Lý thuyết quy đồng mẫu thức nhiều phân thức - Toán lớp 8

Trong chương trình Toán học 8, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là một chủ đề quan trọng và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều bài toán khác nhau. Hiểu rõ cách quy đồng mẫu thức sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến phân thức một cách nhanh chóng và chính xác.Bài viết này sẽ trình bày phương pháp quy đồng mẫu thức nhiều phân thức một cách chi tiết và dễ hiểu.

Khái niệm về quy đồng mẫu thức

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là quá trình tìm một mẫu số chung để có thể biểu diễn tất cả các phân thức trong một dãy phân thức trên cùng một mẫu số. Mục đích của việc quy đồng mẫu thức là để có thể dễ dàng cộng, trừ, hoặc so sánh các phân thức với nhau. Đây là một kỹ thuật cơ bản trong đại số và là một phần của chương trình học từ cấp độ cơ bản đến nâng cao.

Phân thức: Biểu thức toán học có dạng A/B​, trong đó A là tử số và B là mẫu số (B không bằng 0).

Mẫu số chung nhỏ nhất (MSCNN): Mẫu thức chung nhỏ nhất mà từ đó có thể biểu diễn các mẫu số của tất cả phân thức trong dãy.

Ví dụ:

Quy đồng mẫu thức các phân thức:

P = \(\frac{1}{x}\)
; Q =\(\frac{2}{x+1}\)

Giải:

Bước 1: Tìm mẫu thức chung.

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử:

• x = x
• x + 1 = (x + 1)

BCNN(x, x + 1) = x(x + 1)

Bước 2: Tìm nhân tử phụ.

Nhân tử phụ của P: x + 1

Nhân tử phụ của Q: x

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

\(P = 1 \times \frac{x + 1}{x} \times (x + 1) = \frac{x + 1}{x(x + 1)}\) \(Q = 2 \times \frac{x}{x + 1} \times x = \frac{2x^2}{x(x + 1)}\)

Vậy:

\(P = \frac{x + 1}{x(x + 1)}\) \(Q = \frac{2x^2}{x(x + 1)}\)

Các bước quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Tìm mẫu thức chung:

• Phân tích các mẫu thức thành nhân tử.
• Chọn ra các thừa số chung và riêng.
• Lấy tích các thừa số chung với số mũ lớn nhất và tích các thừa số riêng.

Tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức:

• Nhân tử phụ của mỗi phân thức là thương của mẫu thức chung và mẫu thức của phân thức đó.

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng:

Lưu ý:

• Khi quy đồng mẫu thức, ta cần lưu ý các điểm sau:
  • Phân tích các mẫu thức thành nhân tử một cách cẩn thận.
  • Tìm BCNN của các mẫu thức một cách chính xác.
  • Tìm nhân tử phụ một cách cẩn thận.
  • Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
• Sau khi quy đồng mẫu thức, ta cần kiểm tra xem các phân thức mới có giá trị bằng các phân thức ban đầu hay không.

Ví dụ:

Quy đồng mẫu thức các phân thức:

P = \(\frac{1}{x}\); Q = \(\frac{2}{x+1}\); R = \(\frac{3}{x^2+2x+1}\)

Giải:

Bước 1: Tìm mẫu thức chung.

• Phân tích các mẫu thức thành nhân tử:
  • x = x
  • x + 1 = (x + 1)
  • \(x^2 + 2x + 1\) = \((x + 1)^2\)
• BCNN\((x, x + 1, (x + 1)^2)\) = \((x + 1)^2\)

Bước 2: Tìm nhân tử phụ.

• Nhân tử phụ của P: \((x + 1)^2\)
• Nhân tử phụ của Q: x
• Nhân tử phụ của R: x

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

• \(P = \frac{1 \times (x + 1)^2}{x} \times (x + 1)^2 = \frac{(x + 1)^2}{x(x + 1)^2}
  \)
• \(Q = \frac{2 \times x}{x + 1} \times x = \frac{2x^2}{(x + 1)^2}\)
• \(R = \frac{3 \times x}{(x + 1)^2} \times x = \frac{3x^2}{(x + 1)^2}\)

Vậy:

\(P = \frac{{(x + 1)^2}}{{x(x + 1)^2}}\) \(Q = \frac{{2x^2}}{{(x + 1)^2}}\) \(R = \frac{{3x^2}}{{(x + 1)^2}}\)

Tính chất quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Tính chất 1:

Quy đồng mẫu thức không thay đổi giá trị của phân thức.

Ví dụ:

Quy đồng mẫu thức các phân thức:

P = \(\frac{1}{x}\); Q = \(\frac{2}{x+1}\)

Giải:

Bước 1: Tìm mẫu thức chung.

• Phân tích các mẫu thức thành nhân tử:
  • x = x
  • x + 1 = (x + 1)
• BCNN(x, x + 1) = x(x + 1)

Bước 2: Tìm nhân tử phụ.

