Lý thuyết phép nhân các phân thức đại số - Toán lớp 8

Phép nhân các phân thức đại số là một phép toán cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán học lớp 8. Hiểu rõ cách thực hiện phép nhân các phân thức đại số là một yêu cầu cần thiết để học sinh có thể giải quyết các bài toán liên quan đến phân thức một cách hiệu quả và chính xác.

Định nghĩa phép nhân các phân thức đại số

Phép nhân các phân thức đại số là một phép toán cơ bản trong đại số, nơi bạn kết hợp hai phân thức bằng cách nhân tử số của phân thức này với tử số của phân thức kia và nhân mẫu số của phân thức này với mẫu số của phân thức kia. Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng A/B​, trong đó A và B là các đa thức và B không bằng 0.

Ví dụ:

Cho hai phân thức:

 \(\frac{A}{B} = \frac{x + 1}{x^2 – 1}\) 

 \(\frac{C}{D} = \frac{x – 2}{x^2 + 4x + 4}\) 

Thực hiện phép nhân:

Bước 1: Quy đồng mẫu thức:

Phân tích mẫu thức:

B = (x + 1)(x – 1)

D = (x + 2)(x + 2)

Tìm BCNN:

BCNN(B, D) = (x + 1)(x – 1)(x + 2)

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng:

 \(\frac{A}{B} = \frac{{(x + 1)(x + 2)}}{{(x + 1)(x – 1)(x + 2)}}\) 

 \(\frac{C}{D} = \frac{{(x – 2)(x – 1)}}{{(x + 2)(x + 2)(x – 1)}}\)

Bước 2: Nhân các tử thức với nhau:

 \((x + 1)(x + 2) \cdot (x – 2)(x – 1) = (x^2 + 3x + 2)(x^2 – x – 2)\) 

Bước 3: Rút gọn phân thức vừa tìm được:

 \(\frac{{(x^2 + 3x + 2)(x^2 – x – 2)}}{{(x + 1)(x – 1)(x + 2)}} = \frac{{x^2 – x – 2}}{{(x + 1)(x – 1)}}\) 

Kết quả:

 \(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{x^2 – x – 2}{{(x + 1)(x – 1)}}\)

Các bước nhân phân thức đại số

Bước 1: Phân tích mẫu thức thành nhân tử:

Phân tích mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử.

Tìm BCNN của các mẫu thức.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức:

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng để có cùng mẫu thức.

Bước 3: Nhân các tử thức với nhau:

Giữ nguyên mẫu thức và nhân các tử thức với nhau.

Bước 4: Rút gọn phân thức vừa tìm được:

Chia cả tử và mẫu cho các nhân tử chung.

Ví dụ:

Bài 1:

Thực hiện phép nhân: \(\frac{x + 1}{x – 1} \cdot \frac{x – 2}{x + 2}\) 

Giải:

Bước 1: Phân tích mẫu thức thành nhân tử:

• B = (x + 1)(x – 1)
• D = (x + 2)(x + 2)
• BCNN(B, D) = (x + 1)(x – 1)(x + 2)

Bước 2: Quy đồng mẫu thức:

•  \(\frac{A}{B} = \frac{{(x + 1)(x + 2)}}{{(x + 1)(x – 1)(x + 2)}}\) 
•  \(\frac{C}{D} = \frac{{(x – 2)(x – 1)}}{{(x + 2)(x + 2)(x – 1)}}\)

Bước 3: Nhân các tử thức với nhau:

\((x + 1)(x + 2) * (x – 2)(x – 1)\) = \((x^2 + 3x + 2)(x^2 – x – 2)\)

Bước 4: Rút gọn phân thức vừa tìm được:

 \(\frac{{(x^2 + 3x + 2)(x^2 – x – 2)}}{{(x + 1)(x – 1)(x + 2)}} = \frac{{x^2 – x – 2}}{{(x + 1)(x – 1)}}
\) 

Kết quả:

 \(\frac{x + 1}{x – 1} \times \frac{x – 2}{x + 2} = \frac{x^2 – x – 2}{{(x + 1)(x – 1)}}\) 

Quy tắc phép nhân phân thức đại số cho phép nhân hai phân thức với nhau. Để nhân hai phân thức, ta nhân tử của phân thức thứ nhất với tử số của phân thức thứ hai và mẫu số của phân thức thứ nhất với mẫu số của phân thức thứ hai. Kết quả sau đó được rút gọn nếu có thể. Ví dụ: (a/b) * (c/d) = (ac)/(bd).

Tính chất của phép nhân phân thức đại số

Giao hoán:

\(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{C}{D} \cdot \frac{A}{B}\)

Kết hợp:

 \(( \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} ) \cdot \frac{E}{F} = \frac{A}{B} \cdot ( \frac{C}{D} \cdot \frac{E}{F} )
\) 

Phân phối:

\(\frac{A}{B} \cdot \left( \frac{C}{D} + \frac{E}{F} \right) = \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} + \frac{A}{B} \cdot \frac{E}{F}\) 

Nhân với số nguyên:

 \(\frac{A}{B} \times n = n \times \frac{A}{B} = \frac{nA}{B}\) 

Nhân với 1:

 \(\frac{A}{B} \times 1 = \frac{A}{B}\)

 Nhân với 0:

 \(\frac{A}{B}\) * 0 = 0

Hệ quả:

Tích của hai phân thức có cùng mẫu thức là phân thức có tử thức bằng tích của hai tử thức và mẫu thức bằng mẫu thức chung.

Tích của hai phân thức có mẫu thức khác nhau là phân thức có tử thức bằng tích của hai tử thức và mẫu thức bằng BCNN của hai mẫu thức.

Các ứng dụng về phép nhân phân thức đại số

Phép nhân phân thức đại số có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

Tính toán tài chính: Trong các công thức tài chính và kế toán, phép nhân phân thức được sử dụng để tính toán lợi nhuận, tỷ lệ lãi suất, hoặc các chỉ số tài chính khác.

Kỹ thuật và công nghệ: Trong các lĩnh vực kỹ thuật và công nghệ, phép nhân phân thức được áp dụng trong việc tính toán tỷ lệ và mối quan hệ giữa các yếu tố kỹ thuật, như trong điện tử, cơ khí, và xây dựng.

Thống kê và khoa học dữ liệu: Trong thống kê và khoa học dữ liệu, phép nhân phân thức được sử dụng để tính toán các tỷ lệ và tỷ lệ phần trăm, đặc biệt là khi phân tích dữ liệu và so sánh các mẫu khác nhau.

Giáo dục: Trong giáo dục, phép nhân phân thức được sử dụng để giải các bài toán đại số cơ bản và nâng cao, giúp học sinh hiểu và áp dụng các khái niệm đại số vào thực tế.

Kinh doanh và quản lý: Trong kinh doanh và quản lý, phép nhân phân thức được sử dụng để tính toán các chỉ số tài chính, đánh giá hiệu suất và dự đoán xu hướng trong doanh nghiệp và thị trường.

Các ứng dụng của phép nhân phân thức đại số rất đa dạng và quan trọng trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống hàng ngày và trong nghiên cứu chuyên sâu.

Như vậy, qua bài học này, chúng ta đã tìm hiểu về phép nhân các phân thức đại số. Hiểu rõ cách thực hiện phép nhân các phân thức đại số giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến phân thức một cách hiệu quả và chính xác.