Thể tích khối chóp là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong hình học không gian. Việc tính toán thể tích khối chóp có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như tính toán lượng vật liệu xây dựng cho một công trình, tính toán dung tích của một thùng chứa,…
Khối chóp là gì?
Khối chóp là một phần không gian được giới hạn bởi mặt đáy và các mặt bên là những tam giác chung đỉnh.
Các phần tử của khối chóp
Đỉnh: Là điểm chung của các mặt bên.
Mặt đáy: Là mặt bất kỳ của khối chóp.
Cạnh bên: Là cạnh chung của hai mặt bên.
Chiều cao: Là đường thẳng vuông góc kẻ từ đỉnh đến mặt đáy.
Phân loại khối chóp
Theo hình dạng mặt đáy:
Chóp tam giác: Có đáy là tam giác.
Chóp tứ giác: Có đáy là tứ giác.
…
Theo vị trí của cạnh bên so với mặt đáy:
Chóp đứng: Có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Chóp xiên: Có các cạnh bên không vuông góc với mặt đáy.
Công thức tính thể tích khối chóp
\(V = (\frac{1}{3}) . B . h \)
Trong đó:
V là thể tích của khối chóp.
B là diện tích mặt đáy của khối chóp.
h là chiều cao của khối chóp.
Công thức tính thể tích khối chóp tam giác đều
Thể tích của khối chóp tam giác đều được tính bằng công thức:
V = \(\frac{1}{12} \sqrt{2} \times a^3\)
Trong đó:
a là cạnh đáy của khối chóp tam giác đều.
Công thức tính thể tích khối chóp tứ giác đều
Thể tích của khối chóp tứ giác đều được tính bằng công thức:
V = \(\frac{1}{3} \times a^2 \times h\)
Trong đó:
a là cạnh đáy của khối chóp tứ giác đều.
h là chiều cao của khối chóp tứ giác đều.
Các dạng bài tập về thể tích của khối chóp
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính diện tích mặt đáy của khối chóp.
Bước 2: Tính chiều cao của khối chóp.
Bước 3: Áp dụng công thức V = \((\frac{1}{3}) . B . h\) để tính thể tích của khối chóp.
Ví dụ:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy cùng với SA = 5cm. Hãy tính thể tích của khối chóp S. ABC.
Lời giải:
Diện tích mặt đáy ABC là: S = \((\frac{1}{2}).AB.AC = (\frac{1}{2}).3.4 = 6 cm²\).
Chiều cao của khối chóp là SA = 5cm.
Thể tích của khối chóp là: V = \((\frac{1}{3}).B.h =(\frac{1}{3}).6.5 = 10 cm³\).
Dạng 2: Tính thể tích khối chóp có mặt bên là tam giác cân tại S và vuông góc với đáy
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính diện tích mặt đáy của khối chóp.
Bước 2: Tính chiều cao của khối chóp.
Bước 3: Áp dụng công thức V = \((\frac{1}{3}) . B. h\) để tính thể tích của khối chóp.
Ví dụ:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy cùng với SA = 5cm. Gọi H là trung điểm của AB. Chứng minh rằng SH vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Lời giải:
Diện tích mặt đáy ABC là: S = \((\frac{1}{2}).AB.AC = (\frac{1}{2}).3.4 = 6 cm²\).
Chiều cao của khối chóp là SA = 5cm.
Thể tích của khối chóp là: V = \((\frac{1}{3}).B.h = (\frac{1}{3}).6.5 = 10 cm³\).
Dạng 3: Tính thể tích khối chóp có hình chiếu của S trên mặt đáy là điểm H
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính diện tích mặt đáy của khối chóp.
Bước 2: Tính chiều cao của khối chóp.
Bước 3: Áp dụng công thức V = \((\frac{1}{3}) .B.h\) để tính thể tích của khối chóp.
