Diện tích hình chóp đều bao gồm diện tích mặt đáy và diện tích xung quanh. Việc tính toán diện tích hình chóp đều là một kỹ năng quan trọng trong hình học không gian, có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như kiến trúc, xây dựng, thiết kế.
Hình chóp đều là gì?
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Diện tích hình chóp đều bao gồm diện tích mặt đáy và diện tích xung quanh.
Công thức tính diện tích mặt đáy hình chóp đều
Hình chóp tam giác đều: \(S_{đáy}\) = \( \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \)
Hình chóp tứ giác đều: \(S_{đáy}\) = a²
Hình chóp n – giác đều: \(S_{đáy}\) =\(\frac{n \cdot a^2 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)}{4}\)
Trong đó:
\(S_{đáy}\) là diện tích mặt đáy (cm²)
a là độ dài cạnh đáy (cm)
n là số cạnh của mặt đáy
Công thức tính diện tích xung quanh hình chóp đều
\(S_xq = p * d\)
Trong đó:
\(S_{xq}\) là diện tích xung quanh (cm²)
p là nửa chu vi đáy: \(p = \frac{n \cdot a}{2}\)
d là trung đoạn của hình chóp: \( d = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \)
Công thức tính diện tích toàn phần:
\(S_{tp}\) = \(S_{đáy}\) + \(S_{xq}\)
Ví dụ:
Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy a = 4 cm và chiều cao h = 6 cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
Giải:
Diện tích mặt đáy:
\(S_{đáy}\) = a² = 4² = 16 cm²
Diện tích xung quanh:
\( p = n \times \frac{a}{2} = 4 \times \frac{4}{2} = 8 \, \text{cm} \)
\( d = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{6^2 + \left(\frac{4}{2}\right)^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \, \text{cm} \)
\( S_{xq} = p \times d = 8 \times 2\sqrt{10} = 16\sqrt{10} \, \text{cm}^2 \)
Diện tích toàn phần:
\(S_{tp}\) = \(S_{đáy}\) + \(S_{xq}\) = 16 + 16\(\sqrt{10}\) cm²
Các dạng bài tập về diện tích hình chóp đều
Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình chóp đều
Cho độ dài cạnh đáy và chiều cao của hình chóp đều, tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần.
Cho diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và độ dài cạnh đáy/chiều cao của hình chóp đều, tính độ dài cạnh đáy/chiều cao còn lại.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình chóp đều:
Diện tích xung quanh: \(S_{xq}\) = p * d
Diện tích toàn phần: \(S_{tp}\) = \(S_{đáy}\) + \(S_{xq}\)
Trong đó:
p là nửa chu vi đáy
d là đường trung tuyến
\(S_{đáy}\) là diện tích mặt đáy
Vẽ hình chóp đều và chú thích các yếu tố cần tính toán.
Áp dụng công thức vào bài toán để tính toán diện tích xung quanh, diện tích toàn phần.
Ví dụ:
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy a = 4 cm và chiều cao h = 6 cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình chóp.
Giải:
Diện tích xung quanh:
\( p = n \times a / 2 = 4 \times 4 / 2 = 8 \, \text{cm} \)
\( d = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{6^2 + \left(\frac{4}{2}\right)^2} = 2\sqrt{10} \, \text{cm} \)
\( S_{xq} = p \times d = 8 \times 2\sqrt{10} = 16\sqrt{10} \, \text{cm}^2 \)
Diện tích mặt đáy:
\(S_{đáy}\) = a² = 4² = 16 cm²
Diện tích toàn phần:
\(S_{tp}\) = \(S_{đáy}\) + \(S_{xq}\) = 16 + 16 \(\sqrt{10})\) cm²
Dạng 2: Tính diện tích mặt đáy của hình chóp đều
Cho độ dài cạnh đáy và diện tích xung quanh/diện tích toàn phần của hình chóp đều, tính diện tích mặt đáy.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần, diện tích xung quanh của hình chóp đều:
Diện tích xung quanh: \(S_{xq}\) = p * d
Diện tích toàn phần: \(S_{tp}\) = \(S_{đáy}\) + \(S_{xq}\)
Trong đó:
p là nửa chu vi đáy
d là đường trung tuyến
\(S_{đáy}\) là diện tích mặt đáy
Vẽ hình chóp đều và chú thích các yếu tố cần tính toán.
