Lý thuyết về phân thức đại số - Toán lớp 8

Phân thức đại số là một biểu thức có dạng \(\frac{A}{B}\), trong đó A và B là hai đa thức, B khác đa thức 0.Phân thức đại số là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 8, đóng vai trò thiết yếu trong việc giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ, đại lượng tỉ lệ và giải phương trình.Bài viết này sẽ trình bày một cách đầy đủ và chi tiết về phân thức đại số, bao gồm định nghĩa, tính chất, phép toán và ứng dụng của phân thức đại số.

Định nghĩa phân thức đại số

Phân thức đại số là biểu thức có dạng A/B, trong đó:

• A và B là hai đa thức (đa thức là biểu thức có dạng tổng của các đơn thức).
• B ≠ 0 (mẫu thức khác đa thức 0).

Ví dụ:

• \(x^2 + 2x + 1\) là một đa thức.
• \(\frac{{x^2 + 2x + 1}}{{x + 1}}\)là một phân thức đại số.

Phân thức đại số còn được gọi là:

• Phân số đại số.
• Phân số.

Lưu ý:

• Phân thức đại số không bao gồm biểu thức có mẫu thức bằng 0.
• Phân thức đại số có thể được rút gọn nếu A và B có ước chung lớn nhất (UCLN) khác 1.

Ví dụ:

Phân thức \(\frac{{x^2 + 2x + 1}}{{x + 1}}\) có thể được rút gọn thành x + 1.

Tính chất của phân thức đại số

Có một số tính chất quan trọng của phân thức đại số mà chúng ta cần biết để hiểu và áp dụng trong việc giải các bài toán và thực hiện các phép tính. Dưới đây là một số tính chất quan trọng của phân thức đại số:

Tính chất tương đương:

Hai phân thức đại số có cùng giá trị khi và chỉ khi tử số của chúng nhân với mẫu số của phân thức kia và ngược lại. Tức là, nếu

\(\frac{A}{B}\) = \(\frac{C}{D}\) thì \(\implies A \times D = B \times C\).

Tính chất phân phối:

Phân thức có thể phân phối qua phép cộng và phép nhân. Điều này có nghĩa là

\(\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{AD + BC}{BD} \quad \text{và} \quad \frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}\)

Tính chất nghịch đảo:

Một phân thức đại số có thể được nghịch đảo bằng cách đảo ngược tử số và mẫu số của nó. Tức là, nếu A/B​, thì phân thức nghịch đảo của nó là B/A​

Tính chất rút gọn:

Một phân thức có thể được rút gọn bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho ước chung lớn nhất của chúng. Điều này giúp giảm thiểu phân thức để làm cho nó dễ đọc và dễ làm việc hơn.

Tính chất của hạng tử và mẫu số:

• Tử số của một phân thức là biểu thức ở trên dấu phân số.
• Mẫu số của một phân thức là biểu thức ở dưới dấu phân số.

Tính chất của phép cộng và phép nhân:

Phép cộng và phép nhân giữa các phân thức đại số có thể được thực hiện bằng cách cộng và nhân tử số với tử số, mẫu số với mẫu số.

Các tính chất trên giúp chúng ta hiểu và áp dụng phân thức đại số một cách hiệu quả trong việc giải các bài toán và phân tích các biểu thức đại số.

Ý nghĩa Phân thức đại số

Phân thức đại số đóng vai trò quan trọng trong Toán học và thực tế, thể hiện qua các ý nghĩa sau:

Mở rộng phạm vi biểu thức toán học:

Phân thức đại số mở rộng phạm vi biểu thức toán học so với số, giúp mô tả các mối quan hệ phức tạp hơn giữa các đại lượng.

Giải quyết các bài toán thực tế:

Phân thức đại số được ứng dụng để giải quyết nhiều bài toán thực tế liên quan đến:

• Tỉ lệ.
• Đại lượng tỉ lệ.
• Diện tích, thể tích.
• Vận tốc, thời gian.
• v.v.

Nền tảng cho các chủ đề toán học cao hơn:

Phân thức đại số là nền tảng quan trọng cho các chủ đề toán học cao hơn như:

• Phương trình.
• Bất phương trình.
• Giải tích.
• Đại số tuyến tính.
• v.v.

Phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề:

Học tập về phân thức đại số giúp phát triển tư duy logic, khả năng phân tích và giải quyết vấn đề một cách hiệu quả.

Ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau:

Phân thức đại số được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như:

• Vật lý.
• Kỹ thuật.
• Kinh tế.
• Khoa học máy tính.
• v.v.

Cấu trúc phân thức đại số

Cấu trúc của một phân thức đại số thường bao gồm tử số và mẫu số, được phân cách bởi dấu gạch ngang. Dưới đây là cấu trúc cụ thể của một phân thức đại số: A/B

Trong đó:

A là tử số của phân thức, đại diện cho biểu thức nằm phía trên dấu phân số.

B là mẫu số của phân thức, đại diện cho biểu thức nằm phía dưới dấu phân số.

Cả tử số và mẫu số có thể là bất kỳ biểu thức đại số nào, bao gồm đa thức, hàm số, biểu thức phức tạp, và những biểu thức khác. Chúng thường được xác định dựa trên nhu cầu cụ thể của bài toán hoặc tình huống.

