Khối lăng trụ tam giác đều là một trong những hình khối cơ bản trong toán học. Thể tích khối lăng trụ tam giác đều là một khái niệm quan trọng được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực thực tế.
Lý thuyết khối lăng trụ tam giác đều
Khối lăng trụ tam giác đều là khối lăng trụ có đáy là tam giác đều và các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau.
Tính chất
Các cạnh bên của lăng trụ tam giác đều bằng nhau.
Các đường chéo của mặt đáy lăng trụ tam giác đều bằng nhau.
Lăng trụ tam giác đều có tâm đối xứng là giao điểm của ba đường trung tuyến.
Công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều
$$V = B.h$$
trong đó:
V là thể tích khối lăng trụ tam giác đều.
B là diện tích đáy (diện tích tam giác đều).
h là chiều cao của lăng trụ.
Công thức tính diện tích tam giác đều
\(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
trong đó:
S là diện tích tam giác đều.
a là độ dài cạnh của tam giác đều.
Công thức tính chiều cao của lăng trụ tam giác đều
\(h = \frac{d\sqrt{3}}{2}\)
trong đó:
h là chiều cao của lăng trụ tam giác đều.
d là độ dài đường chéo của mặt đáy lăng trụ tam giác đều.
Các dạng bài tập về thể tích khối lăng trụ tam giác đều
Dạng 1: Cho độ dài cạnh đáy và chiều cao của khối lăng trụ tam giác đều, tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều.
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức: V = B.h, trong đó B là diện tích đáy và h là chiều cao.
Diện tích đáy được tính bằng công thức: \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), trong đó a là độ dài cạnh của tam giác đều.
Ví dụ:
Cho một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy a = 5cm và chiều cao h = 10cm. Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều.
Bài giải:
Diện tích đáy của lăng trụ là:
\( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2\)
Thể tích của lăng trụ là:
\( V = B \cdot h = \left(\frac{25\sqrt{3}}{4}\right) \times 10 = 62.5\sqrt{3} \text{ cm}^3\)
Dạng 2: Cho một số thông tin về các yếu tố của khối lăng trụ tam giác đều (như đường chéo, góc giữa các cạnh), tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều.
Phương pháp giải:
Sử dụng các mối quan hệ giữa các yếu tố của lăng trụ tam giác đều để tính độ dài cạnh đáy hoặc chiều cao.
Áp dụng công thức: V = B.h, trong đó B là diện tích đáy và h là chiều cao.
Ví dụ:
Cho một khối lăng trụ tam giác đều có đường chéo đáy d = 10cm và chiều cao h = 8cm. Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều.
Bài giải:
Độ dài cạnh đáy của lăng trụ là:
\( a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ cm}\)
Diện tích đáy của lăng trụ là:
\( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{3} \text{ cm}^2\)
Thể tích của lăng trụ là:
\( V = B \cdot h = \left(\frac{100\sqrt{3}}{3}\right) \times 8 = 800\sqrt{3} \text{ cm}^3\)
Dạng 3: Cho bài toán thực tế liên quan đến thể tích khối lăng trụ tam giác đều.
Phương pháp giải:
Mô hình hóa bài toán thành bài toán về thể tích khối lăng trụ tam giác đều.
Áp dụng các công thức và phương pháp giải đã học để tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều.
Ví dụ:
Một chiếc hộp hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy a = 10cm và chiều cao h = 15cm. Người ta muốn sơn toàn bộ mặt ngoài của chiếc hộp. Tính diện tích cần sơn.
Bài giải:
Diện tích cần sơn là diện tích toàn phần của chiếc hộp.
Diện tích một mặt bên của chiếc hộp là:
\( S_1 = a.h = 10 * 15 = 150 cm²\)
Diện tích đáy của chiếc hộp là:
\( S_2 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \text{ cm}^2\)
Diện tích toàn phần của chiếc hộp là:
\( S = 2S_1 + 2S_2 = 2 \times 150 + 2 \times 25\sqrt{3} = 300 + 50\sqrt{3} \text{ cm}^2\)
Bài tập có lời giải về thể tích khối lăng trụ tam giác đều
Bài 1:
Cho một khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a = 5cm và chiều cao h = 10cm. Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều.
Lời giải:
Diện tích đáy của lăng trụ là:
\( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2\)
Thể tích của lăng trụ là:
\( V = B \cdot h = \left(\frac{25\sqrt{3}}{4}\right) \times 10 = 62.5\sqrt{3} \text{ cm}^3\)
Bài 2:
Cho một khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có đường chéo đáy d = 10cm và chiều cao h = 8cm. Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều.
Lời giải:
Độ dài cạnh đáy của lăng trụ là:
\( a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ cm}\)
Diện tích đáy của lăng trụ là:
\( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{3} \text{ cm}^2\)
Thể tích của lăng trụ là:
\( V = B \cdot h = \left(\frac{100\sqrt{3}}{3}\right) \times 8 = 800\sqrt{3} \text{ cm}^3\)
Bài 3:
Một chiếc hộp hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy a = 10cm và chiều cao h = 15cm. Người ta muốn sơn toàn bộ mặt ngoài của chiếc hộp. Tính diện tích cần sơn.
Lời giải:
Diện tích cần sơn là diện tích toàn phần của chiếc hộp.
Diện tích một mặt bên của chiếc hộp là:
\( S_1 = a.h = 10 * 15 = 150 cm²\)
Diện tích đáy của chiếc hộp là:
\( S_2 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \text{ cm}^2\)
Diện tích toàn phần của chiếc hộp là:
\( S = 2S_1 + 2S_2 = 2 * 150 + 2 * 25√3 = 300 + 50√3 cm²\)
Bài 4:
Cho một khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a = 6cm và góc giữa cạnh bên AA’ và mặt đáy bằng 60°. Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều.
Lời giải:
Chiều cao của lăng trụ là:
\( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} \text{ cm}\)
Diện tích đáy của lăng trụ là:
\( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2\)
Thể tích của lăng trụ là:
\( V = B \cdot h = (9\sqrt{3}) \times \left(\frac{6\sqrt{3}}{2}\right) = 81 \text{ cm}^3\)
Bài 5:
Cho một khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a = 5cm và đường cao AA’ = 10cm. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích của khối chóp G.A’B’C’.
Lời giải:
Thể tích của khối chóp G.A’B’C’ bằng 1/3 thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
\( V = B \cdot h = \left(\frac{5^2\sqrt{3}}{4}\right) \times 10 = 62.5\sqrt{3} \text{ cm}^3\)
Thể tích của khối chóp G.A’B’C’ là:
\( V’ = \frac{V}{3} = \frac{62.5\sqrt{3}}{3} \approx 20.83\sqrt{3} \text{ cm}^3\)
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích về thể tích khối lăng trụ tam giác đều. Hãy tiếp tục học tập và nghiên cứu để trau dồi kiến thức toán học của bạn.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
