Lý thuyết số nguyên tố hợp số và bảng số nguyên tố

Số nguyên tố hợp số và bảng số nguyên tố là hai khái niệm toán học được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Hiểu rõ về số nguyên tố và hợp số giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến chia hết, so sánh, tìm số,…

Khái niệm số nguyên tố và hợp số

Số nguyên tố: Là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Hợp số: Là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.

Ví dụ:

Số nguyên tố: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …

Hợp số: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, …

Bảng số nguyên tố

Bảng số nguyên tố

Tính chất

Số 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.

Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.

Mọi số nguyên tố khác 2 đều là số lẻ.

Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có thể phân tích thành tích các số nguyên tố.

Các dạng bài tập về số nguyên tố và hợp số

Dạng 1: Kiến thức cơ bản

Nhận biết số nguyên tố, hợp số:

Cho một số, học sinh cần xác định số đó là số nguyên tố hay hợp số dựa vào định nghĩa.

Sử dụng bảng số nguyên tố để kiểm tra nhanh.

Phân tích số ra thừa số nguyên tố:

Áp dụng phương pháp “chia liên tục” cho đến khi thương bằng 1.

Sử dụng bảng số nguyên tố để rút gọn các thừa số.

Tìm số nguyên tố trong một tập hợp:

Liệt kê các số trong tập hợp.

Xác định từng số là số nguyên tố hay hợp số.

So sánh hai số:

So sánh số lượng ước chung của hai số.

So sánh số lượng ước chung nguyên tố của hai số.

Dạng 2: Ứng dụng

Tìm ước chung lớn nhất (UCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN):

Sử dụng phương pháp phân tích số ra thừa số nguyên tố.

Áp dụng các tính chất của UCLN và BCNN.

Giải bài toán liên quan đến chia hết:

Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9.

Áp dụng tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích, thương.

Chứng minh:

Sử dụng các định nghĩa, tính chất của số nguyên tố và hợp số.

Áp dụng phương pháp phản chứng.

Dạng 3: Nâng cao

Tìm số nguyên tố trong khoảng:

Sử dụng bảng số nguyên tố.

Áp dụng các dấu hiệu nhận biết số nguyên tố.

Chứng minh một số có nhiều hay ít ước:

Phân tích số ra thừa số nguyên tố.

Sử dụng các tính chất của số mũ.

Giải bài toán liên quan đến đồng dư:

Sử dụng các tính chất của đồng dư.

Áp dụng các định lý liên quan đến số nguyên tố.

Bài tập về số nguyên tố và hợp số (có lời giải chi tiết)

Bài 1: Tìm các số nguyên tố trong tập hợp {12, 15, 18}.

Lời giải:

Ta có:

\(12 = 2^2 \times 3\)

\(15 = 3 \times 5\)

\(18 = 2 \times 3^2\).

Theo định nghĩa, số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
Do 12, 15 và 18 đều có nhiều hơn hai ước nên không có số nguyên tố nào trong tập hợp {12, 15, 18}.

Vậy, trong tập hợp {12, 15, 18}, không có số nguyên tố nào.

Bài 2: Phân tích số 24 thành tích các số nguyên tố.

Lời giải:

Ta có: \(24 = 2 \times 12\).

Tiếp tục phân tích 12, ta có: \(12 = 2 \times 6\).

Phân tích 6, ta có: \(6 = 2 \times 3\).

Vậy, \(24 = 2\times 2\times 3 \times 3\).

Nhóm các thừa số giống nhau, ta có: \(24 = 2^3\times3\).

Vậy, 24 được phân tích thành tích các số nguyên tố là \(2^3\times3\).

Bài 3: Tìm UCLN và BCNN của 12 và 15.

Lời giải:

Tìm UCLN: Phân tích 12 và 15 thành tích các số nguyên tố:
\(12 = 2^2 \times 3\).

\(15 = 3 \times 5\).

UCLN(12, 15) là tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất:
UCLN(12, 15) = 3.

Tìm BCNN:

BCNN(12, 15) là tích các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ cao nhất:

BCNN(12, 15) = \(2^2 \times 3 \times 5 = 60\)

Vậy, UCLN(12, 15) = 3 và BCNN(12, 15) = 60.

Bài 4: Tìm số nguyên tố trong khoảng từ 20 đến 30.

Lời giải:

Ta có các số tự nhiên từ 20 đến 30 là: 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30.

Sử dụng bảng số nguyên tố, ta thấy các số nguyên tố trong khoảng từ 20 đến 30 là: 23, 29.

Vậy, các số nguyên tố trong khoảng từ 20 đến 30 là 23 và 29.

Bài 5: Chứng minh rằng 11 là số nguyên tố.

Lời giải:

Theo định nghĩa, số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Ta có 11 > 1.
Xét các số từ 2 đến 10, ta thấy không có số nào chia hết cho 11 (dư 0).

Vậy, 11 chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Do đó, 11 là số nguyên tố.

Bài tập vận dụng

Bài 1:

a. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất có hai chữ số.

b. Tìm số nguyên tố lớn nhất có hai chữ số.

c. Tìm số có hai chữ số mà tổng các chữ số là số nguyên tố.

d. Tìm số có hai chữ số mà hiệu các chữ số là số nguyên tố.

Bài 2:

a. Tìm số có ba chữ số mà tổng các chữ số là số nguyên tố.

b. Tìm số có ba chữ số mà hiệu các chữ số là số nguyên tố.

c. Tìm số có ba chữ số mà tích các chữ số là số nguyên tố.

d. Tìm số có ba chữ số mà thương các chữ số là số nguyên tố.

Bài 3:

a. Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng:

    1. Nếu n là số nguyên tố thì n^2 + 4 là hợp số.
    2. Nếu n là hợp số thì n^2 + 4 không phải là số nguyên tố.

b. Cho a, b là hai số tự nhiên. Chứng minh rằng:

    1. Nếu a và b là hai số nguyên tố cùng nhau thì a + b cũng là số nguyên tố cùng nhau.
    2. Nếu a và b không nguyên tố cùng nhau thì a + b không phải là số nguyên tố.

Bài 4: Giải bài toán:

a. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 12m và chiều rộng 8m. Người ta muốn chia mảnh vườn thành những luống hình vuông có cạnh bằng nhau. Hỏi cạnh của luống vuông lớn nhất có thể là bao nhiêu?

b. Một lớp học có 24 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Cô giáo muốn chia lớp thành các tổ sao cho số học sinh nam và nữ ở mỗi tổ bằng nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu tổ?

Số nguyên tố và hợp số là hai khái niệm toán học cơ bản và quan trọng mà học sinh lớp 6 cần nắm vững. Nắm vững kiến thức về số nguyên tố và hợp số giúp học sinh giải quyết nhanh chóng và chính xác các bài toán liên quan.

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn