Thể tích hình nón là một khái niệm quan trọng trong toán học, được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như xây dựng, cơ khí, kiến trúc… Bài viết này sẽ giới thiệu về khái niệm thể tích hình nón, công thức tính thể tích và một số ứng dụng của nó.
Lý thuyết thể tích hình nón
Hình nón là một hình có một đáy là hình tròn và một đỉnh. Mặt xung quanh của hình nón được tạo bởi đường sinh quay quanh một trục cố định.
Thể tích của hình nón là thể tích của phần không gian được giới hạn bởi mặt xung quanh và đáy của hình nón.
Công thức tính thể tích hình nón
\(V = (\frac{1}{3})πr²h\)
trong đó:
V là thể tích của hình nón.
π là hằng số pi, xấp xỉ 3,14.
r là bán kính đáy của hình nón.
h là chiều cao của hình nón.
Ví dụ:
Cho một hình nón có bán kính đáy r = 5cm và chiều cao h = 10cm. Thể tích của hình nón là:
\(V = (\frac{1}{3})πr²h = (\frac{1}{3})π.5².10 = 52,36 cm³\)
Tính thể tích hình nón dựa vào diện tích đáy của hình nón
\(V = (\frac{1}{3})Bh\)
trong đó:
V là thể tích của hình nón.
B là diện tích đáy của hình nón.
h là chiều cao của hình nón.
Tính thể tích hình nón dựa vào diện tích xung quanh của hình nón
\(V = \frac{1}{3}S.h\)
trong đó:
V là thể tích của hình nón.
S là diện tích xung quanh của hình nón.
h là chiều cao của hình nón.
Các dạng bài tập về thể tích hình nón và phương pháp giải:
Dạng 1: Tính thể tích hình nón khi biết bán kính đáy và chiều cao.
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính thể tích hình nón:
\(V = (\frac{1}{3})πr²h\)
trong đó:
V là thể tích của hình nón.
π là hằng số pi, xấp xỉ 3,14.
r là bán kính đáy của hình nón.
h là chiều cao của hình nón.
Ví dụ:
Cho một hình nón có bán kính đáy r = 5cm và chiều cao h = 10cm. Tính thể tích của hình nón.
Bài giải:
\(V = (\frac{1}{3})πr²h = (\frac{1}{3})π.5².10 = 52,36 cm³\)
Dạng 2: Tính bán kính đáy hoặc chiều cao của hình nón khi biết thể tích và một trong hai đại lượng còn lại.
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính thể tích hình nón:
\(V = (\frac{1}{3})πr²h\)
Giải phương trình để tìm bán kính đáy hoặc chiều cao của hình nón.
Ví dụ:
Cho một hình nón có thể tích V = 64π cm³ và chiều cao h = 8cm. Tính bán kính đáy của hình nón.
Bài giải:
\(V = (\frac{1}{3})πr²h\)
⇔ \(64π = (\frac{1}{3})πr².8\)
⇔ \(r² = 24\)
⇔ \(r = √24 = 2√6 cm\)
Dạng 3: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón khi biết bán kính đáy và chiều cao.
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón:
\(S_xq = πrl\)
Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón:
\(S_tp = S_xq + B\)
trong đó:
\(S_xq\) là diện tích xung quanh của hình nón.
B là diện tích đáy của hình nón.
Ví dụ:
Cho một hình nón có bán kính đáy r = 5cm và chiều cao h = 10cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
Bài giải:
Diện tích xung quanh của hình nón:
\(S_xq = πrl = π.5.10 = 50π\) cm²
Diện tích đáy của hình nón:
\(B = πr² = π.5² = 25π\) cm²
Diện tích toàn phần của hình nón:
\(S_tp = S_xq + B = 50π + 25π = 75π\) cm²
Dạng 4: Tính các đại lượng liên quan khác của hình nón (đường sinh, góc ở đỉnh…)
Phương pháp giải:
Áp dụng các định lý lượng giác, định lý Pitago… để tính các đại lượng liên quan khác của hình nón.
Ví dụ:
Cho một hình nón có bán kính đáy r = 5cm và chiều cao h = 10cm. Tính đường sinh của hình nón.
Bài giải:
Gọi l là đường sinh của hình nón.
Ta có: \(l² = h² + r²\)
⇔ \(l² = 10² + 5²\)
⇔\( l² = 125\)
⇔ \(l = √125 = 5√5 cm\)
Bài tập về thể tích hình nón có lời giải
Bài 1: Cho một hình nón có bán kính đáy r = 5cm và chiều cao h = 12cm. Tính thể tích của hình nón.
Bài giải:
Thể tích của hình nón là:
\(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = 100\pi \text{ cm}^3\)
Bài 2: Cho một hình nón có thể tích V = 36π cm³ và chiều cao h = 6cm. Tính bán kính đáy của hình nón.
Bài giải:
Bán kính đáy của hình nón là:
\(r = \sqrt{\frac{3V}{\pi h}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 36\pi}{\pi \cdot 6}} = 3 \text{ cm}\)
Bài 3: Cho một hình nón có bán kính đáy r = 4cm và đường sinh l = 6cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
Bài giải:
Diện tích xung quanh của hình nón là:
\(S_xq = πrl = π.4.6 = 24π cm²\)
Diện tích đáy của hình nón là:
\(B = πr² = π.4² = 16π cm²\)
Diện tích toàn phần của hình nón là:
\(S_tp = S_xq + B = 24π + 16π = 40π cm²\)
Bài 4: Cho một hình nón có bán kính đáy r = 3cm và góc ở đỉnh là 120°. Tính chiều cao của hình nón.
Bài giải:
Chiều cao của hình nón là:
\(h = r.tan(60°) = 3.tan(60°) = 3√3 cm\)
Bài tập trắc nghiệm về thể tích hình nón có đáp án
Câu 1: Cho một hình nón có bán kính đáy r = 5cm và chiều cao h = 10cm. Thể tích của hình nón là:
A. 50π cm³
B. 100π cm³
C. 150π cm³
D. 200π cm³
Đáp án: B
Câu 2: Cho một hình nón có thể tích V = 64π cm³ và chiều cao h = 8cm. Tính bán kính đáy của hình nón.
A. 3 cm
B. 4 cm
C. 5 cm
D. 6 cm
Đáp án: B
Câu 3: Cho một hình nón có bán kính đáy r = 4cm và đường sinh l = 6cm. Diện tích xung quanh của hình nón là:
A. 12π cm²
B. 16π cm²
C. 24π cm²
D. 32π cm²
Đáp án: C
Câu 4: Cho một hình nón có bán kính đáy r = 3cm và góc ở đỉnh là 120°. Chiều cao của hình nón là:
A. 3 cm
B. 3√2 cm
C. 3√3 cm
D. 4 cm
Đáp án: C
Câu 5: Một khối nón có thể tích là 36π cm³ và diện tích xung quanh là 36π cm². Tính bán kính đáy và chiều cao của hình nón.
A. r = 2 cm, h = 4 cm
B. r = 3 cm, h = 3 cm
C. r = 4 cm, h = 2 cm
D. r = 5 cm, h = 1 cm
Đáp án: B
Như vậy, bài viết này đã giới thiệu về khái niệm thể tích hình nón, công thức tính thể tích và một số ứng dụng của nó. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức bổ ích về thể tích hình nón.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
