Thể tích khối bát diện đều là một hình khối đặc biệt với 8 mặt tam giác đều và 12 cạnh bằng nhau. Hiểu về thể tích của khối bát diện đều là điều cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến hình khối này trong toán học và các lĩnh vực khác.
Khái niệm khối bát diện đều
Khối bát diện đều là hình khối được tạo thành bởi hai khối chóp tứ giác đều ghép lại với nhau.
Đặc điểm của khối bát diện đều
Có 8 mặt là 8 tam giác đều.
Có 12 cạnh bằng nhau.
Có 6 đỉnh.
Công thức tính thể tích khối bát diện đều
\(V = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}\)
trong đó:
V là thể tích của khối bát diện.
a là cạnh của khối bát diện.
Công thức tính diện tích toàn phần
\( S = 4a^2\sqrt{3} \)
trong đó:
S là diện tích toàn phần của khối bát diện.
a là cạnh của khối bát diện.
Cách chia khối bát diện đều thành các khối chóp tứ giác đều
Có thể chia khối bát diện đều thành hai khối chóp tứ giác đều bằng cách cắt qua tâm của khối bát diện và các điểm chính giữa của các cạnh.
Bài tập về thể tích khối bát diện đều có lời giải
Bài 1: Cho một khối bát diện đều có cạnh a = 5cm. Tính thể tích và diện tích toàn phần của khối bát diện.
Giải:
\(V = \frac{a^3\sqrt{2}}{3} = \frac{5^3\sqrt{2}}{3} = \frac{50\sqrt{2}}{3} \, \text{cm}^3\)
\(S = 4a^2\sqrt{3} = 4 \times 5^2\sqrt{3} = 100\sqrt{3} \, \text{cm}^2\)
Bài 2: Cho một khối bát diện đều có thể tích \(V = 50\sqrt{2}/3 cm³\). Tính cạnh của khối bát diện.
Giải:
\(V = \frac{a^3\sqrt{2}}{3} \Rightarrow a^3 = \frac{3V}{\sqrt{2}} = \frac{3 \times 50\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = 50 \, \text{cm}^3\).
\(a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \, \text{cm}\).
Bài 3: Cho một khối bát diện đều được tạo thành bởi việc quay một hình vuông có cạnh a = 6cm xung quanh một trục. Tính thể tích của khối bát diện.
Giải:
Đường chéo của hình vuông: \(d = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 5 \times 2 = 10 \, \text{cm}\).
Cạnh của khối bát diện: \(a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6 \, \text{cm}\).
Thể tích của khối bát diện: \(V = \frac{a^3\sqrt{2}}{3} = \frac{6^3\sqrt{2}}{3} = 216\sqrt{2} \, \text{cm}^3\).
Bài 4: Một viên kim cương có hình dạng khối bát diện đều với cạnh a = 1cm. Thể tích của viên kim cương là:
Giải:
\(V = \frac{a^3\sqrt{2}}{3} = \frac{1^3\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3} \, \text{cm}^3\).
Bài tập trắc nghiệm về thể tích khối bát diện đều
Câu 1: Khối bát diện đều cạnh a có thể tích bằng:
\(\text{A. } \frac{a^3\sqrt{2}}{3} \)
\(\text{B. } \frac{a^3\sqrt{3}}{2} \)
\(\text{C. } \frac{2a^3\sqrt{2}}{3} \)
\(\text{D. } \frac{a^3\sqrt{6}}{3}\)
Câu 2: Khối bát diện đều có bao nhiêu mặt?
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
Câu 3: Diện tích toàn phần của khối bát diện đều cạnh a bằng:
\(\text{A. } 4a^2\sqrt{2} \)
\(\text{B. } 4a^2\sqrt{3} \)
\(\text{C. } 8a^2\sqrt{2} \)
\(\text{D. } 8a^2\sqrt{3}\)
Câu 4: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và cạnh bên SA = 2a. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:
\(\text{A. } \frac{a^3\sqrt{2}}{3} \)
\(\text{B. } \frac{a^3\sqrt{3}}{6} \)
\(\text{C. } \frac{a^3\sqrt{2}}{6} \)
\(\text{D. } \frac{a^3\sqrt{3}}{2}\)
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Thể tích của khối chóp S.AMNC bằng:
\(\text{A. } \frac{a^3\sqrt{2}}{12} \)
\(\text{B. } \frac{a^3\sqrt{3}}{12} \)
\(\text{C. } \frac{a^3\sqrt{2}}{6} \)
\(\text{D. } \frac{a^3\sqrt{3}}{6}\)
Câu 6: Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a và cạnh bên AA’ = a\sqrt{3}. Gọi M là trung điểm của cạnh AA’. Thể tích của khối chóp M.ABCD’ bằng:
\(\text{A. } \frac{a^3\sqrt{2}}{12} \)
\(\text{B. } \frac{a^3\sqrt{3}}{12} \)
\(\text{C. } \frac{a^3\sqrt{2}}{4} \)
\(\text{D. } \frac{a^3\sqrt{3}}{4}\)
Câu 7: Cho khối tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a, BC = BD = a\sqrt{2} và CD = 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Thể tích của khối tứ diện AMCD bằng:
\(\text{A. } \frac{a^3\sqrt{2}}{12} \)
\(\text{B. } \frac{a^3\sqrt{3}}{12} \)
\(\text{C. } \frac{a^3\sqrt{2}}{6} \)
\(\text{D. } \frac{a^3\sqrt{3}}{6}\)
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60° và SA = SB = SC = SD = a\sqrt{3}. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Thể tích của khối chóp S.MCD bằng:
\(\text{A. } \frac{a^3\sqrt{2}}{12} \)
\(\text{B. } \frac{a^3\sqrt{3}}{12} \)
\(\text{C. } \frac{a^3\sqrt{2}}{6} \)
\(\text{D. } \frac{a^3\sqrt{3}}{6}\)
Câu 9: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Thể tích của khối chóp M.ABC’D’ bằng:
\(\text{A. } \frac{abc}{2} \)
\(\text{B. } \frac{abc}{3} \)
\(\text{C. } \frac{abc}{4} \)
\(\text{D. } \frac{abc}{6}\)
Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’ = a\sqrt{2} và góc giữa cạnh bên AA’ và mặt phẳng đáy bằng 60°. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Thể tích của khối chóp M.A’BC bằng:
\(\text{A. } \frac{a^3\sqrt{2}}{12} \)
\(\text{B. } \frac{a^3\sqrt{3}}{12} \)
\(\text{C. } \frac{a^3\sqrt{2}}{6} \)
\(\text{D. } \frac{a^3\sqrt{3}}{6}\)
Đáp án:
- A
- B
- B
- B
- D
- C
- D
- A
- B
- C
Thể tích khối bát diện đều là một khái niệm quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Việc nắm vững công thức tính thể tích và phương pháp giải các bài toán liên quan đến khối bát diện đều là điều cần thiết cho học sinh, sinh viên và những người làm việc trong lĩnh vực kỹ thuật.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
