Tổng hợp lý thuyết bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) là một khái niệm toán học cơ bản và quan trọng được học sinh lớp 6 tiếp cận. Nắm vững kiến thức về BCNN giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến chia hết, so sánh, tìm số,… Bài viết này sẽ trình bày khái niệm, tính chất, cách tìm và ứng dụng của BCNN trong toán học.

Định nghĩa bội chung nhỏ nhất 

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Ký hiệu:

BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Ví dụ: BCNN(12, 18) = 36.

Tính chất của bội chung nhỏ nhất

  • Nếu a ⋮ b và b ⋮ c thì a ⋮ bc.
  • BC(a, b) ⊇ B(a) và BC(a, b) ⊇ B(b).
  • a ⋮ m và b ⋮ m thì m ⋮ BCNN(a, b).
  • a.b = ƯC(a, b) . BCNN(a, b).

Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Phương pháp liệt kê: Liệt kê các bội của từng số, chọn ra số chung nhỏ nhất khác 0.

Phương pháp phân tích số ra thừa số nguyên tố:

  • Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
  • Bước 2: Chọn ra các thừa số chung và riêng.
  • Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Lúc này, tích đó chính là BCNN đang tìm.

Sử dụng máy tính: Nhiều máy tính có chức năng tìm BCNN của hai hay nhiều số.

Các dạng bài tập tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Dạng 1: Tìm BCNN của hai hay nhiều số.

Phương pháp giải:

Phương pháp liệt kê: Liệt kê các bội của từng số, chọn ra số chung nhỏ nhất khác 0.

Phương pháp phân tích số ra thừa số nguyên tố:

Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Lúc này, tích đó chính là BCNN đang tìm.

Sử dụng máy tính: Nhiều máy tính có chức năng tìm BCNN của hai hay nhiều số.

Ví dụ: Tìm BCNN(12, 18):

Phương pháp liệt kê:

B(12) = {0, 12, 24, 36, 48, …}.

B(18) = {0, 18, 36, 54, 72, …}.

BCNN(12, 18) = 36.

Phương pháp phân tích số ra thừa số nguyên tố:

\(12 = 2^2 \times 3\)

\(18 = 2 \times 3^2\).

BCNN(12, 18) = \(2^2 \times 3^2 = 36\)

Dạng 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho nhiều số

Phương pháp giải:

Tìm BCNN của các số đã cho.

Số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho nhiều số là BCNN của các số đó.

Ví dụ: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 2, 3, 5.

Giải:

BCNN(2, 3, 5) = \(2 \times 3 \times 5 = 30\).

Vậy, số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 2, 3, 5 là 30.

Dạng 3: Giải bài toán liên quan đến chia hết và tìm BCNN

Phương pháp giải:

Phân tích đề bài, xác định yêu cầu của bài toán.

Tìm BCNN của các số liên quan.

Sử dụng kiến thức về chia hết để giải bài toán.

Ví dụ: Một lớp học có 24 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Cô giáo muốn chia lớp thành các tổ sao cho số học sinh nam và nữ ở mỗi tổ bằng nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu tổ?

Giải:

Để chia số học sinh nam và nữ vào các tổ bằng nhau, ta cần tìm số tổ là ước chung của 24 và 18.

BCNN(24, 18) = 72.

Vậy, có thể chia được nhiều nhất 72 tổ.

Bài tập tìm BCNN có lời giải chi tiết

Bài 1: Tìm BCNN của 12, 15 và 20.

Giải:

Cách 1: Liệt kê các bội của 12, 15 và 20.

B(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, …}.

B(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, …}.

B(20) = {0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, …}.

Ta thấy 60 là số chung nhỏ nhất khác 0 của 12, 15 và 20.

Cách 2: Phân tích 12, 15 và 20 ra thừa số nguyên tố.

\(12 = 2^2 \times 3\).

\(15 = 3 \times 5\).

\(20 = 2^2 \times 5\).

BCNN(12, 15, 20) = \(2^2 \times 3 \times 5 = 60\).

Vậy, BCNN(12, 15, 20) = 60.

Bài 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 3, 4 và 5.

Giải:

Ta cần tìm BCNN của 3, 4 và 5.

3 = 3.

\(4 = 2^2\).

5 = 5.

BCNN(3, 4, 5) = \(2^2 \times 3 \times 5 = 60\).

Vậy, số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 3, 4 và 5 là 60.

Bài 3: Một lớp học có 24 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Cô giáo muốn chia lớp thành các tổ sao cho số học sinh nam và nữ ở mỗi tổ bằng nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu tổ?

Giải:

Để chia số học sinh nam và nữ vào các tổ bằng nhau, ta cần tìm số tổ là ước chung của 24 và 18.

\(24 = 2^3 \times 3\).

\(18 = 2 \times 3^2\).

BCNN(24, 18) = \(2^3 \times 3^2 = 72\)

Vậy, có thể chia được nhiều nhất 72 tổ.

Đáp số: 72 tổ.

Bài 4: Tìm hai số tự nhiên a và b (a > b) biết a + b = 42 và BCNN(a, b) = 168.

Giải:

Gọi d = ƯCLN(a, b).

Theo tính chất của ước chung và bội chung, ta có:

ab = d . BCNN(a, b) = 168d.

a + b = d . (a/d + b/d) = d . [BCNN(a, b) / d] = 168.

Vậy, d là ước số của 168.

Ta có: \(168 = 2^3 \times 3 \times 7\).

Do a > b nên a/b > 1.

Suy ra: \(d = 2^3 = 8\).

Từ đó, ta có:

a = 8m.

b = 8n.

m > n và (m, n) = 1.

a + b = 8m + 8n = 42.

m + n = 42/8 = 5,25.

Vì m và n là số tự nhiên nên m + n = 5.

Ta có các cặp giá trị (m, n) thỏa mãn là (4, 1) và (5, 0).

Vậy, (a, b) = (32, 8) và (40, 0).

Đáp số: (a, b) = (32, 8) và (40, 0).

Luyện tập

Bài 1: Tìm BCNN của 15, 20 và 25.

Bài 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 2, 5, và 7.

Bài 3: Một lớp học có 28 học sinh nam và 21 học sinh nữ. Cô giáo muốn chia lớp thành các tổ sao cho số học sinh nam và nữ ở mỗi tổ bằng nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu tổ?

Bài 4: Tìm hai số tự nhiên a và b (a > b) biết a – b = 12 và BCNN(a, b) = 180.

Bài 5: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất biết n chia hết cho 11 và 13 và n chia 5 dư 1.

Bài 6: Tìm ba số tự nhiên a, b, c biết a + b + c = 420 và BCNN(a, b, c) = 720.

Bội chung nhỏ nhất là một khái niệm toán học cơ bản và quan trọng mà học sinh lớp 6 cần nắm vững. Nắm vững kiến thức về bội chung nhỏ nhất giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến chia hết, so sánh, tìm số,…

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn