Các số chia hết cho 5 là: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50,…
Lấy giao của hai tập hợp trên, ta được 10 số chia hết cho cả 3 và 5 là: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150.
Bài 2: Hãy kiểm tra xem số 123456789 có chia hết cho 3 và 9 hay không.
Lời giải:
Ta có: Tổng các chữ số của số 123456789 là: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.
45 chia hết cho 3 và 9.
Vậy, số 123456789 chia hết cho cả 3 và 9.
Bài 3:
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 1 + 2 + 3 + … + n chia hết cho 3.
Lời giải:
Ta có:
1 + 2 + 3 = 6 chia hết cho 3.
1 + 2 + 3 + 4 = 10 không chia hết cho 3.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 chia hết cho 3.
Vậy, n nhỏ nhất sao cho 1 + 2 + 3 + … + n chia hết cho 3 là n = 3.
Bài 4: Chứng minh rằng:
Một số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
Một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
Lời giải:
Giả sử số a chia hết cho 3.
Ta có thể viết a dưới dạng: a = 3k (k là số tự nhiên).
Khi đó, tổng các chữ số của a là:
S = a1 + a2 + … + an = 3k1 + 3k2 + … + 3kn = 3(k1 + k2 + … + kn)
Vì k1, k2, …, kn là các số tự nhiên nên k1 + k2 + … + kn là số tự nhiên.
Vậy, S chia hết cho 3.
Chứng minh 2:
Giả sử số a có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Khi đó, ta có:
S = a1 + a2 + … + an = 3m (m là số tự nhiên).
Ta có thể viết a dưới dạng:
\(a = 10^n \times a_1 + 10^(n-1) \times a_2 + … + 10 \times an + a_0\)
= \((10^{n – 1}) \times a_1 + (10^(n-1) – 1) \times a_2 + … + (10 – 1) \times an + (a_1 + a_2 + … + an)\)
= \(9 \times (10^{n – 1}) \times a_1 + 10^{n – 2} \times a_2 + … + a_0) + 3m\)
Vì \(10^{n – 1} \times a_1, 10^{n – 2} * a_2, …, a_0\) là các số tự nhiên nên \(9 \times (10^{n – 1} \times a1 + 10^{n – 2} \times a_2 + … + a_0)\) chia hết cho 3.
Vậy, a chia hết cho 3.
Bài 1:
Tìm 10 số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Tìm 10 số chia hết cho 9.
Bài 2: Kiểm tra xem các số sau có chia hết cho 3 và 9 hay không:
12345
234567
3456789
Bài 3: Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho 1 + 2 + 3 + … + n không chia hết cho 3.
Bài 4: Chứng minh rằng:
Một số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
Bài 5:Cho A = 123 + 456 + 789 + 101112.
Chứng minh rằng A chia hết cho 3.
Tìm số dư khi chia A cho 9.
Bài 6:
Tìm chữ số x để số 123×4 chia hết cho 3.
Tìm chữ số x để số 123×4 chia hết cho 9.
Bài 7: Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng:
n + 3n chia hết cho 3.
n + 4n chia hết cho 3.
n + 6n chia hết cho 3.
n + 7n chia hết cho 3.
Bài 8: Cho A = 1 + 2 + 3 + … + n. Chứng minh rằng:
Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 3.
Nếu A chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3.
Nếu A chia hết cho 9 thì n chia hết cho 9.
Bài 9:
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 1 + 2 + 3 + … + n chia hết cho 9.
Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho 1 + 2 + 3 + … + n chia hết cho 9.
Bài 10: Chứng minh rằng:
Một số có tổng các chữ số chia hết cho 12 thì chia hết cho 3.
Một số có tổng các chữ số chia hết cho 12 thì chia hết cho 9.
Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9 là một kiến thức toán học cơ bản và quan trọng, giúp ta kiểm tra nhanh chóng một số có chia hết cho 3, 9 hay không mà không cần thực hiện phép chia. Dấu hiệu này có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
Với niềm đam mê mãnh liệt đối với toán học, tôi luôn mong muốn truyền tải kiến thức và khơi gợi niềm yêu thích môn học này cho thế hệ trẻ. Tôi luôn tận tâm trong công việc giảng dạy, sử dụng phương pháp giảng dạy sáng tạo và hiệu quả để giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách dễ dàng và hứng thú. Với những thành tựu xuất sắc trong lĩnh vực toán học, tôi đã nhận được nhiều giải thưởng danh giá và được cộng đồng khoa học đánh giá cao. Tôi là nguồn cảm hứng và tấm gương sáng cho các thế hệ học sinh và sinh viên yêu thích toán học.