Ứng dụng của Tích phân là một phép toán toán học quan trọng có nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật và kinh tế. Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của tích phân là tính diện tích hình phẳng.
Bài viết này sẽ giới thiệu về cách sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và một số ví dụ cụ thể.
Ứng dụng của tích phân vào vào tính diện tích hình phẳng
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên [a,b]. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và 2 đường thẳng x = a, x = b là:
Tính thể tích của khối tròn xoay
Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a,b].
Thể tích khối tròn xoay
Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox:
Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục hoành và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy:
Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox:
Ứng dụng của tích phân vào tính diện tích hình phẳng
Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), Ox, x = a, x = b.
Giải theo phương pháp tự luận: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân để tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối.
+) Tính chất: Hàm số y = f (x) liên tục trên K và a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó, ta có
Phương pháp trắc nghiệm:
Xác định các yếu tố cần thiết như công thức y = f(x), Ox, x = a, x = b.
Sử dụng chức năng tính tích phân có sẵn trong máy tính Casio để tính.
Chú ý: Nếu đề bài chưa cho x = a, x = b thì ta cần giải phương trình hoành độ giao điểm
f(x) = 0 để tìm cận tích phân.
Bài tập
Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y = g(x), x = a, x = b
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: (G): y = f(x) (C): y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b được xác 1 định bởi công thức: S = f(x)-g(x)dx.
Chú ý: Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:
* Giải phương trình: f(x) = g(x) tìm nghiệm x, x, x, ∈ (a,b), (x < x < … < xn).
Bài tập tự luyện
Ứng dụng của tích phân là một công cụ toán học mạnh mẽ để tính diện tích hình phẳng và có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Bài viết này chỉ giới thiệu một số ứng dụng cơ bản của tích phân trong tính diện tích hình phẳng. Bạn đọc có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng khác của tích phân trong các tài liệu chuyên ngành.
