Lý thuyết tính chất cơ bản của phép cộng phân số

Tính chất cơ bản của phép cộng phân số là bài toán cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán lớp 6. Nắm vững phép cộng phân số giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến cộng các đại lượng cùng đơn vị đo, từ đó phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.

Tính chất giao hoán

Khi cộng hai phân số, ta cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số.

Thứ tự cộng các phân số không ảnh hưởng đến kết quả của phép cộng.

\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}= \frac{c}{d} + \frac{a}{b}\)

Ví dụ

\(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \)

\(= \frac{3 + 2}{4} \)

\(= \frac{5}{4}\)

Tính chất kết hợp

Khi cộng ba phân số, ta có thể cộng hai phân số trước rồi cộng tiếp phân số thứ ba với kết quả vừa tìm được.

Hoặc ta có thể cộng phân số thứ ba với một trong hai phân số trước rồi cộng kết quả với phân số còn lại.

\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f}\)

Ví dụ:

\(\frac{1}{2} + \frac{3}{4}) + \frac{5}{6} = \frac{1}{2} + (\frac{3}{4} + \frac{5}{6})\)

\(= \frac{1}{2} + \frac{3 + 5}{4}\)

\(= \frac{1}{2} + \frac{8}{4}\)

\(= \frac{1 + 8}{2}\)

\(= \frac{9}{2}\)

Cộng với số 0

Cộng một phân số với số 0 không làm thay đổi giá trị của phân số đó.

\(\frac{a}{b} + 0 = 0 + \frac{a}{b}\)

\(= \frac{a}{b}\)

Ví dụ:

\(\frac{1}{2} + 0 = 0 + \frac{1}{2}\)

\(= \frac{1}{2}\)

Tính chất bắc cầu

\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a + c}{bd}\)

Điều kiện: Hai phân số phải có cùng mẫu số.

Ví dụ

\(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)

Chứng minh các tính chất cơ bản của phép cộng phân số

Chứng minh tính chất giao hoán

\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\)

= \(\frac{ad + bc}{bd} \)

= \(\frac{bc + ad}{bd} \)

= \(\frac{c}{d} + \frac{a}{b}\)

Chứng minh tính chất kết hợp

\((\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{f}\)
\(=(\frac{a.d}{b.d} + \frac{c.b}{d.b}) + \frac{e.bd}{f.bd} \)
\(=\frac{a.d+b.c}{bd} + \frac{e.bd}{f.bd} = \frac{ad+bc+e.bd}{bd.f} \)
\(=\frac{a.df+b.cf + e.bd}{bd.f} = \frac{a.df}{bd.f} + \frac{b.cf}{bd.f} + \frac{e.bd}{bd.f} \)
\(=\frac{a}{b} + (\frac{c}{d} +\frac{e}{f})\)

Chứng minh tính chất cộng với số 0

\(\frac{a}{b} + 0 = \frac{a.1}{b.1} = \frac{a}{b}\)

\( 0+ \frac{a}{b} = \frac{0.b}{b.1} +  \frac{a}{b}\)

= \( \frac{0+a}{b}=\frac{a}{b}\)

Chứng minh tính chất bắc cầu

Trường hợp 1: Hai phân số không cùng mẫu số:

Giả sử hai phân số \(\frac{a}{b} và {c}{b}\) có cũng mẫu số b, ta có:

\(\frac{a}{b} +\frac {c}{d} = \frac {a.d}{b.d} + \frac {c.b}{d.b} \) 

\(\frac {ad+bc}{bd}\)

Vậy, ta có: 

\(\frac{a}{b} +\frac {c}{d} = \frac{a+c}{bd}\)

Trường hợp 2: Hai phân số có cùng mẫu số:

Giả sử hai phân số \(\frac{a}{b} và {c}{b}\) không cũng mẫu số b, ta có:

\(\frac{a}{b} +\frac {c}{b} = \frac{a+c}{b}\)

Bài tập vận dụng có lời giải 

Bài 1:

a) \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\)

b) \(\frac{5}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12}\)

c)\( \frac{3}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} + \frac{1 \times 1}{8 \times 1} = \frac{6}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\)

d) \(\frac{1}{3} + \frac{5}{12} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} + \frac{5 \times 1}{12 \times 1} = \frac{4}{12} + \frac{5}{12} = \frac{9}{12}\)

Bài 2: 

a) \(x + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)

    \(x = \frac{3}{4} – \frac{1}{4}\)

    \(x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

b) \(x – \frac{2}{5} = \frac{1}{2}\)

    \(x = \frac{1}{2} + \frac{2}{5}\)

    \(x = \frac{5}{10} + \frac{4}{10}\)

    \(x = \frac{9}{10}\)

    c) \(x + \frac{1}{3} = \frac{1}{4}\)

    \(x = \frac{1}{4} – \frac{1}{3}\)

    \(x = \frac{3}{12} – \frac{4}{12}\)

    \(x = -\frac{1}{12}\)

Bài 3: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 3/5m, chiều rộng bằng 1/3 chiều dài. Tính diện tích mảnh vườn đó.

Lời giải:

Chiều rộng mảnh vườn là:

Lý thuyết tính chất cơ bản của phép cộng phân số

Diện tích mảnh vườn là:

\(\frac{3}{5} x \frac{1}{5} =  \frac{3}{25}\) (m²)

Đáp số: \(\frac{3}{25}\)m².

Qua bài học này, chúng ta đã hiểu rõ về tính chất cơ bản của phép cộng phân số. Nắm vững các tính chất này giúp học sinh thực hiện các phép tính cộng phân số một cách nhanh chóng và chính xác.

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn