Tính chất cơ bản của phân số: Kiến thức quan trọng cần nắm

Tính chất cơ bản của phân số là một trong những kiến thức toán học quan trọng nhất ở lớp 6. Hiểu rõ tính chất cơ bản của phân số giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến phân số một cách dễ dàng và chính xác.

Định nghĩa phân số

Phân số là số biểu thị một phần của đơn vị.

Phân số a/b (đọc là a phần b) gồm hai phần:

• Tử số: là số a, biểu thị phần được lấy.
• Mẫu số: là số b (khác 0), biểu thị đơn vị được chia thành b phần bằng nhau.

Tính chất cơ bản của phân số

Tính chất 1:

Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho.

Ví dụ:

\(\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}\)

Tính chất 2:

Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng (khác 0) thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho.

Ví dụ:

\(\frac{6}{12} = \frac{6 : 6}{12 : 6} = \frac{1}{2}\).

Quy đồng mẫu nhiều phân số

Quy đồng mẫu số là biến đổi các phân số đã cho thành những phân số có cùng mẫu số mà giá trị của chúng không đổi.

Phương pháp quy đồng mẫu số nhiều phân số:

Bước 1: Tìm mẫu chung của các phân số.

Cách 1: Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu số.

Cách 2: Phân tích các mẫu số thành tích các thừa số nguyên tố. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung với số mũ cao nhất. Lấy tích của các thừa số nguyên tố đó làm mẫu chung.

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu số.

Thừa số phụ của một mẫu số là thương của mẫu chung và mẫu số đó.

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

Ví dụ:

Quy đồng mẫu số các phân số  \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3},  \frac{1}{4}\)

Bước 1: Tìm mẫu chung.

BCNN(2, 3, 4) = 12.

Bước 2: Tìm thừa số phụ.

Thừa số phụ của 2 là  \(\frac{12}{2} = 6\).

Thừa số phụ của 3 là  \(\frac{12}{3} = 4\).

Thừa số phụ của 4 là  \(\frac{12}{4} = 3\).

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

\(\frac{1}{2} = \frac{1 \times 6}{2 \times 6} = \frac{6}{12}\).

\(\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}\).

\(\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}\).

Vậy, các phân số 1/2, 1/3 và 1/4 sau khi quy đồng mẫu số ta được 6/12, 4/12 và 3/12.

Các dạng toán về tính chất cơ bản của phân số

Xác định các phân số bằng nhau

\( \frac{a}{b} = \frac{a.m}{b.m}\) với m ∈ Z và m 

\( \frac{a}{b} = \frac{a:m}{b:m} \) với n ∈ ƯC (a;b)

Tìm số chưa biết của đẳng thức hai phân số

Áp dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi hai phân số đã cho thành hai phân số bằng chúng nhưng có từ (hoặc mẫu) như nhau. Khi đó mẫu (hoặc tử) của chúng phải bằng nhau. Từ đó tìm được số chưa biết.
Hoặc áp dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau.

Rút gọn phân số. Rút gọn biểu thức dạng phân số

– Chia cả tử và mẫu của phân số \( \frac{a}{b}\) cho ƯCLN của a và b để rút gọn thành phân số tối giản ( bỏ dấu “-” nếu có)

– Trường hợp biểu thức có dạng phân số, ta cần làm xuất hiện các thừa số chung của tử và mẫu rồi rút gọn các thừa số chung đó.

Tìm các phân số tối giản trong các phân số cho trước

Để tìm phân số tối giản trong các phân số cho trước, ta tìm ƯCLN của tử và mẫu đối với từng phân số. Phân số nào có ƯCLN này là  1  thì đó là phân số tối giản.

Viết dạng tổng quát của tất cả các phân số bằng một phân số cho trước

Ta thực hiện hai bước:

– Rút gọn phân số đã cho đến tối giản, chằng hạn ta được phân số tối giản \( \frac{m}{n}\)

– Dạng tổng quát của các phân số phải tìm là   \(\frac{m.k}{n.k}\) ( k ∈ Z, k ≠ 0)

Bài tập tính chất cơ bản của phân số có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho phân số \( M = \frac{n+1}{n-2} \) ( với n≠2). TÌm giá trị của n để \(  M= \frac{3}{2}\).

Lời giải

Thay \(  M=  \frac{3}{2}\) vào ta có  \( \frac{n+1}{n-2} = \frac{3}{2}\) 

Giải phương trình

n + 1 = 3(n – 2)

n + 1 = 3n – 6

2n = 7

n = 3.5 (thỏa mãn điều kiện n ≠ 2)

Vậy n = 3.5 là giá trị cần tìm.

Bài 2: Chứng minh đẳng thức:

Bài tập: Chứng minh rằng:

\(  \frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+c} \) ( với b≠0, b≠ -c)

Lời giải:

Ta có:

\(\frac{a}{b} = \frac{a(b + c)}{b(b + c)} \) (nhân cả tử và mẫu của \( \frac{a}{b}$ với b + c)\) 

\( \frac{a(b + c)}{b(b + c)} = \frac{ab + ac}{b^2 + bc}\)  (phân tích tử số)

\( \frac{ab + ac}{b^2 + bc} = \frac{a(b + c)}{b(b + c)}\)  (chia cả tử và mẫu cho b + c)

Vậy \(  \frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+c} \) (đpcm)

Bài 3: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 15m, chiều rộng 12m. Người ta dành 30% diện tích mảnh vườn để trồng hoa. Tính diện tích phần đất trồng hoa.

Lời giải:

Diện tích mảnh vườn là: 15 x 12 = 180 (m²).

Diện tích phần đất trồng hoa là: 180 x 30% = 54 (m²).

Vậy diện tích phần đất trồng hoa là 54m².

Nắm vững tính chất cơ bản của phân số là nền tảng để học sinh tiếp tục học tập các chủ đề toán học nâng cao hơn như: phép toán với phân số, so sánh phân số, giải bài toán bằng phân số, v.v.

Chúc bạn học tập tốt!