Thể tích hình trụ là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Hiểu rõ về cách tính thể tích hình trụ sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và hiệu quả. Bài viết này sẽ trình bài nội dung bao gồm định nghĩa và các dạng bài tập liên quan đến hình trụ, nhằm giúp học sinh nắm được đầy đủ kiến thức về hình trụ.
Định nghĩa hình trụ
Hình trụ là hình có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song, được nối với nhau bởi một mặt xung quanh là một hình chữ nhật.
Các yếu tố
Chiều cao (h): Là khoảng cách giữa hai đáy.
Bán kính đáy (r): Là khoảng cách từ tâm hình tròn đáy đến một điểm bất kỳ trên đường tròn đáy.
Đường sinh (l): Là độ dài đường gấp khúc nối hai điểm tương ứng trên hai đường tròn đáy.
Công thức tính thể tích hình trụ
Thể tích hình trụ là lượng không gian được giới hạn bởi mặt xung quanh và hai đáy của hình trụ.
Thể tích hình trụ được tính bằng công thức:
V = πr²h
trong đó:
V là thể tích hình trụ (đơn vị: cm³)
π là số pi (π ≈ 3,14)
r là bán kính đáy hình trụ (đơn vị: cm)
h là chiều cao hình trụ (đơn vị: cm)
Các dạng bài tập và phương pháp giải bài thể tích của hình trụ
Dạng 1: Cho bán kính đáy và chiều cao, tính thể tích hình trụ.
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức: V = πr²h
Trong đó:
V là thể tích hình trụ (cm³)
r là bán kính đáy hình trụ (cm)
h là chiều cao hình trụ (cm)
Ví dụ:
Cho một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm, chiều cao h = 10 cm. Tính thể tích của hình trụ.
Giải:
Thể tích hình trụ là:
V = πr²h = π.5².10 = 250π cm³
Dạng 2: Cho diện tích xung quanh, tính thể tích hình trụ.
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức: \(V = \frac{S \times q \times h}{2}\)
Trong đó:
V là thể tích hình trụ (cm³)
Sxq là diện tích xung quanh hình trụ (cm²)
h là chiều cao hình trụ (cm)
Ví dụ:
Cho một hình trụ có diện tích xung quanh Sxq = 314 cm² và chiều cao h = 5 cm. Tính thể tích của hình trụ.
Giải:
Thể tích hình trụ là:
\(V = \frac{{S \times q \times h}}{{2}} = \frac{{314.5}}{{2}} = 785 \text{ cm}^3\)
Dạng 3: Cho diện tích toàn phần, tính thể tích hình trụ.
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính diện tích đáy hình trụ: Sđ = Stp – 2Sxq
Bước 2: Tính bán kính đáy hình trụ: r = √(Sđ/π)
Bước 3: Tính chiều cao hình trụ: \(h = \frac{{S_{\text{tp}} – 2\pi r^2}}{{2\pi r}}\)
Bước 4: Tính thể tích hình trụ: V = πr²h
Ví dụ:
Cho một hình trụ có diện tích toàn phần Stp = 942 cm² và chiều cao h = 10 cm. Tính thể tích của hình trụ.
Giải:
Bước 1: Tính diện tích đáy hình trụ:
Sđ = Stp – 2Sxq = 942 – 2.314 = 314 cm²
Bước 2: Tính bán kính đáy hình trụ:
\(r = \sqrt{\frac{S_{\text{đ}}}{\pi}} = \sqrt{\frac{314}{\pi}} = 10 \text{ cm}\)
Bước 3: Tính chiều cao hình trụ:
\(h = \frac{{S_{tp} – 2\pi r^2}}{{2\pi r}} = \frac{{942 – 2\pi \cdot 10^2}}{{2\pi \cdot 10}} = 5 \text{ cm}\)
Bước 4: Tính thể tích hình trụ:
V = πr²h = π.10².5 = 500π cm³
Dạng 4: Bài toán thực tế liên quan đến thể tích hình trụ.
Phương pháp giải:
Bước 1: Phân tích đề bài, xác định các yếu tố liên quan đến thể tích hình trụ.
Bước 2: Chọn công thức phù hợp để tính thể tích hình trụ.
Bước 3: Thay số vào công thức và tính toán.
