\begin{align*}
A &= (x + 2)(x^2 – 3x + 1) \\
&= x \times x^2 + x \times (-3x) + x \times 1 + 2 \times x^2 + 2 \times (-3x) + 2 \times 1 \\
&= x^3 – 3x^2 + x + 2x^2 – 6x + 2 \\
&= x^3 – x^2 – 5x + 2
\end{align*}
\)
Ngoài ra, có thể tóm tắt quy tắc nhân đa thức bằng các bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi đa thức thành tích các đơn thức.
Bước 2: Nhân từng đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia.
Bước 3: Cộng các tích thu được.
Ví dụ:
Tính (x + 2)(x – 1).
Bước 1:
\(x + 2 = x * 1 + 2 * 1 = x + 2\)
\(x – 1 = x * 1 – 1 * 1 = x – 1\)
Bước 2:
\((x + 2) * (x – 1) = (x + 2) * x + (x + 2) * (-1)\)
Bước 3:
\((x + 2) * x + (x + 2) * (-1) = x^2 + x – x – 2 = x^2 – 2\)
Vậy \((x + 2)(x – 1) = x^2 – 2\)
Lưu ý:
Để nhân đa thức với đa thức, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi đa thức thành tích các đơn thức.
Bước 2: Nhân từng đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia.
Bước 3: Cộng các tích thu được.
Ví dụ:
Tính \((x + 2)(x^2 – 3x + 1)\).
Bước 1:
\(x + 2 = x * 1 + 2 * 1 = x + 2\)
\(x^2 – 3x + 1 = x^2 * 1 – 3x * 1 + 1 * 1 = x^2 – 3x + 1\)
Bước 2:
\((x + 2) * (x^2 – 3x + 1) = (x + 2) * x^2 + (x + 2) * (-3x) + (x + 2) * 1\)
Bước 3:
\((x + 2) * x^2 + (x + 2) * (-3x) + (x + 2) * 1 = x^3 + x^2 – 3x^2 – 6x + x + 2\)
= \(x^3 – 2x^2 – 5x + 2\)
Vậy \((x + 2)(x^2 – 3x + 1) = x^3 – 2x^2 – 5x + 2\).
Tính chất giao hoán:
A * B = B * A
Ví dụ:
(x + 2)(x – 1) = (x – 1)(x + 2)
Tính chất kết hợp:
A * (B * C) = (A * B) * C
Ví dụ:
\(
\begin{align*}
(x + 1)(x^2 – 2x + 1) &= (x + 1)(x^2 – 2x) + (x + 1) \times 1 \\
&= x^3 – 2x^2 + x^2 – 2x + x + 1 \\
&= x^3 – x^2 – x + 1
\end{align*}
\)
Tính chất phân phối:
A * (B + C) = A * B + A * C
Ví dụ:
\(
\begin{align*}
(x + 2)(x^2 + 3x – 1) &= (x + 2) \times x^2 + (x + 2) \times 3x + (x + 2) \times (-1) \\
&= x^3 + 2x^2 + 3x^2 + 6x – x – 2 \\
&= x^3 + 5x^2 + 5x – 2
\end{align*}
\)
Hệ quả:
0 * A = 0
A * 1 = A
(-A) * B = A * (-B) = -(A * B)
Ví dụ:
\(
\begin{align*}
0 \times (x + 2) &= 0 \\
(x + 2) \times 1 &= x + 2 \\
(-x^2 + 3x – 1) \times (-2) &= 2x^2 – 6x + 2
\end{align*}
\)
Ứng dụng:
Tính chất của nhân đa thức được ứng dụng trong nhiều bài toán, bao gồm:
Ví dụ1:
Tính \((x + 2)(x^2 – 3x + 1)\)
Giải:
\(\begin{align*}
&= x \times x^2 + x \times (-3x) + x \times 1 + 2 \times x^2 + 2 \times (-3x) + 2 \times 1 \\
&= x^3 – 3x^2 + x + 2x^2 – 6x + 2 \\
&= x^3 – x^2 – 5x + 2
\end{align*}\)
Ví dụ2:
Biến đổi biểu thức \(A = (x + 2)(x^2 – 3x + 1) – x^3\) thành biểu thức chỉ có \(x^2\) và x.
Giải:
\(
\begin{align*}
A &= (x + 2)(x^2 – 3x + 1) – x^3 \\
&= x^3 – x^2 – 5x + 2 – x^3 \\
&= -x^2 – 5x + 2 \\
&= -x^2 + 2x – 7x + 2 \\
&= -x(x – 2) – 7(x – 2) \\
&= (-x – 7)(x – 2)
\end{align*}
\)
Tóm lại, phép nhân đa thức với đa thức là một phép toán quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Việc nắm vững phương pháp và quy tắc thực hiện phép toán này là điều cần thiết đối với học sinh lớp 8.Bài viết này hy vọng đã cung cấp cho các bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết về phép nhân đa thức với đa thức. Chúc các bạn học tốt!