Số vô tỉ và căn bậc hai là hai khái niệm toán học quan trọng được học trong chương trình Toán lớp 7. Bài học này sẽ giúp các bạn hiểu rõ khái niệm số vô tỉ, căn bậc hai và cách giải các bài tập liên quan đến hai khái niệm này.
Khái niệm số vô tỉ
Số vô tỉ là số không thể viết được dưới dạng phân số ba với a, b là số nguyên và b khác 0.
Tập hợp số vô tỉ được kí hiệu là I.
Ví dụ:
\(\sqrt{2}\) là số vô tỉ.( căn bậc hai của hai)
π là số vô tỉ.
Tính chất số vô tỉ
Giữa hai số hữu tỉ bất kì luôn có một số vô tỉ.
Tập hợp số vô tỉ là vô hạn.
Cách biểu diễn số vô tỉ
Số vô tỉ có thể được biểu diễn bằng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Ví dụ: 2=1,4142135623730950488016887242097…
Số thập phân vô hạn không tuần hoàn
Những số thập phân vô hạn mà phần thập phân của nó không có một chu kì nào cả, những số đó được gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Ví dụ:
Số –1,359130000110578… là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Số π = 3,14159265358979323846264338… là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Biểu diễn thập phân của số vô tỉ
Số vô tỉ được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Ví dụ:
Số –1,359130000110578… là số vô tỉ.
Số π = 3,14159265358979323846264338… là số vô tỉ.
– Nếu a là một số tự nhiên, số nguyên hay số hữu tỉ thì a không thể là số vô tỉ.
Căn bậc hai số học
Căn bậc hai số học của một số a không âm là số x sao cho \(x^2 = a\).
Căn bậc hai số học của a được ký hiệu là \(\sqrt{a}\).
Căn bậc hai số học của số 0 là số 0, viết là: \(\sqrt{0} = 0\)
Tính chất:
\(\sqrt{a.b} = \sqrt{a}.\sqrt{b}\)
\(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{sqrt{b}} (b ≠ 0)\)
\(\sqrt{a^2} = a (a ≥ 0)\)
Bài tập có lời giải bài số vô tỉ và căn bậc hai lớp 7
Bài 1:
Chứng minh rằng số \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ.
Lời giải:
Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ.
Khi đó, ta có thể biểu diễn \(\sqrt{2}\) dưới dạng phân số tối giản ba (với a, b là số nguyên, b ≠ 0).
Ta có:
\(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\)
⇒\(2=\frac{a^2}{b^2}\)
⇒\(2b^2=a^2\)
Từ đây, ta suy ra:
\(a^2\) là số chẵn
a là số chẵn (vì nếu a là số lẻ thì \(a^2\) là số lẻ)
Đặt a = 2k (k là số nguyên)
Ta có:
\(4k^2=a^2=2b^2\)
⇒\(2k^2=b^2\)
Từ đây, ta suy ra:
\(b^2\) là số chẵn
b là số chẵn (vì nếu b là số lẻ thì \(b^2\) là số lẻ)
Vậy, a và b đều là số chẵn.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết a/b là phân số tối giản.
Do đó, giả thiết \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ là sai.
Vậy, \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ.
Bài 2:
Tính giá trị của biểu thức:
\(A= \sqrt{4}+\sqrt{9}+\sqrt{16}\)
Lời giải:
\(A=\sqrt{4}+\sqrt{9}+\sqrt{16}\)
=2+3+4
=9
Vậy, A = 9.
Bài 3:
So sánh hai số:
\(a=\sqrt{25}\) và b=5
Lời giải:
\(a=\sqrt{25}=5\)
Vì a = b nên a và b bằng nhau.
Vậy, a = b.
Ngoài ra, bạn có thể tham khảo thêm các bài tập và hướng dẫn giải chi tiết tại:
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức
a) \(0,81 + \sqrt{49}\);
b) 0,2.40,1.100.
Hướng dẫn giải
a) Ta có 0,81 = 0,9 và 49 = 7.
Nên \(0,81 + \sqrt{490},9+7 = 7,9\).
b) Ta có \(\sqrt{4} = 2\) và 100 = 10.
Nên 0,2.4–0,1.100 = 0,2.20,1.10 0,4-1 = -0,6.
Hy vọng qua bài học này, các bạn đã nắm vững kiến thức về số vô tỉ, căn bậc hai và có thể áp dụng vào các bài tập toán học và thực tế.