Ví dụ:
Một cái thùng hình trụ có bán kính đáy r = 30 cm, chiều cao h = 60 cm. Người ta đổ đầy nước vào thùng. Hỏi thùng chứa được bao nhiêu lít nước?
Giải:
Thể tích nước trong thùng chính là thể tích hình trụ.
Thể tích nước trong thùng là:
V = πr²h = π.30².60 = 54000π cm³ = 540 lít
Lưu ý:
Khi giải bài tập về thể tích hình trụ, cần chú ý đến các công thức và phương pháp giải phù hợp.
Vẽ hình minh họa để bài giải được rõ ràng và dễ hiểu.
Đơn vị đo thể tích cần được thống nhất trong bài giải.
Bài tập có lời giải chi tiết về thể tích hình trụ
Bài tập 1: Cho một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm và chiều cao h = 10 cm. Tính:
a) Diện tích xung quanh.
b) Diện tích toàn phần.
c) Thể tích.
Giải:
a) Diện tích xung quanh:
Sxq = 2πrh = 2π.5.10 = 100π cm²
b) Diện tích toàn phần:
Stp = 2πr(h + r) = 2π.5(10 + 5) = 300π cm²
c) Thể tích:
V = πr²h = π.5².10 = 250π cm³
Bài tập 2: Một hình trụ có diện tích xung quanh Sxq = 314 cm² và chiều cao h = 5 cm. Tính:
a) Bán kính đáy.
b) Thể tích.
Giải:
a) Bán kính đáy:
\(r = \sqrt{\frac{S \times q}{{2\pi h}}} = \sqrt{\frac{314}{{2\pi \times 5}}} = 10 \text{ cm}\)b) Thể tích:
V = πr²h = π.10².5 = 500π cm³
Bài tập 3: Một cái thùng hình trụ có bán kính đáy r = 30 cm, chiều cao h = 60 cm. Người ta đổ đầy nước vào thùng. Hỏi thùng chứa được bao nhiêu lít nước?
Giải:
Thể tích nước trong thùng chính là thể tích hình trụ.
Thể tích nước trong thùng là:
V = πr²h = π.30².60 = 54000π cm³ = 540 lít
Bài tập 4: Cho hình trụ có diện tích toàn phần Stp = 100π cm² và chiều cao h = 5 cm. Tính bán kính đáy và thể tích của hình trụ.
Giải:
Bước 1: Tính diện tích đáy hình trụ:
Sđ = Stp – 2Sxq = 100π – 2πrh
Bước 2: Tính bán kính đáy hình trụ:
\(r = \sqrt{\frac{S_{\text{đ}}}{\pi}} = \sqrt{\frac{{100\pi – 2\pi r \cdot h}}{\pi}}\)Bước 3: Thay h = 5 cm vào phương trình trên, ta được:
\(r= \sqrt{\frac{{100\pi – 2\pi r \cdot 5}}{\pi}} = \sqrt{50\pi – 10r}\)Bước 4: Giải phương trình trên, ta được:
r = 5 cm
Bước 5: Tính thể tích hình trụ:
V = πr²h = π.5².5 = 125π cm³
Bài tập tự luận
Câu 1: Cho hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm và chiều cao h = 10 cm. Tính thể tích của hình trụ.
Câu 2: Một hình trụ có diện tích xung quanh Sxq = 314 cm² và chiều cao h = 5 cm. Tính bán kính đáy và thể tích của hình trụ.
Câu 3: Một cái thùng hình trụ có bán kính đáy r = 30 cm, chiều cao h = 60 cm. Người ta đổ đầy nước vào thùng. Hỏi thùng chứa được bao nhiêu lít nước?
Câu 4: Cho hình trụ có diện tích toàn phần Stp = 100π cm² và chiều cao h = 5 cm. Bán kính đáy và thể tích của hình trụ là?
Câu 5: Một hình trụ có chiều cao h = 10 cm và diện tích đáy là 78,5 cm². Tính thể tích của hình trụ.
Câu 6: Cho hình trụ có bán kính đáy r = 6 cm và chiều cao h = 8 cm. Diện tích xung quanh của hình trụ là?
Câu 7: Một hình trụ có diện tích toàn phần Stp = 314 cm² và diện tích xung quanh Sxq = 251,2 cm². Chiều cao của hình trụ là?