Áp dụng công thức vào bài toán để tính toán diện tích mặt đáy.
Ví dụ:
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy a và diện tích xung quanh \(S_{xq}\) = 32 cm². Chiều cao của hình chóp là h = 6 cm. Tính diện tích mặt đáy của hình chóp.
Giải:
Diện tích xung quanh:
\(S_{xq}\) = p * d
=> \(32 = 4a \times \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}\)
=> \(a = \sqrt{\frac{32}{4 \times \sqrt{6^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}}}\)
Diện tích mặt đáy:
\(S_{\text{đáy}} = a^2 = \left(\sqrt{\frac{32}{4 \times \sqrt{6^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}}}\right)^2\)
Bài tập trắc nghiệm về diện tích hình chóp đều
Câu 1: Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 5 cm và chiều cao bằng 12 cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp.
A. 80 cm²
B. 100 cm²
C. 120 cm²
D. 140 cm²
Lời giải:
Nửa chu vi đáy: \( p = \frac{5 \times 4}{2} = 10 \, \text{cm} \)
Đường trung tuyến: \( d = \sqrt{12^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{169} = 13 \, \text{cm} \)
Diện tích xung quanh: \(S_{xq}\) = p \(\times\) d = 10 \(\times\) 13 = 130 cm²
Đáp án: C.
Câu 2: Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 6 cm và chiều cao bằng 8 cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
A. 120 cm²
B. 144 cm²
C. 168 cm²
D. 192 cm²
Lời giải:
Diện tích mặt đáy: \(S_{đáy}\) = \( \frac{{6^2 \times \sqrt{3}}}{4} = 9\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \)
Đường trung tuyến: d = \( \sqrt{8^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm} \)
Diện tích xung quanh: \(S_{xq}\) = p \(\times\) d = 3 \(\times\) 10 = 30 cm²
Diện tích toàn phần: \(S_{tp}\) = \(S_{đáy}\) + \(S_{xq}\) = \( 9\sqrt{3} + 30 = 30 + 9\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \)
Đáp án: C.
Câu 3: Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và diện tích xung quanh bằng 32 cm². Chiều cao của hình chóp là h = 6 cm. Tính diện tích mặt đáy của hình chóp.
A. a² = 8 cm²
B. a² = 10 cm²
C. a² = 12 cm²
D. a² = 14 cm²
Lời giải:
Diện tích xung quanh: \(S_{xq}\) = p \(\times\) d
Diện tích mặt đáy: \(S_{đáy}\) = \(S_{tp}\) – \(S_{xq}\)
=> \(a^2 = \left(\frac{32}{4 \times \sqrt{6^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}}\right)^2 – 32\)
Đáp án: D.
Câu 4: Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, A’B’C’D’ là hình vuông cạnh a/2 và AA’ = h. Tính diện tích toàn phần của hình chóp cụt.
A. 2a² + ah
B. 3a² + ah
C. 4a² + ah
D. 5a² + ah
Lời giải:
Diện tích mặt đáy ABCD: \(S_{đáy}\) = a²
Diện tích mặt đáy A’B’C’D’: \(S_{đáy}\)’ =\(\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}\)
Diện tích xung quanh: \(S_{xq}\) = \( (p + p’) \times h = (a + \frac{a}{2}) \times h = \frac{3ah}{2} \)
Diện tích toàn phần: \(S_{tp}\) = \(S_{đáy}\) + \(S_{xq}\) + \(S_{đáy}\)’ = \( a^2 + \frac{3ah}{2} + \frac{a^2}{4} = 5a^2 + ah \)
Đáp án: D.
Hiểu và biết cách tính diện tích hình chóp đều là một kiến thức cơ bản trong hình học không gian.
Kiến thức này có thể được áp dụng trong các bài toán tính toán thể tích, diện tích toàn phần của hình chóp, cũng như các bài toán liên quan đến các hình chóp cụt.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