Ví dụ:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a, cạnh bên SA = 2a và hình chiếu của S trên mặt đáy (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH = HB = a/2. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
Diện tích mặt đáy ABCD là: S = a².
Chiều cao của khối chóp là \(SH = \sqrt{(SA^2 – AH^2)} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = a \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}\).
Thể tích của khối chóp là: V = \(\left(\frac{1}{3}\right) \cdot B \cdot h = \left(\frac{1}{3}\right) \cdot a^2 \cdot a \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = a^3\sqrt{\frac{3}{6}}\).
Dạng 4: Tính thể tích khối chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính diện tích mặt đáy của khối chóp.
Bước 2: Tính chiều cao của khối chóp.
Bước 3: Áp dụng công thức V = \((\frac{1}{3}) .B.h\) để tính thể tích của khối chóp.
Ví dụ:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H là hình chiếu của S trên mặt đáy (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
Diện tích mặt đáy ABCD là: S = AB.BC = 2a².
Bài tập vận dụng
Bài 1:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt bên SAC là tam giác đều. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 2:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và cạnh bên SA = 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích của khối chóp S.ABM.
Bài 3:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H là hình chiếu của S trên mặt đáy (ABCD). Chứng minh rằng SH vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Bài 4:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh đáy bằng a và góc BAD bằng 60°. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = 2a. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt đáy (ABCD).
a) Chứng minh rằng HC = 2HB.
b) Tính thể tích của khối chóp S.HAB.
Bài 5:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và cạnh bên SA = a√2. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Tính thể tích của khối chóp S.AOD.
Hướng dẫn giải
Bài 1:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt bên SAC là tam giác đều.
Lời giải:
Diện tích mặt đáy ABC là: S = \(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ cm}²\)
Chiều cao của khối chóp là \(SA = \frac{SC}{\sqrt{3}}\) (với SC là cạnh bên của tam giác đều SAC).
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác SAC vuông tại A, ta có: SC² = SA² + AC² = 3² + 4² = 25.
Do đó, SA = \(\frac{SC}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}\)
Thể tích của khối chóp là: V = \(\frac{1}{3} \cdot B \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right) = \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{cm}^3\)
Bài 2:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và cạnh bên SA = 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
Lời giải:
Diện tích mặt đáy ABCD là: S = a².
Chiều cao của khối chóp S.ABM là SM = \(\frac{SA}{3} = \frac{2a}{3}\)
Thể tích của khối chóp là: V = \(\frac{1}{3} \cdot B \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \left(\frac{2a}{3}\right) = \frac{a^3\sqrt{2}}{18}\)
Bài 3:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H là hình chiếu của S trên mặt đáy (ABCD). Chứng minh rằng SH vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Lời giải:
Ta có: AH vuông góc với BC (do AB vuông góc với BC) và SH vuông góc với BC (do SA vuông góc với (ABCD)).
Do đó, AH vuông góc với (SBC).
Mặt khác, SH thuộc (SBC).
Vậy, SH vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Bài 4:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh đáy bằng a và góc BAD bằng 60°. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = 2a. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt đáy (ABCD).
a) Chứng minh rằng HC = 2HB.
Lời giải:
Ta có: AH vuông góc với BC (do SA vuông góc với (ABCD)) và HD vuông góc với BC (do HC là đường cao của hình thoi ABCD).
Do đó, AH // HD.
Theo định lý Talet, ta có:
\(\frac{HC}{HB} = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{1} = 2\)
Vậy, HC = 2HB.
b) Tính thể tích của khối chóp S.HAB.
Lời giải:
Diện tích mặt đáy HAB là: \(\frac{1}{2} \cdot AH \cdot HB =\frac{1}{2} \cdot a\sqrt{3} \cdot \left(\frac{a}{2}\right) = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
Chiều cao của khối chóp S.HAB là SH = SA = 2a.
Thể tích của khối chóp là:V = \(\frac{1}{3} \cdot B \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot 2a = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}\)
Bài 5:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và cạnh bên SA = a√2. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Lời giải:
Diện tích mặt đáy ABCD là: S = a².