Câu 8: Một bể nước hình trụ có bán kính đáy r = 1,5 m và chiều cao h = 2 m. Bể nước đầy nước. Người ta mở vòi cho nước chảy ra, mỗi phút chảy được 30 lít. Sau 1 giờ 15 phút, lượng nước còn lại trong bể chiếm 40% thể tích bể. Hỏi ban đầu bể chứa bao nhiêu lít nước?
Câu 9: Một chiếc hộp hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm và chiều cao h = 10 cm. Người ta muốn sơn toàn bộ mặt ngoài của hộp (bao gồm cả hai đáy). Diện tích cần sơn là?
Câu 10: Cho hình trụ có bán kính đáy r = 4 cm và chiều cao h = 8 cm. Một mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ theo một thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích là 32 cm². Khoảng cách từ trục của hình trụ đến mặt phẳng cắt là?
Bài tập trắc nghiệm thể tích hình trụ
Câu 1: Cho hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm và chiều cao h = 10 cm. Thể tích của hình trụ là:
A. 250π cm³
B. 500π cm³
C. 750π cm³
D. 1000π cm³
Câu 2: Một hình trụ có diện tích xung quanh Sxq = 314 cm² và chiều cao h = 5 cm. Bán kính đáy của hình trụ là:
A. 5 cm
B. 10 cm
C. 15 cm
D. 20 cm
Câu 3: Một cái thùng hình trụ có bán kính đáy r = 30 cm, chiều cao h = 60 cm. Người ta đổ đầy nước vào thùng. Hỏi thùng chứa được bao nhiêu lít nước?
A. 540 lít
B. 1080 lít
C. 1620 lít
D. 2160 lít
Câu 4: Cho hình trụ có diện tích toàn phần Stp = 100π cm² và chiều cao h = 5 cm. Bán kính đáy và thể tích của hình trụ là:
A. r = 5 cm, V = 125π cm³
B. r = 10 cm, V = 250π cm³
C. r = 15 cm, V = 375π cm³
D. r = 20 cm, V = 500π cm³
Câu 5: Một hình trụ có chiều cao h = 10 cm và diện tích đáy là 78,5 cm². Thể tích của hình trụ là:
A. 785 cm³
B. 1570 cm³
C. 2355 cm³
D. 3140 cm³
Câu 6: Cho hình trụ có bán kính đáy r = 6 cm và chiều cao h = 8 cm. Diện tích xung quanh của hình trụ là:
A. 288π cm²
B. 576π cm²
C. 864π cm²
D. 1152π cm²
Câu 7: Một hình trụ có diện tích toàn phần Stp = 314 cm² và diện tích xung quanh Sxq = 251,2 cm². Chiều cao của hình trụ là:
A. 4 cm
B. 6 cm
C. 8 cm
D. 10 cm
Câu 8: Một bể nước hình trụ có bán kính đáy r = 1,5 m và chiều cao h = 2 m. Bể nước đầy nước. Người ta mở vòi cho nước chảy ra, mỗi phút chảy được 30 lít. Sau 1 giờ 15 phút, lượng nước còn lại trong bể chiếm 40% thể tích bể. Hỏi ban đầu bể chứa bao nhiêu lít nước?
A. 9000 lít
B. 10500 lít
C. 12000 lít
D. 13500 lít
Câu 9: Một chiếc hộp hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm và chiều cao h = 10 cm. Người ta muốn sơn toàn bộ mặt ngoài của hộp (bao gồm cả hai đáy). Diện tích cần sơn là:
A. 314 cm²
B. 628 cm²
C. 942 cm²
D. 1256 cm²
Câu 10: Cho hình trụ có bán kính đáy r = 4 cm và chiều cao h = 8 cm. Một mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ theo một thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích là 32 cm². Khoảng cách từ trục của hình trụ đến mặt phẳng cắt là:
A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 5 cm
Lời giải:
Câu 1: A
Câu 2: B
Câu 3: A
Câu 4: A
Câu 5: B
Câu 6: A
Câu 7: B
Câu 8: C
Câu 9: C
Câu 10: B
Bài viết này đã trình bày các khái niệm, công thức và ví dụ minh họa về thể tích hình trụ. Hy vọng bài viết này sẽ giúp học sinh ôn tập và củng cố kiến thức về chủ đề này.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