Phân thức tương đương

Hai phân thức được gọi là phân thức tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Cách viết:

Hai phân thức P và Q tương đương được viết là:

• P ≡ Q
• P = Q (khi B ≠ 0 và D ≠ 0)

Tính chất:

• Nếu P ≡ Q và Q ≡ R thì P ≡ R.
• Nếu P ≡ Q thì:
  • P + M ≡ Q + M (M là một phân thức bất kỳ).
  • P – M ≡ Q – M (M là một phân thức bất kỳ).
  • P * M ≡ Q * M (M là một phân thức bất kỳ, M ≠ 0).
  • \(\frac{P}{M} \equiv \frac{Q}{M}\)(M là một phân thức bất kỳ, M ≠ 0).

Ứng dụng:

• Giải các phương trình chứa phân thức.
• Chứng minh các đẳng thức liên quan đến phân thức.
• Rút gọn các phân thức phức tạp.

Ví dụ:

• Hai phân thức \(\frac{{x + 1}}{{x – 1}} \quad \text{và} \quad \frac{{x^2 + 2x + 1}}{{x^2 – 1}}\)
  tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là x ≠ 1.
• Chứng minh:\(\frac{{x + 1}}{{x – 1}} \quad \text{và} \quad \frac{{x^2 + 2x + 1}}{{x^2 – 1}}\)
  

Giải:

Ta có:

\(\frac{{x + 1}}{{x – 1}} = \frac{{\left(\frac{{x + 1}}{{x – 1}} \cdot \frac{{x + 1}}{{x + 1}}\right)}}{{1}} = \frac{{(x^2 + 2x + 1)}}{{(x^2 – 1)}}\)

Vậy, \(\frac{{x + 1}}{{x – 1}} \equiv \frac{{x^2 + 2x + 1}}{{x^2 – 1}}\).

Phép tính trên phân thức đại số

Cộng trừ phân thức

Cộng trừ hai phân thức cùng mẫu thức:

• Giữ nguyên mẫu thức.
• Cộng trừ các tử thức với nhau.

Ví dụ:

\(\frac{{x + 1}}{{x – 1}} + \frac{{x – 1}}{{x + 1}} = \frac{{(x + 1) + (x – 1)}}{{x – 1}} = \frac{{2x}}{{x – 1}}\)

Cộng trừ hai phân thức khác mẫu thức:

• Quy đồng mẫu thức hai phân thức.
• Cộng trừ các tử thức với nhau.

Ví dụ:

\(\frac{{x + 1}}{{x}} + \frac{{x – 1}}{{x – 1}} = \frac{{x + 1}}{{x}} \cdot \frac{{x – 1}}{{x – 1}} + \frac{{x – 1}}{{x – 1}} \cdot \frac{{x}}{{x}} = \frac{{(x^2 – 1)}}{{(x^2 – x)}} + \frac{{(x^2 – x)}}{{(x^2 – x)}} = \frac{{2x^2 – 2x}}{{x^2 – x}}\)

Nhân hai phân thức:

Nhân tử thức với tử thức, mẫu thức với mẫu thức.

Ví dụ:

\(\frac{{x + 1}}{{x – 1}} \times \frac{{x – 1}}{{x + 1}} = \frac{{(x + 1)(x – 1)}}{{(x – 1)(x + 1)}} = 1\)

Chia hai phân thức:

• Chia tử thức của phân thức thứ nhất cho tử thức của phân thức thứ hai.
• Chia mẫu thức của phân thức thứ nhất cho mẫu thức của phân thức thứ hai.

Ví dụ:

\(\frac{{\frac{{x + 1}}{{x – 1}}}}{{\frac{{x – 1}}{{x + 1}}}} = \frac{{x + 1}}{{x – 1}} \times \frac{{x + 1}}{{x – 1}} = \frac{{(x + 1)^2}}{{(x – 1)^2}}\)
Rút gọn phân thức

• Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử.
• Chia cả tử thức và mẫu thức cho ước chung lớn nhất (UCLN) của chúng.

Ví dụ:

\(\frac{{x^2 + 2x + 1}}{{x + 1}} = \frac{{(x + 1)^2}}{{x + 1}} = x + 1\)

Quy đồng mẫu thức

• Tìm mẫu thức chung là bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu thức.
• Viết mỗi phân thức có mẫu thức chung bằng cách nhân cả tử thức và mẫu thức với một số thích hợp.

Ví dụ:

\(\frac{x}{x – 1} + \frac{x – 1}{x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot (x – 1)} + \frac{(x – 1) \cdot (x – 1)}{x \cdot (x – 1)} = \frac{x^2}{x^2 – x} + \frac{x^2 – 2x + 1}{x^2 – x} = \frac{2x^2 – 2x + 1}{x^2 – x}\)

Bài viết đã trình bày một cách đầy đủ và chi tiết về phân thức đại số, bao gồm định nghĩa, tính chất, phép toán và ứng dụng của phân thức đại số.Hiểu rõ về phân thức đại số là nền tảng quan trọng để học tập các chủ đề toán học cao hơn, đồng thời giúp học sinh giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.