• Nhân tử phụ của P: x + 1
• Nhân tử phụ của Q: x

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

• \(P = \frac{{(x + 1)}}{x} \cdot (x + 1) = \frac{{(x + 1)}}{x(x + 1)}\)
• \(Q = \frac{{2x}}{{(x + 1)}} \cdot x = \frac{{2x^2}}{{x(x + 1)}}\)

Vậy:

\(P = \frac{{x + 1}}{{x(x + 1)}}\) \(Q = \frac{{2x^2}}{{x(x + 1)}}\)

Ta có:

P = Q <=> \(\frac{{(x + 1)}}{{x(x + 1)}} = \frac{{2x^2}}{{x(x + 1)}}\)

<=> x + 1 = \(2x^2\)

<=> \(2x^2 – x – 1\) = 0

<=> (2x + 1)(x – 1) = 0

<=> x = -1/2 hoặc x = 1

Ta thấy:

• Giá trị của P và Q bằng nhau tại x = -1/2 và x = 1.
• Giá trị của P và Q không thay đổi sau khi quy đồng mẫu thức.

Tính chất 2:

Khi quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, ta có thể chọn mẫu thức chung là BCNN của các mẫu thức đã cho hoặc một mẫu thức chung khác lớn hơn BCNN.

Ví dụ:

Quy đồng mẫu thức các phân thức

P = \(\frac{1}{x}\)
; Q =\(\frac{2}{x+1}\)

Giải:

Cách 1: Chọn mẫu thức chung là BCNN(x, x + 1) = x(x + 1).

• \(P = \frac{{x + 1}}{{x(x + 1)}}\) 
• \(Q = \frac{{2x^2}}{{x(x + 1)}}\) 

Cách 2: Chọn mẫu thức chung là \(x^2(x + 1)\).

• \(P = \frac{{x}}{{x}} \cdot \frac{{x(x + 1)}}{{x(x + 1)}}\) 
• \(Q = \frac{{2x(x + 1)}}{{(x + 1)}} \cdot \frac{{x^2(x + 1)}}{{x^2(x + 1)}}\) 

Ta thấy:

• Cả hai cách đều cho kết quả đúng.
• Cách 1 chọn mẫu thức chung là BCNN, đơn giản hơn cách 2.

Tính chất 3:

Khi cộng (trừ) hai phân thức có cùng mẫu thức, ta chỉ cần cộng (trừ) các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.

Ví dụ:

Cho hai phân thức:

• \(P = \frac{{x + 1}}{{x(x + 1)}}\) 
• \(Q = \frac{{2x^2}}{{x(x + 1)}}\) 

Tính P + Q.

Giải:

P + Q = \(\frac{{x + 1}}{{x(x + 1)}} + \frac{{2x^2}}{{x(x + 1)}}\) 

= \(\frac{{x + 1 + 2x^2}}{{x(x + 1)}}\) 

= \(\frac{{2x^2 + x + 1}}{{x(x + 1)}}\) 

Tính chất 4:

Khi nhân (chia) hai phân thức, ta nhân (chia) các tử thức với nhau và nhân (chia) các mẫu thức với nhau.

Ví dụ:

Cho hai phân thức:

• \(P = \frac{{x + 1}}{{x(x + 1)}}\) 
• \(Q = \frac{{2x^2}}{{x(x + 1)}}\) 

Bài tập liên quan đến quy đồng mẫu thức nhiều phân thức 

Quy đồng mẫu thức các phân thức:

\(P = \frac{1}{x}\) ; \(R = \frac{3}{{x^2 + 2x + 1}}\) ; \(R = \frac{3}{{x^2 + 2x + 1}}\) 

Giải:

Bước 1: Tìm mẫu thức chung.

• Phân tích các mẫu thức thành nhân tử:
  • x = x
  • x + 1 = (x + 1)
  • \(x^2 + 2x + 1\) = \((x + 1)^2\)
• BCNN\((x, x + 1, (x + 1)^2)\) = \((x + 1)^2\)

Bước 2: Tìm nhân tử phụ.

• Nhân tử phụ của P: \((x + 1)^2\)
• Nhân tử phụ của Q: x
• Nhân tử phụ của R: x

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

\(P = \frac{{1 \cdot (x + 1)^2}}{{x \cdot (x + 1)^2}} = \frac{{(x + 1)^2}}{{x(x + 1)^2}}
\) 

\(Q = \frac{{2x}}{{(x + 1)}} \cdot x = \frac{{2x^2}}{{(x + 1)^2}}\)

\(R = \frac{{3x}}{{(x + 1)^2}} \cdot x = \frac{{3x^2}}{{(x + 1)^2}}\)

Vậy:

\(P = \frac{{(x + 1)^2}}{{x(x + 1)^2}}\) 

\(Q = \frac{{2x^2}}{{(x + 1)^2}}\) 

\(R = \frac{{3x^2}}{{(x + 1)^2}}\) 

Hy vọng rằng bài viết này đã giúp các bạn hiểu rõ cách quy đồng mẫu thức nhiều phân thức. Việc quy đồng mẫu thức là một kỹ năng quan trọng trong toán học, giúp ta giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau. Các bạn hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng này.