Lý thuyết nhân đơn thức với đa thức - Toán lớp 8

Đơn thức và đa thức là hai khái niệm cơ bản trong môn Toán học. Bài viết này sẽ giới thiệu về phép nhân đơn thức với đa thức, một phép toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 8.

Định nghĩa phép nhân đơn thức với đa thức

Đơn thức

• Là biểu thức đại số chỉ gồm tích của một số và một hoặc nhiều biến.
• Ví dụ: \(3x^2y, 5x^2, -2xy^3\),…

Đa thức

• Là tổng của một số đơn thức.
• Ví dụ: \(x^2 + 2xy – 3x^2y^3, 5x^2 + 3y^2 – 1\),…

Phép nhân đơn thức với đa thức là một phép toán trong đại số học, trong đó một đơn thức (một biểu thức chứa một hạng tử và các biến số mũ) được nhân với một đa thức (một biểu thức chứa một hoặc nhiều hạng tử).

Phép nhân đơn thức với đa thức

Phép nhân đơn thức với đa thức là một phép toán trong đại số học, trong đó một đơn thức (một biểu thức chỉ chứa một hạng tử và các biến số mũ) được nhân với một đa thức (một biểu thức chứa một hoặc nhiều hạng tử).

Để thực hiện phép nhân này, chúng ta thực hiện việc nhân từng hạng tử của đa thức với đơn thức và sau đó cộng các kết quả lại với nhau, sử dụng nguyên tắc phân phối.

Ví dụ:

Giả sử chúng ta có đa thức

\((x+2)(3x^2+4x+5)\) và muốn nhân nó với đơn thức\(x^2\)

Đầu tiên, chúng ta nhân từng hạng tử của đa thức với đơn thức \(2x^2\):

\(x^2×3x^2=3x^4\)

\(x^2×4x=4x^3\)

\(x^2×5=5x^2\)

Tiếp theo, chúng ta cộng các kết quả lại với nhau: \(3x^4+4x^3+5x^2\)

Do đó, kết quả của phép nhân đơn thức \(2x^2\) với đa thức \((x+2)(3x^2+4x+5)\) là \(3x^4+4x^3+5x^2\).

Phép nhân đơn thức với đa thức là một phép toán cơ bản trong đại số học, và nó được sử dụng rộng rãi trong giải các bài toán đại số và các ứng dụng khác.

Quy tắc phép nhân đơn thức với đa thức

Quy tắc 1: Khi nhân đơn thức với đa thức, ta giữ nguyên phần biến và nhân các hệ số với nhau.

Ví dụ:

• \(3x^2 * (2x + 3y) = 6x^3 + 9x^2y\)
• \(-2xy^2 * (5x^3 – 2x^2y + 1) = -10x^4y^2 + 4x^3y^3 – 2xy^2\)

Quy tắc 2: Khi nhân hai đơn thức có cùng phần biến, ta cộng các số mũ tương ứng của các biến.

Ví dụ:

• \(x^2 * x^3 = x^(2 + 3) = x^5\)
• \(2xy^2 * 3xy^3 = 6x^2y^(2 + 3) = 6x^2y^5\)

Áp dụng quy tắc:

Để nhân một đơn thức với một đa thức, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức.

Bước 2: Cộng các tích với nhau.

Ví dụ:

Tính \(3x^2y * (2x^2 + 3xy – 1)\).

Giải:

Bước 1:

\(3x^2y * 2x^2 = 6x^4y\)

\(3x^2y * 3xy = 9x^3y^2\)

\(3x^2y * (-1) = -3x^2y\)

Bước 2:

\(6x^4y + 9x^3y^2 – 3x^2y\)

Vậy kết quả là \(6x^4y + 9x^3y^2 – 3x^2y\).

Tính chất của phép nhân đơn thức với đa thức 

Phép nhân đơn thức với đa thức có các tính chất sau:

Tính chất giao hoán:

A . B = B . A

Với mọi đơn thức A và đa thức B.

Ví dụ:

• \(3x^2 * (2x + 3y) = (2x + 3y) * 3x^2\)
• \(-2xy^2 * (5x^3 – 2x^2y + 1) = (5x^3 – 2x^2y + 1) * (-2xy^2)\)

Tính chất kết hợp:

A . (B . C) = (A . B) . C

Với mọi đơn thức A và đa thức B, C.

Ví dụ:

• \((3x^2 * 2x) * 3y = 3x^2 * (2x * 3y)\)
• \((-2xy^2 * 5x^3) * (-2x^2y + 1) = (-2xy^2 * 5x^3) * (-2x^2y) + (-2xy^2 * 5x^3) * 1\)

Tính chất phân phối:

A . (B + C) = A . B + A . C

Với mọi đơn thức A và đa thức B, C.

Ví dụ:

• \(3x^2 * (2x^2 + 3xy – 1) = 3x^2 * 2x^2 + 3x^2 * 3xy + 3x^2 * (-1)\)
• \(-2xy^2 * (5x^3 – 2x^2y + 1) = -2xy^2 * 5x^3 + (-2xy^2) * (-2x^2y) + (-2xy^2) * 1\)

Hệ quả:

Tích của một số đơn thức với đa thức bằng tổng các tích của từng đơn thức đó với đa thức đã cho.

Tích của một đơn thức với tổng của hai đa thức bằng tổng của hai tích của đơn thức đó với mỗi đa thức.

Dạng bài viết liên quan

Ví dụ1:

Tính giá trị của biểu thức A = \(2x^2y * (3x^2 + 2xy – 1) tại x = 2 và y = -1\).

Giải:

Thay x = 2 và y = -1 vào biểu thức A, ta được:

A = \(2 * 2^2 * (-1) * (3 * 2^2 + 2 * 2 * (-1) – 1)\)

= -16 * (12 – 4 – 1)

= -16 * 7

= -112

Vậy giá trị của biểu thức A tại x = 2 và y = -1 là -112.

Ví dụ2:

Biến đổi biểu thức A = \(3x^2 * (2x^2 + 3xy – 1) – 2x^3y * (x^2 – 2xy + 1)\).

Giải:

• Áp dụng tính chất phân phối, ta có:

A = \(3x^2 * (2x^2 + 3xy – 1) – 2x^3y * (x^2 – 2xy + 1)\)

= \(3x^2 * 2x^2 + 3x^2 * 3xy – 3x^2 * 1 – 2x^3y * x^2 + 2x^3y * 2xy – 2x^3y * 1\)

= \(6x^4 + 9x^3y – 3x^2 – 2x^5 + 4x^4y – 2x^3y\)

• Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp, ta có:

A = \((6x^4 + 4x^4y) + (9x^3y – 2x^3y) – 2x^5 – 3x^2\)

= \(10x^4 + 7x^3y – 2x^5 – 3x^2\)

Vậy biểu thức A sau khi biến đổi là \(10x^4 + 7x^3y – 2x^5 – 3x^2\).

Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phép nhân đơn thức với đa thức. Hãy áp dụng kiến thức đã học để giải các bài toán và rèn luyện kỹ năng tính toán của bạn.