Chiều cao của khối chóp S.AOD là SO = \(\frac{SA}{\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}\).
Thể tích của khối chóp là: V = \(\frac{1}{3} \cdot B \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right) = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}\)
Bài tập trắc nghiệm về thể tích khối chóp
Câu 1:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và cạnh bên SA = 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích của khối chóp S.ABM.
A. \(\frac{a^3\sqrt{2}}{18}\)
B. \(\frac{a^3\sqrt{2}}{9}\)
C. \(\frac{a^3\sqrt{3}}{6}\)
D. \(\frac{a^3\sqrt{3}}{12}\)
Đáp án: A
Câu 2:Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H là hình chiếu của S trên mặt đáy (ABCD). Chứng minh rằng SH vuông góc với mặt phẳng (SBC).
A. Đúng
B. Sai
Đáp án: A
Câu 3:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và cạnh bên SA = a\sqrt{2}. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Tính thể tích của khối chóp S.AOD.
A. \(\frac{a^3\sqrt{2}}{6}\)
B. \(\frac{a^3\sqrt{3}}{6}\)
C. \(\frac{a^3\sqrt{2}}{12}\)
D. \(\frac{a^3\sqrt{3}}{12}\)
Đáp án: A
Câu 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt bên SAC là tam giác đều. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
A. \(\frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ cm}^3\)
B. \(\frac{20\sqrt{3}}{3} \text{ cm}^3\)
C. \(\frac{10\sqrt{2}}{3} \text{ cm}^3\)
D. \(\frac{20\sqrt{2}}{3} \text{ cm}^3\)
Đáp án: A
Câu 5: Tính thể tích của một khối chóp có đáy là một tam giác vuông có cạnh đáy bằng 4 cm và đỉnh chóp cách mặt đáy 6 cm.
A. 8 cm³
B. 12 cm³
C. 16 cm³
D. 24 cm³
Đáp án: B. 12 cm³
Câu 6:: Tính thể tích của một khối chóp có đáy là hình vuông có cạnh bằng 5 cm và đỉnh chóp cách mặt đáy 8 cm.
A. 40 cm³
B. 60 cm³
C. 80 cm³
D. 100 cm³
Đáp án: C. 80 cm³
Câu 7:: Tính thể tích của một khối chóp có đáy là một tam giác đều có cạnh bằng 6 cm và đỉnh chóp cách mặt đáy 4 cm.
A. 8√3 cm³
B. 12√3 cm³
C. 16√3 cm³
D. 24√3 cm³
Đáp án: B. 12√3 cm³
Câu 8:: Tính thể tích của một khối chóp có đáy là hình tam giác vuông có cạnh đáy bằng 7 cm và đỉnh chóp cách mặt đáy 10 cm.
A. 70 cm³
B. 140 cm³
C. 210 cm³
D. 280 cm³
Đáp án: B. 140 cm³
Câu 9:: Tính thể tích của một khối chóp có đáy là một tam giác cân có cạnh đáy bằng 8 cm và chiều cao của chóp là 12 cm.
A. 64 cm³
B. 96 cm³
C. 128 cm³
D. 192 cm³
Đáp án: B. 96 cm³
Dưới đây là một bài tập trắc nghiệm về thể tích khối chóp:
Câu 10: Tính thể tích của một khối chóp có đáy là một tam giác đều có cạnh bằng 10 cm và đỉnh chóp cách mặt đáy 5 cm.
A. 50√3 cm³
B. 75√3 cm³
C. 100√3 cm³
D. 125√3 cm³
Đáp án: A. 50√3 cm³
Việc nắm vững các phương pháp tính thể tích khối chóp là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian. Ngoài ra, học sinh cũng cần rèn luyện kỹ năng tính toán và tư duy logic để có thể giải quyết các bài toán một cách chính xác và hiệu quả.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
