Trung điểm của đoạn thẳng: Tổng hợp kiến thức quan trọng cần nhớ

Trung điểm của đoạn thẳng là một khái niệm quan trọng trong môn Toán lớp 6. Hiểu rõ về trung điểm của đoạn thẳng giúp học sinh giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả.

Bài viết này sẽ trình bày kiến thức về trung điểm của đoạn thẳng, bao gồm định nghĩa, tính chất và cách vẽ.

Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng

Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai đầu mút của đoạn thẳng và cách đều hai đầu mút đó.

Ký hiệu: M là trung điểm của đoạn thẳng AB được viết là: M là trung điểm AB hay MA = MB.

Ví dụ

Cho đoạn thẳng AB. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi:

M nằm giữa A và B.

MA = MB.

Tính chất của trung điểm của đoạn thẳng

Tính chất về độ dài

Trung điểm M của đoạn thẳng AB chia đoạn thẳng AB thành hai đoạn nhỏ AM và MB có độ dài bằng nhau

AM = MB = \(\frac{AB}{2}\).

Tính chất về đường thẳng

Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB sẽ chia đoạn thẳng AB thành hai đoạn bằng nhau.

Ngược lại

Nếu điểm M cách đều hai điểm A và B thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Cách vẽ trung điểm của đoạn thẳng

a) Cách 1:

Sử dụng thước kẻ và compa:

Bước 1:

Vẽ đoạn thẳng AB.

Bước 2:

Dùng compa vẽ hai cung tròn tâm A và B bán kính bằng  độ dài đoạn thẳng AB.

Bước 3:

Hai cung tròn cắt nhau tại hai điểm M và N.

Bước 4:

Nối điểm M và N bằng đường thẳng.

Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

b) Cách 2:

Sử dụng thước kẻ:

Bước 1:

Vẽ đoạn thẳng AB.

Bước 2:

Đánh dấu điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB bằng cách:

Đặt thước kẻ sao cho vạch 0 trùng với điểm A.

Vạch chỉ số độ dài trên thước kẻ trùng với điểm B.

Đánh dấu điểm O là điểm nằm trên đoạn thẳng AB và cách đều hai điểm A và B.

Các dạng bài và phương pháp giải về Trung điểm của đoạn thẳng

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì AM + MB = AB.

Ví dụ:

Cho đoạn thẳng AB = 8cm, M là trung điểm của AB. Tính độ dài đoạn thẳng AM.

Giải:

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = \(\frac{AB}{2} = \frac{8cm}{2}\) = 4cm.

Dạng 2: Chứng minh điểm M là trung điểm của đoạn thẳng

Phương pháp giải:

  • Sử dụng tính chất: Điểm M cách đều hai điểm A và B thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
  • Sử dụng tính chất: Điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì AM + MB = AB.

Ví dụ:

Cho ba điểm A, B, M trên đường thẳng. Biết AM = BM = 3cm. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Giải:

Vì AM = BM = 3cm nên M cách đều hai điểm A và B.

Lại có: AM + BM = 3cm + 3cm = 6cm = AB.

Vậy, M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Dạng 3: Vẽ trung điểm của đoạn thẳng:

Phương pháp giải:

  • Sử dụng cách vẽ trung điểm của đoạn thẳng bằng thước kẻ và compa.
  • Sử dụng cách vẽ trung điểm của đoạn thẳng bằng thước kẻ.

Ví dụ:

Vẽ trung điểm của đoạn thẳng AB có độ dài 5cm.

Giải:

Cách 1:

Sử dụng thước kẻ và compa:

Vẽ đoạn thẳng AB.

Dùng compa vẽ hai cung tròn tâm A và B bán kính bằng  độ dài đoạn thẳng AB.

Hai cung tròn cắt nhau tại hai điểm M và N.

Nối điểm M và N bằng đường thẳng.

Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Cách 2:

Sử dụng thước kẻ:

Vẽ đoạn thẳng AB.

Đánh dấu điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB bằng cách:

Đặt thước kẻ sao cho vạch 0 trùng với điểm A.

Vạch chỉ số độ dài trên thước kẻ trùng với điểm B.

Đánh dấu điểm O là điểm nằm trên đoạn thẳng AB và cách đều hai điểm A và B.

Dạng 4: Ứng dụng:

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất và định nghĩa của trung điểm để giải bài toán.

Ví dụ:

Cho đoạn thẳng AB = 6cm, M là trung điểm của AB. Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Giải:

Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB = \(\frac{AB}{2} = \frac{6cm}{2}\) = 3cm.

Vậy, đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB.

Bài tập về trung điểm của đoạn thẳng

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB = 8cm, M là trung điểm của AB. Tính độ dài đoạn thẳng AM.

Giải:

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = \(\frac{AB}{2} = \frac{8cm}{2}\) = 4cm.

Bài 2: Cho ba điểm A, B, M trên đường thẳng. Biết AM = BM = 3cm. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Giải:

Vì AM = BM = 3cm nên M cách đều hai điểm A và B.

Lại có: AM + BM = 3cm + 3cm = 6cm = AB.

Vậy, M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Bài 3: Vẽ trung điểm của đoạn thẳng AB có độ dài 5cm.

Giải:

Sử dụng thước kẻ:

Vẽ đoạn thẳng AB.

Đánh dấu điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB bằng cách:

Đặt thước kẻ sao cho vạch 0 trùng với điểm A.

Vạch chỉ số độ dài trên thước kẻ trùng với điểm B.

Đánh dấu điểm O là điểm nằm trên đoạn thẳng AB và cách đều hai điểm A và B.

Bài 4: Cho đoạn thẳng AB = 6cm, M là trung điểm của AB. Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Giải:

Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB = AB/2 = 6cm/2 = 3cm.

Vậy, đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB.

Bài 5: Cho ba điểm A, B, C trên đường thẳng. Biết AC = BC. Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Giải:

Vì AC = BC nên A cách đều hai điểm B và C.

Vậy, A là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Luyện tập

  1. Cho đoạn thẳng AB = 10cm, M là trung điểm của AB. Tính độ dài đoạn thẳng AM.
  2. Cho ba điểm A, B, M trên đường thẳng. Biết AM = BM = 4cm. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
  3. Vẽ trung điểm của đoạn thẳng CD có độ dài 7cm.
  4. Cho đoạn thẳng EF = 8cm, N là trung điểm của EF. Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng EF.
  5. Cho ba điểm A, B, C trên đường thẳng. Biết AB = BC. Chứng minh rằng C là trung điểm của đoạn thẳng AB.
  6. Cho đoạn thẳng GH = 12cm, I là trung điểm của GH. Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng GH.
  7. Cho ba điểm A, B, C trên đường thẳng. Biết AC = 2cm, BC = 4cm. Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn thẳng BC.
  8. Cho đoạn thẳng IK = 14cm, J là trung điểm của IK. Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng IK.
  9. Cho ba điểm A, B, C trên đường thẳng. Biết AB = 3cm, AC = 6cm. Chứng minh rằng B là trung điểm của đoạn thẳng AC.
  10. Cho đoạn thẳng LM = 16cm, N là trung điểm của LM. Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng LM.

Qua bài viết này, chúng ta đã học được định nghĩa, tính chất và cách vẽ trung điểm của đoạn thẳng. Hiểu rõ kiến thức về trung điểm của đoạn thẳng giúp học sinh giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả.

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn