮ b và b ⋮ c thì a ⋮ bc.
BC(a, b) ⊇ B(a) và BC(a, b) ⊇ B(b).
a ⋮ m và b ⋮ m thì m ⋮ BCNN(a, b).
a.b = ƯC(a, b) . BCNN(a, b).
Cách tìm ước chung lớn nhất
Cách tìm ước chung
Liệt kê các ước của từng số.
Chọn ra các số chung trong các tập hợp ước đã liệt kê.
Cách tìm bội chung
Liệt kê các bội của từng số.
Chọn ra các số chung trong các tập hợp bội đã liệt kê.
Cách tìm ước chung lớn nhất (UCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN)
Sử dụng phương pháp phân tích số ra thừa số nguyên tố.
Phương pháp rút gọn
Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất.
Bước 3: Tích các thừa số đã chọn, đó là UCLN hoặc BCNN của các số đã cho.
Ví dụ:
Tìm ƯCLN(12, 18):
Ư(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Ư(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
ƯCLN(12, 18) = {1, 2, 3, 6}.
Tìm BC(12, 18):
B(12) = {0, 12, 24, 36, …}.
B(18) = {0, 18, 36, 54, …}.
BC(12, 18) = {0, 36, 72, …}.
Tìm UCLN(12, 18):
\(12 = 2^2 \times 3\).
\(18 = 2 \times 3^2\).
UCLN(12, 18) = \(2 \times 3 = 6\).
Dạng bài tập và phương pháp giải về ước chung lớn nhất (UCLN)
Dạng 1: Tìm UCLN của hai hay nhiều số.
Phương pháp giải:
Phương pháp liệt kê: Liệt kê các ước của từng số, chọn ra số chung lớn nhất.
Phương pháp phân tích số ra thừa số nguyên tố:
Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất.
Bước 3: Tích các thừa số đã chọn, đó là UCLN của các số đã cho.
Sử dụng máy tính: Nhiều máy tính có chức năng tìm UCLN của hai hay nhiều số.
Ví dụ:
Tìm UCLN(12, 18):
Phương pháp liệt kê:
Ư(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Ư(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
UCLN(12, 18) = 6.
Phương pháp phân tích số ra thừa số nguyên tố:
\(12 = 2^2 \times 3\).
\(18 = 2 \times 3^2\).
UCLN(12, 18) = \(2 \times 3 = 6\).
Dạng 2: Tìm hai số a và b biết tổng (hoặc hiệu) của chúng và UCLN của chúng.
Phương pháp giải:
Bước 1: Gọi UCLN(a, b) = d.
Bước 2: Từ dữ kiện đề bài, lập hệ phương trình theo a và b.
Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm a và b.
Ví dụ:
Tìm hai số a và b biết a + b = 42 và UCLN(a, b) = 6.
Giải:
Gọi UCLN(a, b) = d.
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
a + b = 42
a = dm
b = dn
(m, n) = 1
Giải hệ phương trình, ta được: a = 24, b = 18.
Dạng 3: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau
Phương pháp giải:
Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau:
Hai số nguyên tố cùng nhau thì UCLN của chúng bằng 1.
Để chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau, ta có thể sử dụng phương pháp phản chứng.
Ví dụ:
Chứng minh rằng 15 và 22 nguyên tố cùng nhau.
Giải:
Giả sử 15 và 22 không nguyên tố cùng nhau, nghĩa là UCLN(15, 22) > 1.
Ta có: \(15 = 3 \times 5 và 22 = 2 \times 11\).
Do UCLN(15, 22) > 1, nên 15 và 22 phải có ít nhất một ước chung lớn hơn 1.
Tuy nhiên, 15 và 22 không có ước chung nào lớn hơn 1.
Vậy, giả thiết của chúng ta là sai.
Do đó, 15 và 22 nguyên tố cùng nhau.
Luyện tập
Bài 1:
Tìm UCLN của 15, 20 và 25.
Bài 2:
Tìm hai số a và b biết a – b = 4 và UCLN(a, b) = 1.
Bài 3:
Chứng minh rằng 11 và 13 nguyên tố cùng nhau.
Bài 4:
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 3, 5, 7.
Bài 5:
Giải bài toán:
Một lớp học có 24 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Cô giáo muốn chia lớp thành các tổ sao cho số học sinh nam và nữ ở mỗi tổ bằng nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu tổ?
Bài 6:
Tìm hai số tự nhiên a và b (a > b) biết:
a + b = 30.
UCLN(a, b) = 6.
Ước chung lớn nhất là một khái niệm toán học cơ bản và quan trọng mà học sinh lớp 6 cần nắm vững. Nắm vững kiến thức về ước chung lớn nhất giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến chia hết, so sánh, tìm số,…
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
